А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 22
Текст из файла (страница 22)
146 З 25. Фазовая плоскость х=х+ау, 170.. ' и= к. у = ах, + у; т х= ат,+у, 171. ' а = 1. у = ау — (2а+ 1)х; х = 2а;г+у, 172.. а, = 1. у = ау — 2ах: х = х + (2 — а)у, 173. ' а = 4. у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы х=х — Зху, у=Зх у — у. 175. Имеет ли уравнение х+ хь = 0 ненулевые решения, определенные при — со < 1 < оо? 176. Имеются ли у уравнения х = 4х — 4хз неограниченные решения? 177. Перейти от уравнения х+ ах+ х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений. Для этой системы а) найти особые точки: б) указать значенин а, прн которых все эти точки неустойчивы; в) существует ли значение и, при котором ровно две особые точки устойчивы? 178.
Для уравнения х + 4х — 6тз = 0 а) найти уравнение у = ~р(х) траектории, проходящей через точку (1,0); б) нарисовать эту траекторию., учитывая значение предела !нп л: к-ь ос в) найти решение данного уравнения с начальными условиями х(0) = 1, х(0) = О. 179. Для уравнения х = — и'(х), где и(х) = — хо + хз — 1, а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 147 г 25. Фазовая плоскость б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость: в) найти наклоны сепаратрис и периоды малых колебаний; г) добавить +ах в левую часть уравнения и для о, ) 0 исследовать типы особых точек полученного уравнения. 180. Для уравнения х = 2х — 2хг провести такое же исследование, как в предыдущей задаче.
181. Для уравнения х + х = хг а) найти и исследовать особые точки на фазовой плоскости; б) найти решение х(2), убывающее и стремящееся к 1 при 1 — ь +со, а также его траекторию на фазовой плоскости; в) вынснить, при каких а решение с начальными условинмн х~О) = О, х(0) = и периодическое; г) указать на фазовой плоскости область, заполненную замкнутыми траекториями; д) устойчиво ли решение с начальными условиями *~~) — О, *~~) — 3 .
В задачах 182 и 183 а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости: б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) выяснить, определены ли все решения при — со < 2 < оо. 183. у= у. 184*. Длн системы х=у — ху — у, у=х +ху — т, а) найти все особые точки; б) линеаризовать систему в каждой из точек (О, 0), (1, 0), (,Гг' /г) ' в) исследовать устойчивость этих линеаризованных систем; г) исследовать на устойчивость те же три особые точки для исходной системы; д) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 148 з 26. Дифференцироеание решения по параметру е) выяснить, имеет ли данная система неограниченные решения; ж) описать множество точек, через которые проходят периодические решения. 8 26. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 1. Дифференцирование по параметру 185.
Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по параметру. Написать систему дифференциальных уравнений в вариациях. В задачах 186 — 194 найти производную от решения данного дифференциального уравнения (или системы) по параметру лл при лл = О. 186. у' = ллх+ — (х > 0), у(1) = 1 — 2рь 187. у' = л + ллхс " (х > 0), у(1) = 1+ 2р.
188. у' = у — х+ ллхее". у(Ц = 2 — рь 189. д' = рт+ вшу, д(0) = 2лл. 190. х = хзлпх, +з1п(хз), х(0) = Лл, х(0) = р. 191. х = х+ з!п(а:~), х(0) = лл, т(0) = — Лз. 192. х + х = 2р гйпл+ ллем', х(0) = О, х(0) = О. 193. х — 2х = рлЛх, х(0) = 4, х(0) = Лл~+ Зри 194. х = у, у = х + Зруз, х(0) = 2 — 4лл, у(0) = О. 2. Дифференцирование по начальным условиям 195. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по началь- 'З'27.
Уравнения с частными производи ми 149 ным условиям. Написать систему уравнений в вариациях и начальные условия для нее. 196. Доказать, что в слУчае У Е Нч пРоизводнаЯ по до от решения задачи у' = Г(х, д), у(хо) = уо всегда положительна (предполагается р Е С ). В задачах 197 †1 найти производную от решенин по до при до = О. У к в за н и е. При уо = О каждая из этих задач имеет нулевое решение.
