А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2. Если в системе уравнений бх, и — =1(с,тм ...,х„,р), ь=1, ...,п гЕсля в выпуклой по х области имеем ~ "~ < о (й 1 = 1, ..., и). то аг а, е этой области выполнено условие Липшица с Ь = па. ЦхЦ = шах )х;Ц Пусть х(1) — решение системы (1), а у(1) — вектор-функция, удовлетворяющая неравенствам 110 518. Зависимость решения от начальных условий с начальными условиями (5) хс(0) =а,(р), (=1, ..., и р является параметром, функции 7, и а, (ь = 1, ..., Х) непрерывны и имеют непрерывные производные по хы ..., х„, р, то решение имеет непрерывную производную по пераметру р.
Производные Вл = иа 1 = 1, ..., и. УДОВЛЕтВОРНЮт ЛИНЕйНОй СИСТЕМЕ УРаВНЕНИй " аУ. аУс (6) и начальным условиям и;(0) = а',(р), ь = 1, ..., и, Значения производных вс н вс в формуле (6) берутсн при хь = хь(1), ..., х вн, вн = х„(1), где хс(1), ..., х„(1) -- решение системы (4) с начальными условиями (5). В частности, если положить аь(д) = р, аь(р) = сопэь при ь ф )с и считать, что все функции 7ы ..., 7' не зависят от р, то из предыдущего утверждения будет следовать, что для системы (4) с начальными условиями х;(0) = а„ь = 1, ..., п производные — "- = = и; (ь' = 1, ..., и) от компонент решения хы ..., х„по начальному условию аь существуют и удовлетворяют системе уравнений баь Ф ~дно и начальным условиям и,(0) = 0 при с ф )с, иь(0) = 1.
3. Если в (4) н (5) функции 7ь н а, имеют непрерывные производные по хы ..., хн, р (вблизи значения р = 0) до порядка т включительно, то решение тоже имеет непрерывные производные по р до порядка т, и, следовательно, разлагается по степеннм параметра д по формуле Тейлора: х(1) = ио(1) Ч- рог(1) Ч- р из(1) ж ... + р от(1) Ч- о(р ). (7) Здесь х и и, — и-мерные вектор-функции. Чтобы найти функции и,(1), можно разложить правые части в (4) и (5) по степеням р, подставить туда разложение (7) и прнравннть коэффициенты при одинаковых степенях р. Получим систему дифференциальных уравнений, нз которой последовательно определяются ио(4), вг(1), ... В случае, когда 7ь и а, — аналитические функции от хы ... ..., х„, р, решение х(1) разлагается в сходящийся прн малых р степенной рнд по р (в силу теоремы об аналитической зависимости 3 18.
Заеисимасть решения от начальных услаеиб 111 решения от параметра, см. (4), гл. 1, 3 6). Коэффициенты этого ряда совпадают с коэффициентами разложения (7). Изложенный метод можно использовать для отыскания решения дифференциального уравнении при малых д в тех случаях, когда при р = О уравнение решаетсн известными методами. П р н мер. Разложить по степеням параметра р решение задачи х=х +2дг, х(1) = — 1. (8) Ищем решение в виде х(1) = оо(1) -Ь раг(1) + д ог(1) ж ... Подставляя это в (8) н приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях д, получаем систему г1о = г'о~ ое(1) = — 1, Ог = 2еаог + 21 ', оз(1) = О, ог = 2ооег -~- ог, ог(1) = О, Из первого уравнения и начального условия находим оа(1) = — 1 — 1 Подставлнн это во второе уравнение, получаем оз = -21 ог ж 21 , аз(1) = О. Отсюда мп(1) = 1 — 1 г, Подставляя найденные еа и гп в третье уравнение, получаем ог = — 21 ог -~- (1 — 1 ), ог(1) = О.
Решив это линейное уравнение и воспользовавшись начальным условием, найдем ег(1) = — — —, ф 37г — -,т. Следовательно, решег з ние задачи (8) имеет вид 1 / 11 /1 2 8 11 х(1) = — — фр(1 — — ) фр ( — — — ф — — — ) фо(р ). бг) 13 1 31г гз) Это разложение можно продолжить дальше тем же способом. Аналогичным методом можно получать разлонгення по степеням параметра периодических решений нелинейных уравнений, в частности, уравнений вида (9) х -Ь а х = д7(1, х, а, д), где функция 7' периодическая по й Переходить от уравнения 2-го порядка к системе при этом ненужно.
Произвольные постоннные, 112 518. Зависимость решения от начальных условий возникающие при отыскании оо(г), ог(г), ..., определяютсн уже не из начальных условий, а из условий периодичности (см. [4), гл. 2, з 8). В слУчае, когда пРаван часть (9) не зависит от Сг пеРиод Решения х(1) заранее не известен.
Тогда в уравнении (9) надо перейти от 1 к новому независимому переменному т = 1(1+ Ьд+ Ьгд + ... ) и искать решения х(г) периода 2я/а. Коэффициент Ьг обычно определяется из условия существования периодического решения для ог(т), и т.д. (см. [4), гл. 2, З 8). 4. Если функция г(х, у) в окрестности точки (хо, уо) аналитическая, т. е. разлагается в ряд по степеням (х — хо) и (у — уо), то решение уравнения у = 1(х., у) с начальным условием у(хо) = = уо тоже является аналитической функцией, т.
