А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 23
Текст из файла (страница 23)
90. Скорость е(!) = Я 1ЬъГЬ84, путь е(!) = ь 1псЬъГЬ8т; е(!) = = Ь = 16,3м при ! = + !п(ель -Ь ~езьь — 1) — 1,87 сек, ю(1) = — )) 61 / . В"-* ~ " 'ыо!~я — 0,3ЛИйтй Ь(!) = 0 прн ! = Гзз-т)Ф вЂ” 1050 сек = 17,5 мин. 92. (2 — Ь(!))~~~ = 0,45лгзиГ2~," — ', Ь(!) = 0 при ! = Ц!) = 0 при ! = 5(2ф ч2)ш17 мин. 94. Н~~~ — (Ь(1))м~ = хани-'-хг2д; Ь(!) = 0 при 1 = (4Л~/Зг(~)т/2НЦ 27сек. 95. Объем воды в баке в литрах х(!); 1 = -зи !и — -~-- — з ~/х, д = 1,8, а = 10 х(!) = 360 при ! = 260 сек (для бака без отверстия в дне ! =- = 200 сел). 96.
Удлинение нижнего куска длины х равна у(х) = ьг ' , а всего шнура — у(!) = —. 97. Па высоте Ь км давление игам р(Ь) = е одзи (кГ/смм). 98. Сила натяжения каната на расстоянии !и (в радианной мере) по дуге от начальной точки равна 7'(у) = 7(0)ее~~; т(бл) = 10ез" 5000кГ. 99. Количество оставшейся воды гп(!) = то — о(д~ — ао) (1 — е ''), Ь вЂ” коэффициент пропорциональности. 100. После сгорании массы х топлива скорость ракеты о(х) = с1п и; е(ЛХ вЂ” т) = с1п ~~. 101.
х -!- у = Сх'; 154 Отвевгп х = О. 102. !п(хз -!- Уз) = С вЂ” 2 вгсГЗ(у(х). 103. х(у — х) = Су; у = О. 104. х = хукГ!аСх; у = О. 105. у = СезГ '. 106. у — хз = Су; у = О. 107. яш З- = Сх. 108. у = — х!и!пСх. 109. !п-* — ~В = Сх. 110. !пСт = сЗЗ(з !п в); у = хез ", й = О, х1, х2, ... 111. 2кГху у= = х!пСх; у = О; х = О. 112. агсгЗп з- = !пСх вЗпх; у = хх. 113.
(у — 2х) = С(у — х — 1); у = х+ 1. 114. 2х+ д — 1 = Сез" '. 115. (у — х+ 2) + 2х = С. 116. (у — х+ 5)в(х+ 2у— — 2) = С. 117. (у -!- 2) = С(х + у — 1): у = 1 — х. 118. у + 2 = = Се з'пв -"з. 119. !и'"+- = 1-» ~ . 120. я!гг": — '- = С(х+1). *вз »з ' *-»з 121. х' = (хз — у) !пСх; у = х . 122. х = — у' !пСх; у = О.
123. х~у~!пСхз = Ц у = О; х = О. 124. Узе о*з = С; д = О; х = О. 125. (2 гу — х) !а С (2 /у — х) = х; 2 гу = х. 126. 1 — ху = = с*'о *ы; = — .. 1 Кгд„'~:! = — ~ с; = и; ху' = 1. 128. вгся(а -вз- = (пСхз )хз~ = у 129 хзу!пСУ = Ц у = = О. 130. в) у = С(х-»у); у = — х; б) (у-»х)з(у — 2х) = С(у — х)з; у = х. 131.
у = С(хз -»у~). 132. хз-!-у = Сх. 133. При — ' — — ' = 1. 136. у = Схз -» х~. 137. у = (2 -» 1)(С -!- ! ~2х -» Ц) -» 1. 138. у = = в!и т -!- С соя х. 139. у = е*(!п(х(-» С); т = О. 140. хд = С вЂ” !п ~х~. 141. у = х(С+ я(ах). 142. у = Се" — хз — 1. 143. у = С !п х — !пх. 144. ху = (х -!- С)е™. 145. х = уз -» Су; у = О. 146. т, = е" -» + Се ". 147.
х = (С вЂ” сову) я!пу. 148. х = 2 (ау — у + 1 + Суз. 149.х=СУ +уз;У=О.150.(у — 1)зх=у — !пСУ!У=О;У=1. 151. У(е* 4 Сез') = Ц у = О. 152. У(х -» 1)((п ~х -» Ц » С) = Ц у = = О 153 у з = Ссоязх — Зв!пхсоя'х; у = О 154 уз = Схз— — Зхз. 155. у = Схз — Зх; х = О. 156. у = х~!и~Сх:, у = О. 157. у з = х~(2е* + С); у = О. 158. у' = хз — 1 + С~фт~ — Ц. 159.
