А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(Л1 = 1, Лг = 2, Лз = — 1) 808. (Л1 = 1, Лг з = ~8). (Л1 = 24 Лг,з = 3 х 8) 804. (Л1 = Ог Лг = Лз = 1) ° (Л1=2 Лг=Лз=З) х = у — 2х — 22, (Л1 = 3, Л2 = Лз = -1) (Л1 = Лг = 2, Лз = — 5). 808. (Л1 = Лг = 1, Лз = 2) (Л1 = 1, Л2 = Лз = — 1). (Л1=Л2=О,Л2=3). (Л1=Лг=Лз=1). (Л1 = Лг = Лз = 2). В задачах 813 — 825 решить системы., не приведенные к нормальному виду.
т,=2х — Зу, 813. у =х — 2у. х = Зх+4у, 814. д = — х — у. 800. ( 800. ( 840. ( вгг. ( х = 4д — 22 — Зх, у=з+х, г = бт — 6д+ 52 х = 2х+д, у=х+Зу — г, з = 2д+Зг — х х = 4х — у — г, у =х+2у — г, г = х — у+22 у =:с — 2у+ 22, г = Зх — Зд+ 52 х=х — у+г, у = т, + д — гг г = 22 — у т = 2х+у, д = 2у+ 42, = х — г х =4х — у, у =Зх+у — з г=т+г 804. ( 808. ( 808. ( ввг. ( 809. ( 844. ( х = 2х+22 — у, у = х+22, 5 = у — 2х — г х = 2х — р — г, у = Зх — 2у — Зг, г = 22 — х+у х = Зх — 2у — г, 'д = Зх — 4д — Зз, 5 = 2х — 4у х = у — 22 — х 'у = '1х + уг г = 2х+у — г х = 2х — у — г, у = 2х — у — 22, г = 22 — т+у з14.
Линейные системы с постоянными коэффициентами 83 е16. ( х = Зх — д — е, д= — х-ьЗд — з, Е = — х — д+ Зз. х = 2у, 815. у = — 2х. 2х — 5у = 4у — х, 817. Зг, — 4у = 2х — у. х — 2у+ у+ х — Зд = О, 819. 4у — 2х — х — 2х+ 5д = О. х — х + 2у — 2у = О, 820. х — х+д+у=О. х — 2у+2х=О, 821. Зх+ д — 8у = О. т+ 5х+ 2у+ у = О, 823.
Зх+ 5х+ д+ Зу = О. х+ 4х — 2х — 2д — у = О, 824. х — 4т — у + 2у+ 2у = О. 2х+ 2х+ х+ Зу+ у+ у = О, 825. х+ 4х — х+ Зу+ 2у — у = О. х+х+д — 2у=О, 818. т — у+т=О. т+Зу — х = О, 822. х + Зд — 2д = О. В задачах 826 — 845 решить линейные неоднородные сис- темы. хк у+2ес 826. ~~ ~ ~ ~ 2 ~ с ! а с у=х+1'. х = Зх+ 2у+ 4еэ', 828.
д=х+2у. 830. х = 4х + у — ез', у=д — 2х. х = 5х — Зд+ 2езс, 832. у=х+д+5е '. х = д — 5соа1, 827. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ! ~ и у=2х+у. х = 2х — 4у+4е ", 829. у = 2х — 2у. х = 2у — х+1, 831. д = Зу — 2х,. х = 2х+ у+ее, 833. д = — 2т+ 21. 84 З14.
Линейные системы с постоянными коэффициентами < х = 2х — у, у = 2у — х — осе'япй. х=х — у+81, 844. у=5т,— у. 845. В задачах 846 — 850 данные системы решить методом вариации постоянных. х = 2у — х, зс д = 4у — Зх+, езе+1' х = у+ 15 1 — 1, 846. ~ 847. ~ У = — х+ 181. 2 х = — 4х — 2у+ ес — 1' 3 д = 6х+Зу— ее 1' еее. ( 1 х, = х — у+ 849. сов 1' у =2х — у. х = Зх — 2у, 850.
д = 2х — у+15 е' ч'Я Решить системы 851 — 866, записанные в векторной форме: х = Ах, где т — вектор, А — данная матрица. 851.х=Ах,, А= < /3 01 — <,0 3). 852. х = Лх, Л = ~ е'1 1'1 ~2 О)' л.' = х + 2у., 834. у = х — 5яп1. х = 2х — у, 836. д = у — 2х+ 181. х = 2х+4у — 8, 838. у = Зх + бу. х = х — у+ 2 яп1., 840.
у = 2х — у. х = 4х — Зу+ япй, 842. у = 2х — у — 2 соей. х = 2т, — 4д, 835. у=х — Зу-~-Зс. х = т+2д+161е~, 837. у = 2х — 2д. х = 2х — Зд, 839. у = т.— 2у+2япй. т = 2т — у, 841. у = х+ 2е'. х = 2х+ у+2е', 843. 3 ем 853.х=Ат,, А= ~ /1 — 2в [,2 — 3) ' 854. т,=Ах., А= ~ с'3 — 2в 14 — 1)' А= 1 4 — 2 А= — 2 — 1 2 А= — 3 — 1 1 А= 3 — 2 2 А= — 1 О 1 А= 1 О 1 А= — 1 О 2 А= 1 Π— 1 855. х = Ах, 856. т, = Ах, 857. х = Ах 858. х = Ах, 859.