е. разлагается в степенной рнд в окрестности точки хо (см. [2), З 18 и [1], гл. И, З 1, п. 6). Аналогичное утверждение справедливо длн уравнении УОЦ = г"(х, у, у', ..., У1 Ц) с начальными условиями у(хо) = уо, у'(.0) = уо, ". у'"-Ц(хо) = у.'" Ц. П р и м е р. Найти в виде рида решение уравнения угг = хуг — у' с начальными условиями у(0) = 2, у'(0) = 1. Ищем решение в виде ряда у = аз+ агх Ч-агх -~- ... = 2+ х-'; агх жазх + ..., (10) так как из начальных условий следует, что ао = 2, аг = 1. Под- ставляя ряд в дифференциальное уравнение, получаем 2аг+базх+12ачх +...
=х(2+х+агх +... ) — 1 — 2агх — Зазх —... г г г г Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравне- ния, получаем 2аг = — 1, баз = 4 — 2аг, 12ач = 4 — Заз, ... Отсюда находим 1 аг = —— 2 Следовательно, 5 аз = —, 6 1 ач = —, 8' 1 г 5 з 1 4 У=2нх — — х + — х + — х + 2 6 8 5.
Для уравнения ро(х)у~ ~ +рг(х)у~ ~ + ... + р„(х)у = О, (1Ц у которого все р,(х) аналитические в окрестности точки х = 0 и ро(хо) = О, т. е.коэффициент при старшей производной обращается в нуль в точке хо, решений в виде степенного ряда может не З 18. Зивисимосжи решения от начальных условий 113 существовать. В этом случае могут существовать решения в виде обобщенных степенных рядов ао(х — хо) шаг(х — хо) -г аг(х — хо) + ...
(12) где число г не обязательно целое (см. [1), гл. У1, З 2, и. 2, или [4), гл. 2, З 7). Чтобы их найти, надо подставить ряд (12) в уравнение (1Ц и, приравняв коэффициенты при наименьшей степени (х — хо), найти возможные значения показателя г, а затем для каждого из этих значений г определить коэффициенты а;. 1056. Оценить, на сколько может измениться при 0 < х < 1 решение уравнения д' = х+ вшд с начальным условием д(0) = до = О, если число да изменить меньше, чем на 0,01. 1057. Оценить, на сколько может измениться при 0 < 1 < Т решение уравнения маятника х+ шп х = 0 с начальными условиями х(0) = О, х(0) = О, если в правую часть уравнения добавить такую функцию уг(1), что [уг(1)[ < 0,1 (т. е. если приложить некоторую внешнюю силу).
1058. Чтобы приближенно найти решение уравнения х+ в1пх = О, его заменили уравнением х + х = О. Оценить при 0 < 1 < 2 возникающую от этага ошибку в решении с начальными условиями т(0) = 0,25, х(0) = О, если известно, что [х — вшх[ < 0,003 при [х[ < 0,25. В задачах 1059 — 1063 оценить ошибку приближенного решения на указанном отрезке.
1059. д'= —" —,, д(0) =1;у=1 — $, [х[< г. 1060. т,=х — д, у= ух, х(0) =1, д(0) =0; .=1+1+ —, д —, [1[< Ог1. 1061. дн — хгд = О, д(0) = 1. д'(0) = 0; д = е* у [х[ < 0,5. 1062. д' = 1 + х, д(0) = 1; д = 1 + х, 0 < х < 4. 1063. д'=2хд +1,д(0) =1; д= — „, [х[ < 4. Указание. Сначала выделить ограниченную область, в которой содержится приближенное решение д и, предположительна, точное решение д.
Для этой области оценить постоянную в условии 114 818. Зависимость решения от начольных условий Лившица, затем оценить |у — уЬ С помощью втой оценки проверить, содержится ли д в выделенной области. В задачах 1064 — 1073 найти производные по параметру или по начальным условиям от решений данных уравнений и систем. 1064.
у' = у + 12(х + у ), д(0) = 1; найти Ь" ар~я=о 1066 ~ + 2+ 3 (2) 1069. х = 4162, х(О) = О, найти у = 1+ 51лх, у(0) = О; др р=о т. = ху + 12, х(1) = т,о, 1070. найти д сь=з ° 2у = — уз, у(1) = уо,' диь иь х = х+д, х(0) =1+12, 1071. найти дх у = 2х+1ьу, у(0) = — 2; др р=о 1072. х — х = (х+1) — 12х', х(0) = -', х(О) = — 1; найти де д р 1073. х = —, — —, х(1) = 1, х(1) = Ь; найти дь ~ Указание. При Ь = 1 решением служит функция х = И В задачах 1074 — 1078 найти 2 — 3 члена разложении решения по степеням малого параметра Ьь 1065.
у' = 2х+ Пуз, д(0) = 1ь — 1; 1067. лс' = — + 121е *, х(1) = 1; 1068. ль = ха+~ах ., х(О) = 1+05 1074. д' = 4р — у, у(Ц = 1. 1075. у' = 2 — 51ьх, у(1) = 2. 1076. ху' = 12хз + 1п у, у(1) = 1. найти д " р=о найти — "- ~ д "' и;о найти дс д р р=а найти дя д '" р=о З)3. Зависимость решения от начальных условий 115 1077 уь вн уг у(1) !, 3„ 1078. у' = еи *+ду, у(0) = — ди Для уравнений 1079 — 1085 с помощью метода малого параметра (см. (4), гл. 2, ~ 8) найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения; д — малый параметр.
1079. х+ Зх = 2яп)+ )ляг. 1080. У+ бх = сов 2с+ )зх~. 1081. х + Зх + хз = 2В сов 1. 1082. х+ ха = 1+ уз)пй 1083. х+ япх = )зяп26 1084*. й+ х = япЗс — зш2с+ )зхг; найти лишь нулевое приближение. 1085*. х + х = 6)з яп с — хз В задачах 1086 — 1090 с помощью метода малого параметра (см. (4), гл. 2, ч' 8, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
