А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1178. Г( —,' — — ', 1п~ху~ — — ') = = О. 1179. Г(хг -1-уг, атс«В(х/у) -1- (» з- Це =)= О. 1180. Г(»г — уз, т. 4- (у — ») ) = О. 1181. Г ( — ', 2х — 4» — у') = = О. 1182. Г(» — 1п(х),2х(» — 1) — уг) = О. 1183. Г(18»+с«Вх,2у— — «8~») = О. 1184. Г((=--«в +т), (х — у)(х+ у — 2»)) = О. 1185. Г ((х — у)(» 4- 1), (т 4- у) (» — 1)) = О. 1186.
Г (и(х — у), и(у — »), (х 4- у -~- ») /и~) = О. 1187. Г (х/гу, ху — 2и, (» -~- и — хгу)/х) = О. 1188. Г ((х — у) /», (2и -1- х 4- у)г, (и — х — у) /»~) = О. 1189. » = 2ху. 1190. » = уе' — ег' 4- 1. 1191. » = у е~з' г. 1192. и = (1— — х+ у)(2 — 2х+»). 1193. и = (ху — 2») ( — + г) . 1194.
у — »'— в !и ззгдг — гг = » — 1п ~у~. 1195. 2хг(у+ 1) = уз+4» — 1. 1196. (х+ + 2у) = 2х(» 4-ху). 1197. тй/у~япх = япзтй/у. 1198. 2ху+ 1 = =т,+Зу+» з. 1199. х — 2у=хг+у +». 1200. 2хг — уг — »г = = аз. 1201. ((угг — 2) — хг + г)узг = 1.
1202. хз + гг = 5(х» — у). 1203. З(»+у+ ) = хг+у +»г. 1204. гг = (хг — у — х+ 170 Ответи ф 2з)з. 1205. (1+ уз) = Зуз(1 -~- уз — т) ф уз. 1206. х -~- у -~- з = = О. 1207. 2(хз — 4зз — Зуз) = 9(у+ з~)~. 1208. (х — у)(Зх+ у+ + 4з) = 4з. 1209. ха+ уз = О. 1210. з = ху+ 1(у(х), где 1— произвольная дифференцируемая функция, для которой 7(1) = О. 1211.
Р(хз — уз, 2хз + зз) = О. 1212. 2уз + зз = з(х + у + зз). 1213. Р(Ьх — ау, сх — ох) = О. 1214. хз+Зу +з~ +Зху+хз+Зуз = 1. 1215. Р((у — Ь)/(х — а), (г — с)Дх — а)) = О. 1216. Р(х~~р, з/р) = О. 1217. з = Схуз. 1218. Решений нет. 1219. з = О. 1220. Решений нет. 1221. хзузл = С. 1222. з = у — ху. 1223. хауз = С вЂ” хз; х = О. ОТВЕТЫ К ДОБАВЛЕНИЮ 9. у' = и, и' = о, о' = уе '(2и — х); уо = 1 из = 1, оо = 0; уз = 1+ х, из = 1, оз = 1+ (х — 1) е . 10. Уе = 1, уз = 1+ ! -!- + 1~, уз = 1+ 1+ 21~ + 1~ + 1~/2 + 1~/5. 11.
а) уо = О, уз = — ' Уз = з + з — зз -Г зз — зз! б) напРимеР., ~х — 1~< з. 12. При х<0 у = — х, при х>0 решение не существует. 13. б) При а< — 1 и а = О. 14. а) При БИО, а~1 требуется аф — 1, хЗ, (9+ 1/2)л (х = = О, х1, х2..... ); при а = 1 требуется аф — 1, хЗ; при а = 0 уравнение не дифференциальное; б) — 3<!< — х/2.
15 уз = уг = = уз = ... — — 4, Пш уз = 4 16 У(хо) = Уо, У (ха) = Уг, у (хо) = лысо = Уз, где хзфЬг/2 (а = О, х1, х2, ... ), Уо>0, уз и уз любые. 1Т. Начальные условия уг(0) = 1, у',(0) = 1 и уз(0) = 1; уз(0) = з/2 различны. 18. пав!. 19. п>5. 20. п>З. 21. п>4. 22. а>4. 23. афО, х2 бесконечно много решений, а = 2 и а = 0 одно решение, а = — 2 нет решений. 24.
