А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Применение теоремы единственности 1Т. Для уравнения ув = " — 1 известны два решения: у1 —— 1 + з?их, уз — — (Д + 1), проходящие через точку (О, 1). Как зто согласуется с теоремой единственности? В задачах 18 — 22 требуется выяснить, при каких и, наличие указанных решений у написанных уравнений не противоречит теореме единственности. 18. ун' = 1(1, у, у', уи), )Е С1, решения у1 = 1+1+ я?з., уз = 1/(1 — 1) ( — 1 < 1 < 1/2). 19. уой = 1 (х, у, у', ...., д<е '>),,) Е С', решения у1 = = 2совх, уз = 2 — хз.
20. рой + а1(х)у~н Н + ... + а„(х)у = О, все и,(х) непрерывны, решение уе = х(е' — 1). Рис. 10 Рнс. 9 21. Уравнение то же, что в задаче 20, график решения у1 указан на рис. 9 22. Уравнение то же, что в задаче 20, график решения у1 указан на рис. 10. 23. Сколько решений имеет задача (а — 4а)ув'+ (аз + 2а)ун+ у' — 2у = х+ по у(1) = О, у'(1) = 1 в зависимости от значений параметра а? 24. Тот же вопрос длн задачи (1 — аз)(ау'о — уо) = ау'+ уе, у(0) = 2, у'(0) = 4. 132 г 21.
Существование и единственность решения 25. Сколько решений имеет задача убй = х + уг, д( — 1) .= и, у'( — 1) = 0 в зависимости от о и я? 26. Тот же вопрос для задачи урй = 2у — о х, у(1) = 1, у'(1) = а. 2Т. Тот же вопрос для задачи дрй =. х + 2у' + уз ь у( — 1) = 1п(4+ о), у'( — 1) = 1. 4. Прадалжение решений 28. Существует ли при — оо < х < оо решение задачи у' = е "аш(е"), у(0) = О? 29. Для задачи (2 — хг)у' — ху = О, у(хо) = уо, где хо = Еььь ',у = — 2, а) определить максимальный интервал существования решения; б) нарисовать график решения. 30.
а) Найти все решения уравнения „г~~( г г) б) Найти непродолжаемое решение этого уравнения с начальным условием у( — АЗ) = 1/(1п~ яг — 3 — 1) и нарисовать его график. 31. Доказать, что решение задачи у' = х — уг, д(1) = 0 может быть продолжено на полуинтервал 1 < х < оо. 32. Имеет ли система бх/01 = шп у, с1у/Ж = хг решение, которое нельзя продолжить на интервал -оо < 1 < оо? 33*. Доказать, что решение задачи у' = х + уг, у(0)=0 не продолжается на полуинтервал 0 <х < оо.
34*. На каком интервале можно гарантировать существование решения задачи 1 /о1 а, — — )(1,х) (ьЕВ, хЕВ", ? ЕС), х(0) = °, если о )~(1, х)) < )х)г? Дать неулучшаемую оценку интервала, общую для всех таких р(1, х), и подтвердить неулучшаемость примером. "222. Общая теория линейных уравнений и систелс ИЗ 322. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ 'УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ 1. Теоретические вопросы 35.
Сформулировать теорему существования и единственности решения линейного уравнения порядка и на заданном интервале. 30. Сформулировать и доказать теорему об общем решении линейной однородной системы. 37. Дать определение фундаментальной системы решений для линейной системы уравнений и доказать ее существование. 38. а) Что называетсн общим решением линейного неоднородного уравнения? б) Сформулировать теорему об этом решении. 39. а) Сформулировать основные свойства детерминанта Вронского.
б) Пусть И'(1) — детерминант Вронского для скаляр- НЫХ фуНКцИй уС(Г), ..., рн(2) КЛаССа Сн. ЕСЛИ И'(2) Г— В О Прн а < 1 < Ь, то можно ли сделать вывод о линейной зависимости данных функций на отрезке [а, Ь)? Обосновать ответ. 40. а) Дать определение фундаментальной матрицы. б) Написать фундаментальную матрицу для системы т=р,у=О. 41.
Как нз одной фундаментальной матрицы можно получить другие? 42. Сформулировать и доказать теорему об оценке решений системы х = А(1)х (х Е Л"). 43. Сформулировать и доказать теорему существования периодического решении линейного уравнения первого порядка с периодическими коэффициентами. (Задачи 42 и 43 только длн студентов, которым читались эти теоремы.) 134 г22. Общая теория линейных уравнений и систем 2.
Линейные однородные уравнения о ~,=о; о Уг— о Фз = — 2. 1ог — — 2, ~рг = — 1, щз =О, ! Уг ! Рз =0~ а) Указать интервал, на который можно продолжить эти решения по известной теореме. б) Составляют ли они фундаментальную систему'? в) Найти явное выражение для их детерминанта Вронского на этом интервале. 44. а) Написать общий вид линейного однородного уравнения порядка п с переменными коэффициентами.
При каких требованиях на коэффициенты это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям? б) Пусть эти требованин выполнены и известно, что уравнение имеет частное решение рг = хь. Каким может быть порндок уравнения? 45. а) Сформулировать теорему существованин и единственности решения уравнения уи'+аг(х)ди+ог(х)у'+аз(х)у = = 0 с начальными условиями. б) Для какого наибольшего натурального числа т наличие у этого уравнения решения у = (е — 1)™ не противоречит сформулированной теореме? 46. Найти два линейно независимых решения уравнения хгуи — 2ху'+ 2у = 0 и их детерминант Вронского.