хз(С вЂ” сову) = у; у = О. 160. ху(С вЂ” !пз у) = 1. 161. хз = = Сез" -» 2У. 162. Уз = С(х -» 1) — 2(х -» 1). 163. е " = Схз -!- х. 164. сову = (хз — 1) !пС(хз — 1). 165. у = Зе' — 1. 166. у = — 2е'. — »с У вЂ” *. 170 У = х -» 2 -» с-,т —,; У = х -» 2 171. У = е —; у = е". 172.
Зх = С~Ду~ — у': у = О. 1ТЗ. ху = Схз+ 2а'. 1Т4. ху = а -» Суз. 175. Через 20 мин; 3,68 кГ. 176. Через 62 дня. 17Т У = Уг + С(Уз — Уз). 178. У = СЗх — вес х. 1Т9. Ь)а. 180. Ь|о. о 3 3 181. х(!) =) е' '1(з) йв =! е'!'(з -» !) с!з. 182. У(х) = х) е 'Ф вЂ” » .!-с — » — -' при х — » -»со. 183.
У(х) = ) е " и"'"Ч'~~*! яш(х -!- в) йв. о 186 3 3, 3 С 187 2 3 3 2» 4 С 188 — з, 2 ( Ответы 155 189. 4у (их+ у~ = С. 190. х+ лт+ а = С. 191. хг+ г (хг — у)~г~ = С. 192. х — у соег = С. 193. ха+ха ! у — уг = С. 194. хг-!-1 = 2(С— — 2х) яп д. 195. 2х+ !п(та+да) = С. 196. х+ асс!8 —," = С. 197. ху+ + С = ьГ1+ дг. 198. 2хгдг — Зхг = С. 199. Уг = хг(С вЂ” 2У); х = О. 200. (хг — С)у = 2х. 201. хг +!и у = Схг; х = О.
202. у а!п гу = С. 203. — * + ту+ 1п~у~ = С; у = О. 204. — х+ 1 = ху (агс!3 у+ С); х = 0; у = О. 205. х -!- 2!п)х) -!- гу — л = С; х = О. 206. еш = Се * . 207. 1п)уг! — Уе ' = С; у = О. 208. !п(-*-г -!- 1) = йу г- С; у = О. 209. х~гу!пСху = — 1; х = 0: у = О. 210. хг -!- у = у -Ь Сх; х = О. 211. хгу+ (п(х/у! = С; х = 0: у = О. 212. 2ху + (1/ху) = = С х = О; д = О. 213. !п(лтл Я -"-~-'-~-*-) = С; д = 0; у = — х.
Р *еа 214. в(пг у = Сх — хг; х = О. 215. у = С !пхгу. 216. яп у = — (хг -!- + 1) (пС(ха+ 1). 217. ху(С вЂ” тг — уг) = — 1: х = 0; д = О. 218. Уг = = а ''*"*.. та агда ~ (гп 'с+теда) =а; х = 0 220. хг — 4У = Сдагхд; х = О; У = О. 221. а) Уа = О, уг = х~/2, уг = (х~/2) — (х, (20). 6) уа = 1, ггп = хг, уг = 1 -!- хг— — х-!-(х — 1)гг7, в) уа = 1, уг = 1-!-2х, дг = — (е*-!-1)+х-1-х .
г) уо = 2х, уг = л -Ь х, уг = 2х + х+ х сов х — япх. 222. а) уа = 1, га = 0; Уг = х, лг = х — 1; Уг = х + (х — 1) /2, лг = (х — 1)гг3. б) хо = 1, уа = 2; хг = 1+ 21, уг = 2+0 хг = 1-~-2!-Ь (1~!2)г уг = 2-!- +!+ 21~+ (4/3)1~. в) уа = 1, уг = 1, уг = 1+ ха. г) хо = 2, хг = 3 — 1, хг = 5 — 41+ 1~. 223. а) — 0,5(х(0,5. б) 0,87(х(1,13, в) 0,8(!<»1,2. Г) — 0,1»(!<0,1.
224. уз — г га + гаа гата ~у уз)<0,00003, 225. а) Вон плоскость. 6) уф2х. в) хф2, у>0. г) у~ — ' + хх, 1 = = О, х1, х2, ... д) х>0, уфх. е) х~О, )у)>(х(. 226. При 0<а<1 в точках оси Ох. 228. а) ха и у„' любые, уо~ г + наг й = О, х1, х2, ...
5) ха~ — 1, уо>0, уа любое. в) хахуа, тауо>0, уог=Ог уа любое. г) ха~да, уаФО уо любое. д) га н уо любые, ха~О. е) га>— — 1, ха~О, ус~!а. 229. а) Нет. 6) Ла. 230. а) Нет. 6) Нет. н) Ла. 231. В случае и = 1 нет решений, при и = 2 адно решение, при и = = 3 бесконечно много решений. 232. В случае и = 1 нет решений, если !8агФ((ха, уа), и одно решение, если Фбсг = 1" (ха; уа); в случае и = 2 одно решение, а при и > 3 бесконечно много. 233. п>5.
