А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1166. Пусть уз(1, х, у) = Сы ~рз(1, х, у) = Сз — — первые интегралы системы а — — гз(1, х, у), Я = = Ь(1 х у)' фУнкЦии (ы уз и их пеРвые пРоизводные по х, д непРеРывны. Пусть в пространстве 1, х, у поверхности ~рг(1, х, у) = 1, уз(1, х,, д) = 2 имеют только одну общую линию (т. е. пересекаются или касаются друг друга по этой линии). Доказать, что эта линия является интегральной кривой данной системы.
2 20. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Чтобы решить уравнение в частных производных дг дг аг — -ь ... +а„, =Ь, хг хь где аы ..., а , Ь зависят от хм ..., х„, г, надо написать систему обыкновенных дифференциальных уравнений Йхд Йх„ дг (2) аг и найти и независимых первых интегралов этой системы ~,( .„ ..., ., ) = с„ 1о„(хы ..., х„, г) = С„. 320. Уравнения в частных производных первого нарядна 123 Общее решение уравнения (1) в неявном виде записываетсн так: Г(р„..., р.) =0, (4) где Р— произвольная дифференцируемая функция.
В частности, если 2 входит только в один из первых интегралов (3), например в последний, то общее решение можно написать и так: Р-(х1, . ", х-, ) = 7'(Р1, ., Р-- ), (5) где 7 — произвольная дифференцируемая функция. Разрешив равенство (5) относительно г, получим общее решение уравнения (1) в явном виде. 2. Чтобы найти поверхность 2 = 2(х, у), удовлетворнющую дифференциальному уравнению дз дг а1(* У2 2) Ь аз(х~ У 2) = б(х У2 2) дх ' ' ду (б) и проходящую через данную линию х = и(1), у = о(1), 2 = ш(1), (7) надо найти два независимых первых интеграла системы бх бу 11з Ь (8) а1 аг В зти первые интегралы 221(х, у, 2) = С1, 1ог(х, у, 2) = Сг (0) надо подставить вместо х, у, 2 их выражения (7) через параметр Ц Получатсн два уравнения вида Ф1(1) = С1 Ф2(1) = С2 ° (10) дз дз хг — -~- уг — = — ху~ д ду (11) Исключив из них 1, получим соотношение г (С1, Сг) = О. Подставив сюда вместо С1 и Сз левые части первых интегралов (9), получим искомое решение.
В том случае, когда в оба уравнения (10) не входит й тогда линия (7)является интегральной кривой системы (8), т. е. характеристикой уравнения (6),и задача Коши имеет бесконечно много решений (см. (1), гл. 11Н1, 3 3, и. 4). П р и м е р. Найти общее решение уравнении 124 320. Уравнения в частных производных первого порядка а также интегральную поверхностен проходящую через кривую г у=с (12) Решен не.
Составляем систему уравнений хз уз — ху и находим ее первые интегралы (см. 2 19, пример 2) х 2 — =Сы з +ау=Се. У (13) Следовательно, общее решение уравнении (11) можно написать в неявном виде /х Г( —,з -гху) =О, У где К вЂ” произвольная функция. Так как з входит только в один из первых интегралов (13), то общее решение можно написать и в явном виде.
Мы получим 2 3 х=х, у=х, з=х. Подставив зти выражения в (13), получим 1 — = Сз, х х -~-х = Сз. е 3 Исключив х, получим 1 1 — -~- — = Сг. Се Сз Подставив вместо Сг и Сг левые части первых интегралов (13), найдем искомое решение где 1' — произвольная функции. Чтобы найти интегральную поверхностен проходящую через линию (12), запишем зту линию в параметрическом виде, например, взяв х в качестве параметра: 220.
Уравнения в частных производных первого порядка 125 3. О решении системы двух уравнений в частных производных первого порядка и о решении уравнения Пфаффа см. )1], гя. 1Х, 2 1 и 2 2, пп. 1, 2, 3. Для каждого нз уравнений 1167 — 1188 найти общее решение. у — — х — = О. д» д» д» ди = "' 1х+ 2У) а* Уа„ 1168.
х — -~- у — + 2 — = О. ди до ди ' а* а„ а. = 1169 1170. е* — ' + у — ' = ус* а ав 1172. 2Ш дг .„' (у Х) да Х2 — О ' д» ао 1173. 1174. ша. + 2уд' = и У+ х. 1175 ( 2+92)а»+2, Уа»+ 2 О 1176. 2у — — ху — = тых + 1. 4Э» д» 2 д» ди 1178. Ух — — Хх — = Е д», д»» д» ди 1179. )2 д» 4 д» а. аи= 1180. 1181. худ; + (х — 22) д" = Ух. 1183. шп ха' + 182 а' — — соз х. 1184.
(х + х) Г + (у + 2) д — — х + у. 1185. 1186. (х — 2) д + (у — 2) д + 22 а" — — О. + )а»+»,+, )а 1 2 (У+2)д +(г+х)д +1х4 У)д, =2' 126 З20. Уравнения в частных прои»водных первого порядка 118Т. хд" + уда Ь (а+ и) д" = гу, 1189. хд' — уд' = О д» дв г=2х приу=1. г=у прил=О. г=уг прих=1. и=уз прих=1. 1190. ф + (2 е» вЂ” у) ф = О; 1191. 2;/х— ~ ' — уф = 0; 1193.хд»+Уд +худ» вЂ” — 0; и=х +У приз=О.
В задачах 1194 — 1210 найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную ли- нию. 1194. Уг д» + ХУ вЂ” ,'» = Х; Х. = Ог г = У 119$. х໠— 2уда — хг + уг у — 1 г — хг 1196 г.д» + уд г ту, г, 2 г уг 1197. 1ях — '+ уд' = г; у = х, г = хз.