афО, х! бесконечно много решений, а = 0 и а = — 1 одно решение, а = 1 нет решений. 25. и > 3 бесконечна много решений, и = 2 одно решение, при п = 1 для а = х! одно решение, для а~ х 1 нет решений. 26. п>3 бесконечно много решений, и = 2 одно решение, при и = 1 для а = 1 и а = — 2 одно решение, длн аф1, аф — 2 нет решений. 27. При а< — 4 нет решений; при а> — 4 для п>З бесконечно много решений, для и = 2 одно решение; для и = 1 при а = — 3 одно решение, при аф — 3 нет решений.
28. Да. 29. )х(<з/2. 30. а) у = 1 /(!из/Гхз — из~+ С), у = 0; б) у = 1/1п(~к~ — х — 1), )х)<н. 32. Нет. 34. ф(<1; для х' = х, (хОЙ'), х(0) = 1 имеем х = 1/(1 — Г) (1<1); длн х' = — х', х(0) = 1 имеем х = 1/(1+ 1) (Г> — Ц. 40. б) (',') . 44. б) п)й+ 1.
45. пз = 2. 46. Уг = х, уз = х'; И' = хз. 47. а) — 2<х<1; б) да; в) 1/4. 48. а) — 1<1<к/2; б) да; в) — 16(1+ 1) з; г) у = +~уз(1) + -Ь Ьрг(1) — +з'Ззз(Г). 49. а = — 5. 50. 2. 51. 4. 52. (хз — 2х)уа— — 2(х — 1)у' + 2у = О. 53. у = 2+ бх — 2хз. 54. Да. у = Зуг — 2уз. 55. у = Сгх+ Сзхз+Сз(хз+х!п)х — Ц). 5Т. у = х — 2(е* — х)/(е — 1) . 58. у = х+ Сг -!- Сз(х+ х ). 59. у = 2 — х . 60. (х -!-4)уа — 2ху'+ -!- 2у = 2. 61. у = —,з- -!- —;зз + х — 1.
62. у = Сзе*-ЬСз(х -!- 1) Ч- 172 Ответы л добавлению -~- хе*. 64. Т = Зл7'4. 65. Нет. 66. р = ггг. 67. а = 2. 68. х = =( ) д = Сд+ Сгт + г ) е + г соз й 69. х = Сд сов 24+ Сг яп 21+ — е (яп 21— — сов 21) — -' сов 25 70. у = (Сд + х) сов х + (Сг + х ) яп х.
71. у = = Сд сов х-ЬСг Яп х-';(х -~- 1) ег* — 2х соз х. 72. У = (Сд-'-Сг1) е' жСзж +тг(от+ Ь) е' ~Ь(сг -Ьд() е' сов т+ (71+ 4Г) е' ядд т-Ь Ьт~ -~ И. 73. у = (Сд -Ь 4 Сгх) емг(ах ф Ь)х ег*-~-е™(с сов х-~-дяпх). 74. у = Сд од'т'д*-Ь +Сг е д'+'д* шах еГ'+0"' -~-Ь вы 0* . 75. у = (Сд -Ь Сгх) ед* +ах' ег' ж +Ье — *. 76 у Сдоп — г М+Сге М+ае~дтгды+Ьеед — г М 77. у = Сде~"+Сгед'з дд*Ч-Сзе~ 'з 0*+ахегыГбе 2™. 78.
да. 79. Нет. 80. Нет. 81. од~О, х2. 82. сфОд Ь любое или с = О, Ь = х1. 83. а) од~О, хдг2; б) у = С ж — гд г.- — С -' 4~ япЗВ 84. х = в * .. > =г > д, го.. =ь =д.. =о, а = х1. 89. а<0. 90. а~ х 1, а.А х 2. 91. а = О, а = 4, Д = 2. 92. а = 1, Ь = О, с = — 4; а = О, Д = 2, 7 = О. 93. х = (Сд-~- Сгт) ег'+ +3, у = (Сд ф Сг ф Сгг) ея -ь1. 94. х = Сд сг(сов 31 — 2яп31) -~- -ЬСг е'(2 сов 31езш31)д у = Сд е'(сов 31-гвш31)-ЬСг е'(зшЗК вЂ” сов 3~). 95. х = Сд ф (Сг + Сз(1+ 1)) е ', у = (Сг + Сз(1 — 1)) е ', г = Сд ф ф (Сг + Сзх) е '.
96. Все ВеЛд = 0 и в жордановой форме все ед клетки размера 1. 97. п)7. 98. (,е, д о). 100. х = 2С+ ' — д ' — д — д 1 + 2япс, у = С+япй 101. х = — 3 — сов 25 у = — 3 — сов 21 — 2яп20 102. в) х = Сд совб -Ь Сг вшт — яп21 — 2 сов 2г, у = Сд(солт ж + япг) + Сг(вшг — солт) — 2яп25 б) х = — яп2г — 2 сов 25 у = = — 2зш25 103. а = — 2. 104. При а = — 2Ь. 105. Тот же ответ, что в задаче .