197. у' = 2ху+ шпу, у(1) = уо. 198. У' = Уз шпх+дсоах. У(0) = Уо. (к=у †,+х, 199. $ . х(0) = О, д(О) = уо. (у=у †-ьхд, 200*. х+ ашх = О, х(0) = о, х(0) = (4. Найти о * при о = й = О. 3. Разложение решения по степеням параметра В задачах 201 и 202 найти разложение решения по степеням параметра р до рз включительно. 201. у' = бух+ 1 (х ) 1), у(1) = 1 — р. 202. х = 2х — 2хз, х(0) = 1, х(0) = р. ~ 27. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Теоретические вопросы 203.
Написать общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. Что называетсн характеристикой этого уравнения7 150 "г 27. Уравнения с частннми лроизводннми 204. Сформулировать и доказать утверждение о свнзи решении уравнения с его характеристиками.
205. Как можно использовать первые интегралы некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений длн получении решения данного уравнения с частными производными? 206. Сформулировать постановку задачи Коши длн квазилинейного уравнении с частными производными и теорему существовании ее решения. 207. Сформулировать и доказать теорему о существовании решения задачи Коши длн квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. 2. Задачи 208. Найти общее решение уравнении Решить следующие задачи Коши (209 — 215). 209.
худ + хсзр = уг, = 1+ уг р х = 1. 210. ф + (г — хг) '~' = 2х, г = хг + х при у = 2хг. 211. у — ' Ч- хг — ' = уг, г = — уг при т = О. хгв +Угл =т +У я=4У при х,=ЗУ 213 Угас +:сра' = хзг, г = е" 1г пРи х = 2У. 214. хф + гф = г+ 2хг, г = х при у = 1~ — хг. 215 хви+Ут=х+У+г г=х+У при у=х+1.
Решить следующие задачи Коши (216 — 218) в тех случанх, когда решение существует. 216. Я+ 2а" = 5, г = О при у = (сх. 217. а'+ЗА=2., а) г=уг прих=1; б)г=2х приу=Зх. 218. 2ф — ао' = 2, г = 2аУ пРи х = (аз+ и — 2)У. ди дд З 27.
Уравнения с частными производными 151 219. Имеют ли резпения в окрестности точки (1,0) следующие задачи Коши: а) до'„, — ха' — — О, з = 2у при х = 1: б) увз — хф=О, з=2уприх=1+ут 220*. Имеют ли решения в окрестности точки (1, 1) следующие задачи Коши для уравнения (х — Зху) —,+(Зх у — у) —,=О з,еде,г зде дх ду а) е = з1пу при хи+уз = 2; б) з = шп у при х = 1? 221.
Какому условию должна удовлетворять функцин р(х) Е С' для того, чтобы задача Коши дз де у — — т — =О, я=у(х) при у=О, — оо<х<со., дх ду имела решение на всей плоскости х, у? ОТВЕТЫ 15. У(х, у) = 0; Д(0 (пзах), Д>0 (гп!и). 16. а) у = хз -(- -!-2х; б) х = 2сбу; в) хдз = — (1 — х~)~;у = 0; г) Д т 7 7т' = О. 17. у = е '" Гн. 18. у' = Зуо~. 19.
ху' = Зу. 20. уз + у'з = 1. 21. хзу' — ху = уу'. 22. 2хуу' — д' = 2хз. 23. у'з = 4у(ху' — 2у). 24. д' = сов „" . 25. х(х — 2)ун — (хз — 2)р'+ 2(х — 1)у = 28. хздл' — Зх ун";бху' — бу = О. 29. ун'у' = Зунз. 30. (у — 2х) (у'з-!- + 1) = (2у' -В 1) . 31. ху'з = у(2у' — 1).
32. (ху' — у) = 2ху(у'з -В -!- 1). 33. хздл — 2ху' -!- 2у = О. 34. (улу -!- у'з -Р 1) = (д'з -!- 1)з. 35. уу' + зз' = О, дз + 2хлл' = х~л'~ 36. хз + уз = л~ — 2л(у— — ху'); х + уу' = зз' — з'(у — ху'). 37. 4уу' = -х. 38. у' = -2у. 39. (:сз -!- у)у' = — х. 40. (х -В у)у' = д — х; (х — у)у' = х Ч- у. 41. (х ~ дъГЗ)у = у ~ хъГЗ. 42. (Зх ~ утГЗ)у' = д ~ Зхъ'3. 43. (2хх ~УМ)У' = У ~ 2хъ'3. 44.