Принимает ли он нулевое значение? Как это согласуется с известными свойствами детерминанта Вронского? 47. Пусть рг(х), рг(х) — решения уравнения (х+ 2)дав — 3у' + У~Т вЂ” х = 0 с начальными условиями уг(0) =1, Уг (0) = О, Уг(0) = 3 Уг(0) = 2.
а) Указать интервал, на который их можно продолжить. б) Составлнют ли они фундаментальную систему? в) Чему равен детерминант Вронского этих решений при х = — 1? 48. Пусть вгг(1), сог(1), рз(Г) решения уравнения — (1+ 1)у'и — 2уи+ 21гр1кг = 0 с начальными условиями при 1= 1: "222. Общая теория линейних уравнений и систем 135 г) Решение у(1) с начальными условиями у(1) = а, у'(1) = Ь, уи(1) = с выразить через ~рг(1), ~рг(1). сгз(1). 49. Существует ли такое значение параметра а, при котором детерминант любой фундаментальной матрицы системы а 1 2 — =Ах, хЕЛ', А= 3 2 0 — 1 0 3 остаетсн постоянным при изменении 1? 50.
Сколько линейно независимых решений, определенных при — сс < 1 < оо, имеет уравнение сгх = 90х? Обосновать ответ. 51'. Тот же вопрос для системы гх = 2х, гу = Зу. 52. Построить линейное однородное уравнение возможно низшего порядка, имеющее на интервале (0,1) такие четыре решения: уг —— 1 — т уг = (х — 2), уз = х + х. — 1, У4 = х — 2х + 2. 53. Известны два решения линейного однородного уравнения 2-го порядка: уг — — х, уг — — хг — 1.
Найти решение с начальными условиями у(2) = 4, у'(2) = — 3. 54. Известны два частных РешениЯ Уг — — хг — 2х+ 3, уг —— хе*+2 линейного однородного уравнения 3-го порядка. Достаточно ли этого для отыскания решения с начальными условиями у(0) = 5, у'(О) = — 8, ун(0) = 2? Обосновать ответ. 55. Для уравнения хз(х — Цу'н + хг(5 — Зх)ун + х(бх— — 12)у'+(12 — бх)у = 0 известны два частных решении: у1 = х, уг = хз. Найти общее решение. 56. Для линейного однородного уравнения 3-го порядка известны два частных решения уг и уг.
Описать способ отыскания общего решения. 3. Линейные неоднородные уравнения 57. Известны два частных решения линейного неоднородного уравнения первого порядка: уг = х, уг = е* . Найти решение с начальным условием у(1) = — 1. 136 222. Ойтая теория линейных уравнений и систем 58. Известны три частных решения линейного неоднородного УРавнениЯ 2-го поРЯдка: Уа = х+1, Уз =,с — 1, Уз = 1 — хз. Найти общее решение етого уравнения. 59. Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка: у1 = х~, уз = 1 — х, уз = 1 — Зх.
Найти решение с начальными условиями у(0) = 2, у'(0) = О. 60. Даны три функции: у1 — — х+ 1, уз — — 1 — 2т, уз —— = хз — 3. Составить линейное неоднородное уравнение 2-го порядка, которому они удовлетворяют. 61. Известны два частных решения у1 = х — 1 и уз = = (хз — х + 1)?х уравнения (хз — 2х)дн + 4(х — 1)у'+ +2у = = 6х — 6. Найти общее решение. 62.
Известны два частных решения у1 — — хе*, уз = (х — 2) с уравнения хун — (х+ 1)у'+ у = (х — 1) е . Найти общее решение. 4. Краевые задачи 63. Пусть известно, что уравнение ун + р(х)у' + у(х)у = = 0 с непрерывными на (а, Ь) функциями р(х) и у(х) не имеет решений у(х) ?'=--О, для которых д(и) = у(Ь) = О. Доказать, что для любых чисел с, д существует единственное решение, длн которого у(а) = с, у(Ь) = с?. 64*. Найти наименьшее положительное число Т такое. что для уравнения х — 2х = 8 сйп 1 разрешима краевая задача 2 с условиями х(0) = — 1, х(Т) = — 1.
65. Известно, что при некоторой непрерывной функции 1(х) краевая задача ун — 2у'+ 2у = ~(х), у(0) = 2, у(я) = — 2 имеет решение. Единственно ли это решение? 66. Найти наименьшее положительное р, при котором краеван задача ун + ру = О, у(0) = 1, у(1) = 2 не имеет решений. 137 З 23. Линейные ураенения и системы 67. Найти наибольшее из таких чисел о, что при каждом р б (1, а) краевая задача да+ 2у'+ру = О„у(0) = 2, у(л) = 3 имеет решение. 3 23. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1.
Отыскание решений Найти все вещественные решения уравнений 68 — 71. 68. х — 2х+х=ес+япс. 69. х+ 4х=(ез'+2) йп2с. 70. ди + у = 4х сов х. 71. да+ у = бхе з'+4ешх. Указать вид общего решения (в задачах 72 и ТЗ общего вещественного решения) с неопределенными коэффициентами. Не находить числовых значений коэффициентов.
72. у'и — 2ди+ у' = уе'(1+ сову) + с. ТЗ. ди — 4у'+ 4у = ез (х+ япх). 74. уи — 21у = 8 е* сов х. 75. уи — 2гу' — у = 4 а|их. 76. уи+ 41у' — бу = ее сов 2х. 77. у'и+ 81д = аупхсолх. 2. Периодические и ограниченные решения Имеют ли уравненил 78 — 80 периодические решения'? 78. у'н + у = соа С З 23. Линеание уравнения и системы 79. т+ т = (яп — „') 80. т — 2т, = 8япз?. 81.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