° ( д д.дгд/ ' ( ' ' ' / ' 96. 107. гд — гд — 4дд 108 дуд'вг — ""~д ыд г дег ыдд/ г егд Š— д ггд 114. а) 1; Лд,г = созсхдяпй б) ( ~д д ев д — а д) ' 1 ' (е )(е — е ')'. 116. Все НеЛ,<0. 117. е "". 118. Нет, например А = = (г„* од) . 119. Аг = О, жорданова форма мажет содержать только клетки вида (0) и (в ' ) . 120. Да. 121. Да. 122. Да. 124. Все (Дд)<1. 125. ед"+'г~д . 126. а~ — 17'2. 131. Все Не Лг<0 и длн тех Лп у которых КсЛд = О, клетки в жордановой форме имеют размер 1. 133. См, ответ задачи 131.
134. а) д(еСА = 0; б) см. ответ задачи 131. 135. Да. 136. Да. 137. Нет. 138. При п = 1 да, при п>2 нет, см. рисунок к задаче 889. 139. х = 0 неустойчиво. 140. х = 0 асимптотически устойчиво. 141. х = 0 асимптотически устойчиво, х = кЬ (Ь = х1, х2, ...) неустойчивы. 142. х = 0 асимптоти- Ответы к добавлению 173 чески устойчиво. 143. х = 0 устойчиво. 144.
х = 0 устойчиво. 145. х = у =- 0 устойчиво. 146. (О, 0) устойчиво, (2//3) 0) неустойчиво. 14Т. (а, а) устойчиво, (а + 1, а) неустойчиво (аОЛ любое). 148. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 149. а) а < — 1; б) а = — 1; в) а > — 1. 150. а) а<0; б) а = 0; в) а>0. 151. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 152. а) а<0; б) а = 0; в) а>0. 153. а) а>2; б) а = 2; в) а<2. 154. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 155.
а) 0<а<1; б) а = 0; в) а<0 и а>1. 156. а) а = — 1,/2; х = с, у = 2с — 1//2( б) да. 15Т. Да. 158. а) а = О) а = 4; б) длн а = 4 устойчивы, для а = 0 нет. 159. а) а = О, а = х1( б) устойчивы. 160. а) а = О, а = 1; б) для а = 1 устойчивы, для а = 0 нет. 161. а) ад<бе; б) а(4>Ьс, (а — (4) 4- 4Ьс>0. 162. с>0, (а— — (1) +4Ьс<0. 163. (О, 0) узел. 164. (О, 0) фокус. 165. (3, 1) вырожденный узел. 166.
а<0. 167. а) нет; б) нет. 168. а) фокус; б) !а — Ь!<2 169. а) нет; б) узел: в) а = — 1. 170. а) всегда неустойчиво; б) !а!>1 седло, /а!<1 узел. 1Т1. а) а< — 1 и — 1<а<0 асимптотически устойчиво, а<0 устойчиво; б) а< — 1 и — 1<а< — 1//2 узел (при а = — 1//2 вырожденный); — 1/2<а<0 и а>0 фокус: а = 0 центр. 172. а) а< — 1 асимптотически устойчиво, а< — 1 устойчиво; б) — 1<а<0 седло, а< — 1 н а>8 узел, 0<а<8 фокус. 173. а) а < — 1 и а > 3 асимптотически устойчиво, а < — 1 и а > 3 устойчиво; б) — 1 < а < 3 седло, 1 — з//о/<а< — 1 и 3<а<1 + з/5 узел, а<1 — з/5 и а>1 4- + з/5 фокус.
174. ху = С(х' + у )2. 175. Все решения определены при — со<1<ос. 176. Нет. 1ТТ. а) (О, 0), (х1, 0)( б) а<0; в) нет. 178. а) у = х2х~~х — 1; в) х = сов ' Ь 179. 6) (О, 0) устойчиво, (х1/з/'2, 0) неустойчивы; в) Ь/,2 = х2, Т ян/2( г) (О, 0) устойчивый фокус (0<а<2/8), устойчивый узел (а>з/8), (х1//зГ2, 0) седла. 180. 6) (О, 0) неустойчиво, (х1, 0) устойчивы; в) Ьп2 = хзГ2) Т )г; г) (О, 0) седло, (х1, 0) устойчивые фокусы (0<а<4), устойчивые узлы (а>4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
