А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 15
Текст из файла (страница 15)
939. у~~+ Зу~~~+ 26уо+ 74у~ ч- 85у = О, 940. у'~ + 3,1у"' + 5,2у" + 9,8у' .+ 5,8у = О. 941 уу + 2у~ч + 4у + Од« -Ь 5д' ч- 4у = О 942 у~ + 2д'~ + 5уьо + Оу" + 5д' + 2у = О. 943 ут +Зд'"+69 +7д +4у +4д 0 944. у~ + 4д~~' + 9уьч + 16у" + 19д' + 13у = О. 945. у~ + 4у~~ + 16у"' + 25у" + 13у' + Оу = О. 946.
у~ + Зу~~ + 10у"' + 22у" + 23у' + 12у = О. 947. у~ + Ьу~~' + 15у"' + 48у" + 44у' + 74у = О. 948 уч -, 2у~е Ч 14уо' -с Збу" Ч- 23у' -ь 68д = 0 В задачах 949 — 958 исследовать, при каких значениях параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 949. у"' + ад" + Ьу' + 2у = О. 950.
у"'+ Зу" + ау'+ Лу = О. 951. у~ ~ + 2уоч + Зу" + 2у' + ад = О. 952. у~~ + ау"'+ у" + 2д'+ у = О. 953. ау~~ + у"'+ у" + у'+ Ьу = О. 954. у~У + у"' + ау" + у' + Ьд = О. 955 ц~м Ч- ау"' -';-4у" -~-2у'-~- Ьу = 0 956 у'~ + 2у"' + ау" + Ьу' ч- у = О. Ь 16. Особые точки 957. у1~ + ауи'+ 4уи+ Ьу'+ у = О. 958. у1~ -~- 2уи' -~- 4уи -~- ау'+ Ьу = О. Для исследования устойчивости уравнений с периодическими коэффициентами в задачах 959 и 960 надо найти матрицу монодромии и вычислить мультипликаторы, см. (5), гл. 111, 2 15, 2 16. 959.
Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения т. + Р(т)х = О. Р(1) = а (О < 1 < к), р(1) = Ьз (к < Ь < 2я)., р(2+ 2к) = р(1), при следующих значениях параметров: 960. Исследовать, при каких а и Ь устойчиво нулевое решение системы с периодическими коэффициентами = А(1) х, А(1+ 2) = А(1), А(1)=1 ~приО<Ь<1, А(2)=~ ~при1<1<2. (О ач~ /О 01 816. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1.
Особой точкой системы — = Р(х, д), — =. Я(х, у) бх с1у ог ' ' бг или уравнения бу Я( у) бх Р(х, у)' где функции Р н Я непрерывно днфференцируемы, называетсн такая точка, в которой Р(х, у) = О, Я(х, у) = О. 2. Для исследования особой точки системы ох оу — = ах ф Ьу, — = сх -~- оу 41 ' ' 41 (6) а) а=0,5, в) а=0,5., д) а=1, Ь=О; Ь= 1,5: Ь=О; б) а = 0,5, г) о = 0,75, е) а = 1, Ь= 1; Ь=О; Ь = 1,5.
З 16. Особые точки или уравнения Оу ох+ ду Йх ах -ь Ьу недо найти корни характеристического уравнения (4) а,— Л Ь = О. с Н вЂ” Л Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — узел (рис. О,а), если разных знаков — седло (рис. 6,б), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка — фокус (рнс. Ь,в), если чисто мнимые, —— центр (рис.
6,г); если корни равные и ненулевые (т. е. Лг Лз ф О), то особая тачка может быть вырожденным узлом (рис. 6,д) или дикритическим узлом (рис. О,е), причем днкритнческий узел имеет место только в случае системы 'з', — — аз: еи = = ау (или уравнения д = л), а во всех остальных случаих при Лг = Лз ~ О особая точка является вырожденным узлом.
Если же один или оба корня уравнения (6) равны нулю, то а Ь~ ~ = О и, следовательно, дробь в правой части уравнения (4) с д~ сокращается. Уравнение принимает вид зи = Ь, и решения иа плоскости х, у изображаются параллельными прямыми. 6) в) е) г) Рис. 6 Чтобы начертить траектории (кривые, изображающие решения на плоскости х, у) в случае узла, седла и вырожденного уз- з 16. Особые точки (6) г.=2з, у = к+ у Составлнем и решаем характеристическое уравнение =О, (2 — Л)(1 — Л)=О, Лг=1, Лг=2.
2 — Л 0 1 1 — Л Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особан точка узел (того же типа, что на рис. 6,о). Для Лг = 1 находим собственный вектор (О, 1), а для Лг = 2 вектор (1, 1). На плоскости з, у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся в начале координат первой из этих прнмых, так как (Лг! < )Лг(, см. рис. 7. Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно из уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рис. 7 ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку.
Эти прямые всегда /а ьЛ направлены вдоль собственных векторов матрицы ~ ),состав'Лс ленной из коэффициентов данной системы (3). В случае узла кривые касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего м е н ь ш е м у по абсолютной величине значению Л.