х = Ах, 866. х = Ах, 861. х = Ах, 862. х = Ах, 863. х = Ах 864. х = Ах, 865. х = Ах ~14. линейные системы с постоянными коэффициентами 85 86 З14. Лимеамьье сисльемьь с настоянными нооффилиентаиеи 2 0 — 1 866.х=Ах, А= 1 — 1 0 3 — 1 — 1 В задачах 867 — 873 найти показательную функцию ел данной матрицы А. 867. А = 873 А= 0 2 1 868. А= О В задачах 874 и 875 найти с1е1ел, не вычисляя матрицу е 1 0 3 1 4 2 874А= — 1 2 0 . 875 А= 3 1 — 1 0 1 — 1 2 1 — 3 876. Тело массы ьп движется на плоскости т, рь притягиваясь к точке (О, 0) с силой азтг, где т - — расстонние до этой точки. Найти движение тела при начальных условиях х(0) = с1, у(0) = О, х(0) = Оь р(0) = о и траекторию этого движения.
877. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке Оь а к другому прикреплен груз массы 3сп, соединенный другой пружиной с грузом массы 2яи Оба груза двигаютсн без тренин по одной прямой, проходящей через точку О. Каждая из пружин растягивается на величину х, под действием силы азпьх. Найти возможные периодические движения системы.
878. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых Ть и Уз. При повороте одного шкива относительно другого на любой угол ~р вследствие деформации вала З 15. Устойчивость возникают упругие силы с крутящим моментом Льо. Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил. 879.
К источнику тока с напряжением Е = Ъ'зшьой последовательно присоединено сопротивление 1?. Далее цепь разветвляется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция Е, а в другой — емкость С (рис. 4). Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротивление ??. При какой частоте аа сила тока наибольшан? Наименьшая? Е='г'зьоаз1 Рис. 4 У к а з а н и е. 0 составлении дифференциальных уравнений в задачах об электрических цепях см. и.
б 1 11. У к а з а н и е. Применив метод вариации постоянных в векторной форме, выразить общее решение через фундаментальную матрицу е~~, функцию 1(1) и начальные условия. Воспользоваться условием периодичности. ~ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Рассмотрим систему уравнений с1а. Ж вЂ” =тз(Вез, .... зо), с=1, ....,о, или, в векторной записи дт.
М вЂ” =1(йт), к=(кз, ...,а„). (2) Пусть все ть и, непрерывны при са < 1 < оо. д?, П*ь Решение а = Ча(1) системы (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого в > О существует такое д > О, что для 880*. Какое условие достаточно наложить на собственные значения матрицы А, чтобы система уравнений (в векторной записи) с = Аш + 1(1) имела периодическое решение при всякой непрерывной вектор-функции Я) периода из? 88 215. Устойчивость вснкого решения х(г) той же системы, начальное значение которо- го удовлетворяет неравенству (3) )х(г ) — р(г ) ! < д при всех г > го выполняетсн неравенство ~ (1) — р(г)~ < . Если же для некоторого г > О такого б не существует, то решение 1о(г)называется неустойчивым.
Решение уз(г) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неогрениченно приближаются к р(й) при 1 — ь -~-со, т.е. если из неравенства (3) следует х(1) — р(г) ь О(1-ь Ч-оо). Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора го. Вопрос об устойчивости данного решения х = р(1) системы (2) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения у(г) г— н О другой системы, получаемой из (2) заменой искомой функции х— — р(г) =у 2. Исследование на устойчивость по первому приближению. Пусть хг(1) = О (г = 1, ..., и) — решение системы (1).
Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций Тг линейную часть вблизи точки хг = ... — — х = О, например, по формуле Тейлора. Полученную систему часто можно исследовать с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему йьч Й вЂ” *=а,зхзц-...фатх„-~-фг(г,хы ...,х ), г=1, ...,и, (4) где а,ь — постоянные, а ф„— бесконечно малые выше первого по- рядка, точнее, при ~х~ < ео )г)з,! < 1(х))х(, г = 1, ..., пч у(х) — ь О при )х! -ь О,. (5) 1 )= 'ьгг" Р "г.
Тогда если все собственные значения матрицы (игь), г, к = 1, ..., п, имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение неустойчиво. 89 315. Устойчивость П р и м е р. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы < х = чгсй+ 4у — 2 с*~к, у = шпак -!-!п(1 — 4у), а = сопя!. Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем т = — 2х — у+ Фг(х У) у = ах — 4у + чьг(х~ У) где функции ич и фг равны 0(х~ + уг) и, значит, удовлетворяют условию (5).
Находим собственные значения матрицы коэффициентов =О, Л +6Л+8+а=О; Лиг= — ЗхЛ вЂ” а. При а > 1 корни комплексные, КеЛкг = — 3 < О, а при — 8 < а < 1 корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение аснмптотически устойчиво. При а < — 8 один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