~'лгппВ = г'. 45. г' = -'гсвбВ. 16. г' = = г с!8(В х 45'). 47. (х + 2у)у' = — Зх — у; (Зх + 2д)у' = у — х. 48. у']2ху х (хз — уз)] = уз — хз х 2ху. 49. х(1 + у'з) = — 2уу'. 50. уд'з+ ху'з = — 1. 51. у = С(х+ 1)е *; х = — 1. 52. 1п]х] = С+ + ЪГуз Ч- 1 х = О. 53.
у(!п]хз — Ц+С) = 1, у = 0; у(!п(1 — хз)+1] = 1. 64. р = 2-!- С сов х; д = 2 — 3 сове. 55. у = (х — С)з; у = 0; у = = (х — 2)з; у = О. 56. у(1 — Сх) = 1; у = 0; у(1+ х) = 1. 57. д — 2 = Сео . 58. (Се * — 1)у = 2; у = О. 59. о ' = 1 -!- Се~. 60.
л = — !8(С вЂ” 10*). 61. х~ -!-1з — 21 = С. 62. с!8 лг* — — х-> С; у— — х = 2лй, й = О, х1, ... 63. -х + у — 1 = Се' . 64. х + 2у + 2 = = с*"; * ~- 2 2 = . . л 2 ~ — 21 ° ( Я тт — 1 л = = х + С. 66. у = вгссб(1 — з ) + 2к. 67. у = 2. 68. а) 2уз + хз = С; б) у + 2х = С; в) уз = Сел Е" . 71. (С * х)у = 2а . 72. Ь1пу— — у = хх -~- С, 0(д(Ь. 73. а 1п(о х тггоз — уз) ~ т/аз — дз = х -!- -!- С. 74. у = Схз.
75. у = Схз; уз = Сх. 76. г(1 ~ сов х) = С. 77. Количество азота (в литрах) х(!) = 20 — 4е Взоо; х(1) = 19,8 при й = 200 1и 20 600 сек = 10 мин. 78. Количество соли х(1) = = 10е Озо; х(60) = 10е з 0,5 кг. 79. Объем СОз (в м~) х(1) = = 0,08 -!- 0,22е 0'"; х(1) = 0,1 при ! = 10 1п11 24 лшн. 80. Темпе- Ответы 153 ратура тела х(!) = 20+80.2 О'а; х(!) = 25 при ! = 40 мин. 81. Разность температур воды и предмета х(!) = 55 (3/5)', х(!) = 1 при 1 = 1п55/(!пб — 1и 3) — — 8 мин. 82. Температура металла х(1) = = о, + е„' (! — ' '„): х(60) = Ь вЂ” е„„'(1 — е "). 83.
Скорость (в м/сек) о(!) = (2/3)ОЬО '; о(!) = 0,01 при! = 4 (, з + 1)-50 сек; путь л = ые и-15 м. 84. Оставшееся количество вещества х(!) = = х(0)2 Озо; х(!) = 0,01х(0) при! = 60/182 200 дней. 85. Оставшееся количество радия х(1) = х(0) (1 — 0,00044)'; х(!) = эх(0) при ! = !п0,5/1п(1 — 0,00044) 1600 лет. 86. Количество урана х(1) = = х(0)е ', а = !п2/(4,5 10 ); х(!) = 100, т(0) = 100 -!- 14 ф = = 116,2; 1 = 4,5. 10 -'Л-' — 'ее 970 10 лет. 87.
Количество све!л 2 та, прошедшего через слой в х см, у(х) = у(0) . 2 Озз: у(200) = = у(0)2 иотг 0,02. у(0); поглощается 100% — 2% = 98%. 88. Скорость о(!) = 50ФЬ -'„путь (в метрах) а(1) = 250!псЬ -': е(1) = 1000 при сЬ-' = е 1 5(4-!- !п2) — 23 сек. 89. Скорость о(!) = =,„/„18згг18(С вЂ” !),8 = 10, Ь = 0,012, С = + ага!8 )/ие(0) 1,75; о(!) = 0 при ! = С 1,75 сек; наибольшая высота Ь = з' !п(~аз(0)ф + 1)-16,3м (без сопротивления воздуха 1 = 2 сек, Ь = 20м).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