В случае особой точки типа фокус надо определить направление закручивания траекторий. Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки па знаку НеЛ и, во-вторых. определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибУдь точке (к, У) вектоР скоРости ( аы ф), опРеделЯемый по формулам (3). Аналогично исследуется направление движения в случае вырожденного узла. Н р и мер 1.
Исследовать особую точку ш = О, у = 0 системы 100 з 16. Особые точки Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде у = йх (а также х = 0). Подставляя в написанные уравнения, находим к = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прямые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изоклин (рис. 7). П ри мер 2. Исследовать особую точку уравнения йу 4х — Зу йх х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнении 4 — 3 — Л = 0; Л ф 2Л -~- 5 = 0; Л = — 1 х 21.
Особая точка —. фокус. Переходим от уравнения (7) к системе йх йу — = х — 2у, — = 4х — Зу. (8) йг ' йт Строим в точке (1, 0) вектор скорости ( а*,, ал) . В силу (8) он равен (х — 2у, 4х — Зу). В точке х = 1, у = 0 получаем вектор (1, 4) (рис. 8,а). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение по траекториям против часовой стрелки.
Так как вещественная часть корней Л равна — 1 < О, то особая точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решения неограниченно приближаются к особой точке. Итак,при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис. 8,б).
б) Рис. 8 3. Длн исследования особой точки более общей системы (1) или уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р и Я в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид Йх~ йуе — = ахе + 1кя + 1о(хе, уе), — = схе + йуе + ф(хе, уе), (9) 161 216. Особые точки г ге-: ' ггч- где г = чгхзг + У . Очевидно, это Условие выполнЯетсЯ (пРи любом е ( 1), если функции Р и се в исследуемой точке дважды днфференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (5) отличны от нуля.
Тогда особая точка хе = О, уг = О системы (9) будет того же типа, что особая точка системы (3), получаемой отбрасыванием функций 1о и ф. Далее, угловые коэффициенты направлений, по которым траектории входят в особую точку, для систем (3) и (9) одни и те же (однако прямым у = )сх для системы (3) могут соответствовать кривые для системы (9)), а в случае фокуса — направление закручивания траекторий одно и то же.
В том случае, когда длн системы (3) особая точка центр, для системы (9) она может быть фокусом или центром. Для наличин центра достаточно (но не необходима), чтобы траектории системы (9) имели ось симметрии, проходящую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если уравнение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меняется от замены х на — х (или у на — у). Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптатически устойчиво при 1 — г -Ьаа или при 1 — г — сю.
Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции Ляпунова. Это сделать нелегко, так как в рассматриваемом случае функцию Ляпунова часто приходится брать в виде суммы членов второй, третьей и четвертой степеней относительно х, у. В задачах 961 †9 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем. Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости (х,, у). 2х -~- у Зх ф4у 962.
у' = 2У вЂ” Зх ' 963. у' = у 964 ' хж4у 2х+ Зу' 965. у' = Зх — 4У ' 966. у' = х — у 96Т. у 2У вЂ” Зх' 4У вЂ” 2х У где хе, ус — новые координаты (после переноса), а, Ь, с, Ы -- по- стоянные. Предположим, что длн некоторого е ) О 102 5 16. Особые точки 979. д' = Зт — 2у У =2; ° 8 У 969. т=Зх9 9Т1. у = 2х+д. т = 2т — У9 972. ~~ ~ ~ ~ 9 д = х.
< х=х+Зу, у = -6х — 5у. х=т 9Т4. у = 22: — у. < х = -2х — 5У, 2) = 2т+ 2У. х = Зх+д, 976. д = д — т. 975. < х = Зх — 2У, у = 4у — бх. х = у — 2т, 978. у = 2У вЂ” 4х. В задачах 979 — 992 найти и исследовать особые точки данных уравнений и систем.
989. . у т — 2У вЂ” 5' 979. у' = Зх+ 6' у'= . 982. у'= 48 2 — х2 28 2ху — 4у — 8' 2 2 981 983. у' = 984. у' = т — д х+д+1 У8 1п<1 — т +:гз) — 1п 3. 'те — 9 9 8 — 2, агс$8<х + ту). У9 2 - -<У-2). д у+1 !п т — д. 998. 988. < 988. < 989. < 999. 1п<2 — уз), ( х = <2т — у)<т — 2), 987. ( е* — е" . 1у=ху — 2. 103 З 16. Особые точки х = 1п(1 — у + уз), 991.
у' = 3 — ъ~ ' + 89. . = ч"к — Е' ~ Ь вЂ” 2, 992. у =е" * — е. Для уравнений 993 — 997 дать чертеж расположения интегральных кривых в окрестности начала координат. У к а з а н и е. В задачах 993 — 997 особые точки не принадлежат к рассмотренным в начале з 16 типем. Для нх исследования можно построить несколько изоклин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