1198 хд» уд» гг(х 3у), х 1 уз+ 1 О 1199 хо +уд = г — х — У ' У = — 2, г = х — х . д. ди угд,".+хгд'=ху; х=а, у +г =а. 1201. гф — худ = 2хгд х+ у = 2, уг = 1. 1202. г д', + (гг — хг) д' + х = 0; у = хг, г = 2х. 1203. (у — г) д' + (г — х,) ф = х — у; 1204. хф -ь (хг + у) ф = г; х + У = 2». х»=1 1206 Угу+узда +зг О; х — у = О, 1206. х,~ -ь гд — У~ У = 2г~ х+ 2У = г. 1188. (и — х) д" + (и — у) д — г д, — — х + у. Найти решения уравнений 1189 — 1193, удовлетворяющие указанным условиям. З20.
Уравнения в частных производных первого порядка 127 1207. (у+ 2з~) з' — 2хзга' = тз; х = з, у = хз. 1208. (х — г) в'+(у — г) в' = 2г; х.— д = 2, з+2х = 1. 1209. хуз о + хзгз в — узг з — гз 1210*. ха' + да' = 2ху; у = х, г = хз. 1211. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом поверхности семейства = Сху. 1212. Найти поверхность, проходящую через прямую г=1 и ортогональную к поверхностям х +у +з =Сх х+у+з=О, х +ху+у =1.
1215. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют все конические поверхности с вершиной в данной точке (а, Ь, с), и решить его. 1216. Найти поверхности, у которых любая касательная плоскость пересекает ось Ох в точке с абсциссой, вдвое меньшей абсциссы точки касания. В задачах 1217 †12 решить данные системы уравне- ний дг — = у — 3, дх дг = хг. ду 1217.
1218. 1213. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными вектору (а, Ь, с). Найти общее решение этого уравнения. 1214. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору (1, — 1,1), и направляющей 128 з20. Уравнения в чаеспных производных первого порядка дг 2 — = 2уз — г, дх дг — = хз. дд 1219. 1220. (х — у) с1х+ г с1у — хсзр = О. 1221.
Зугс1х+ 2хяс4у+ хубг = О. 1222. (г + хд) с4х — (я + уз) с1у + у сЬ = О. 1223. (2уг+ Зх) с4х+ хгс1у+ хдс4з = О. ДОБАВЛЕНИЕ Задачи, предлагавшиесн на письменных экзаменах В Б 21 — 27 содержатся задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на 2-м курсе механико- математического факультета МГУ в 1992 — 1996 годах, а также небольшое число задач, дававшихся для подготовки к экзаменам.
Исключены самые трудные задачи. Сокращено число задач на решение уравнений стандартными методами (подобные задачи содержатся в предыдущих параграфах этого сборника). Ниже приводятся для примера три экзаменационные письменные работы (уссазаны номера задач из Б 21 — 27). Работа 15.05.94 г. состояла из задач 17, 63, 81, 98, 170, 198.
Работа 4.06.94 г. состояла из задач 28, 51, 69, 122, 127, 148, 190. Работа 18.05.95 г. состояла из задач 22, 56, 70, 129, 135, 194, 216. На выполнение работы студентам давалось 3 часа. Для полу- чения оценки <отличнол требовалось решить 5 — 6 задач. В задачах 1220 — 1223 найти поверхности, удовлетворнющие данным уравнениям Пфаффа. г 21.
существование и единственность решения 129 2 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1. Теоретические вопросы Вопросы 1 — 5 рассчитаны на лиц, изучавших доказательство существования решенин дифференциального уравнения, основанное на переходе к интегральному уравнению и построении последовательных приближений [1], [2). 1. Обосновать связь условия .Чипшица и дифференцируемости.
2. Изложить общий план доказательства теоремы существования и единственности. 3. Сформулировать и доказать утверждение о переходе от дифференциального уравнения к интегральному. 4. Доказать, что последовательные приближения сходится к непрерывной функции. 5. Доказать, что предел последовательных приближений есть решение интегрального уравнения.
6. Сформулировать и доказать утверждение о единственности решения. 7. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения порндка в. 8. Сформулировать и доказать лемму об интегральном неравенстве. 2. Существование решения и последовательные приближения 9. Перейти от уравнения е* уо' и- лу = 2ду' к системе нормального вида и при начальных условиях у(0) = 1, у'(О) = 1, уи(0) = 0 построить два последовательные приближении к решению. 10.
Построить три последовательные приближения уо, уы уг к решению задачи 130 г 21. Существование и единственность решения 11. а) Задачу у' = уг + х, у(1) = 0 свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения Уо Уг Уг. б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближении. и доказать их равномерную сходимость. 12. Существует ли решение задачи ( 1 при у ( 0 дь = 1(д), у(0) = О, где ?(У) = ~ — 1приу)01 Обосновать ответ. 13. а) Свести задачу ун' =,, д(1) = О, у'(1) = 1, ун(1) = 2 (у' - ) к задаче длн системы нормального вида. б) При каких о,существование и единственность решении гарантируется теоремой' ? 14. а) Указать все значении параметров а, а, А, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи (аг+ а)у'в+ 2ауо — (а — 1)т~у13С = 1п 3 — 1 у(а) = 1, у'(а) = А, уо(а) = а.
б) На какой максимальный интервал можно продолжить решение этой задачи в случае а = — 1. а = — 2, А = — 3? 15. Задачу лу' = ~- — 4, у( — 2) = 4 свести к интегральному уравнению, построить последовательные приближения и найти их предел. 16. При каких начальных условиях существование единственного решения уравнения уо' з1пк+ а 1и у+ 13 л = 1 гарантируетсн теоремойу З 21. Существование и единственности решения 131 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