234. п>4. 236. а) 3. б) 2. в) 4. г) 4. д) 3. е) 1. 237. а) 0<о<1. б) о» <г. в) 1»<о»<г. г) — — <а<О. 241. у = Се+*. 242. у = (х-'г С); у = О. 243. у+ х = (х+ С)г; у = — х. 244. (х+ С) + у = 1: у = х1. 245. У(х -Ь С) = 1; д = О. 246. У(1 -!- (х — С)~) = 1; д = 0; у = 1. 247. (у — х) = 2С(х+ у) — С'; у = О.
248. (х — 1)~'~+ -!- дага = С. 249. 4у = (х -'г С)г; у = Се . 250. Уг(1 — у) = (х -!- С)г; 156 Ответы у = 1. 251. у = Се*; у = Се " -!- х — 1. 252. хзу = С; у = Сх. 253.хгз-С =2Су;у=хх.254.(~4-С) =4Сд;д=О;у=х. 255. 1п ~1 х 2~2у — х~ = 2 (х -1- С х зг23 — т); 8д = 4х-З1. 256. (х-!- 4-2)~г~+С = 4е з~~. 25Т. у = 2х~ -> С; у = — хз-1-С. 258.
у = Сх х2 зги/7. 259. 1п Су = х х 2е'г'; у = О. 260. 1п Су = х х гЗпх; у = О. 2, з 1~ З вЂ” зд 1)~=+ +в, = ''à — РЖ' у = О; у = х1. 262. х~-З(Су4- Ц' = 1; у = О. 263. (Сх-1-Ц = 1 — уз: у = х1. 264. 2(х — С); — 2у = С; у = хх. 265. д = Се~' — тз. 266. уг = Сгх — С; 4хуг = — 1. 26Т. х = рз + р, 4у = Зрз+ 2р'+ С. 268. х = — ге-;, у = — гг —; — !гз~р — Ц + С. 269. х = у~/р + 1, Зу = = (2р' — Ц, Гр' 4- 14 С. 270. х = !и р ! (1(р), у = р — !ззр4С.
271. х = = Зрг->ЗВАН-С, у = Зр~-!-р~; у = О. 272. х, = 2 агсЗЗр-!-С, у = !п(1-!-рг); д = О. 273. х = 1п )Р~ х з 1п ~-"-Я: — х ЗзЗР+ 1 -~ С, У = Р х (Р -'; -З Ц~~~; у = х1. 274. х = е" -> С, у = (р — Ц е"; у = — 1. 275.
х = = х (2;/р' — 1-загса!и — ',) -!- С,у = хр,,/р' — 1:, у = О. 276. х = = ~ (! Я~=~ + 3,/~ — р ) + С, у = ~ *р,П: р; д = О. 277. х = = ~2згг) +рз — !п(~рг З 1 х Ц 4- С у — рх храбра 4-1. у — О 278. 4у = С' — 2(х - С)'! 2у =,'. 279., = —, -З С, Зу = С' — ','; хз = 4у. 280. ххрзг21пСр = 1, д = ~ (,/2 1пСр — — —,'==-) . 281. рху = уз з рз, у (Зр-! С) = уз; у = О. 282. уг = 2Сх — С1пС; 2х = 1-З 2 !п(у(.
283. Сх = 1пСу; у = ех. 284. хрг = СЯр~ — 1, у=хр — хзрз:,у=О. 285.2р х=С вЂ” С р,ру=С;32хз= — 27уз; у = О. 286. у' = 2Сзх -~ Сз; 27хгу' = 1. 28Т. у = Сх — Сг; 4у = хз. 288. х зр = дар+С, у = Гр(4 — !гзр — С); у = О. 289. х = Зрз+Ср у = 2рз -1- 2Ср ', у = О. 290. у = Сх — С вЂ” 2. 291. С = 3(Сх — у); 9у = 4хз. 292. х = С(р — ц г+ 2р+ 1, у = Ср'(р — ц +р: у = О:, у = х — 2. 293. у = Ст — !п С: у = 1пх -г 1.
294. у = х2~Сх -~- С: у = — х. 295. 2С (у — Сх) = 1; 8у = 27хз. 296. хрг = р+ С, у = = 2 -~ 2Ср ' — 1пр. 29Т. а) 4у = тз; 5) у = Оз у = — 4х; в) у = О, 27д = 4хз; г) у = 4т. 298. ху = ха~ 299. хг-!-дг = 1. 300. т = р (рг-!- 2у( грг .!. цз у р~з( грг + цз и х рз( грг+ цз д (2рг + + 1)/(у р~+ Ц. 301. д = х(Се * — Ц. 302. (Сх + Цу = Сх — 1; у = 1. 303. у(хг — С) = х; у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
