А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000)
Текст из файла
А. Ф. Филиппов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Научно-издательский центр лрегулярная и хаотическая динамика» 2000 УДК 517.0 ББК 517.2 «Р 56 Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная н хаотическая динамика>, 2000, 176 стр. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повьппенной математической программой. В настоящее издание добавлены задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ. 16ВХ 5-93972-008-0 ББК 517.2 © НИВ «Регулярная и хаотическая динамиках, 2000 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 25 29 49 87 97 104 109 П9 122 129 з 1. э 2.
~ 3. 34. э 5. э 6. э 7. э 8. э 10. з 11. э 12. ~ 13. з 14. ~ 15. э 16. 3 17. з 18. э 20. э 21. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых . Уравнения с разделяющимися переменными Геометрические и физические задачи Однородные уравнении............... Линейные уравнения первого порядка Уравнения в полных дифференциалах.
Интегриру ющий множитель Существование и единственность решения Уравнения, не разрешенные относительно произ водной Разные уравнения первого порядка ........ Уравнения, допускающие понижение порядка .. Линейные уравнения с постоянными коэффициен тами . Линейные уравнения с переменными коэффициен тами . Краевые задачи Линейные системы с постоянными коэффициентами Устойчивость Особые точки Фазовая плоскость Зависимость решения от начальных условий и па- раметров. Приближенное решение дифференциаль- ных уравнений Нелинейные системы .. Уравнения в частных производных первого порядка Существование и единственность решения 10 12 17 20 34 39 44 62 71 Содержание Ответы 152 171 Ответы к добавлению Таблицы показательной функции и логарифмов .....
175 322. Общая теория линейных уравнений и систем ~ 23. Линейные уравнения и системы с постоянными зффициентами . 3 24. Устойчивость 3 25. Фазовая плоскость 3 26. Дифференцирование решения по параметру и начальным условиям 327. Уравнения с частными производными первого рядка ...
133 ко- 137 142 144 по 148 по- 149 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, принятой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина, Г. Н. Бермана, М. Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В.
В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В начале каждого параграфа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решения типовых задач. В это издание включено «Добавление» (Я 21-27), содержащее задачи, предлагавшиесн на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992 — 1996 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю.
С. Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. Х. Розовым, И. Н. Сергеевым, А. Ф. Филипповым. В книге приняты условные обозначения учебников: [1) В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. [2[ И.Г. Петровский. Лекции ао теории обыкновенных дифференциальных уравнений, [3[ Л.
С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [4[ Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [5[ Б. П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. ~ 1. ИЗОКЛИНЬЬ СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЬГХ ~р(х, у, См ...,. С ) = О, надо продифференцировать равенство (1) я раз, считая у функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные См ..., С„.
П р и м е р. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых С~х -~- (у — Ст) = О. (2) Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая у = у(х): Сг + 2(у — Ст)у = О, 2у' + 2(у — Ст)уо = О. (3) (4) 1. Решение уравнения у' = Г" (х, у), проходящее через точку (х, у), должно иметь в этой точке производную у', равную Г(х, у), т.е. оно должно касаться примой, наклоненной под углом а = агстй Г(х, у) к оси Ох. Геометрическое место точек плоскости (х., у), в которых наклон касательных к решениям уравнении у' = = 1(х, у) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно, уравнение изоклины имеет вид 1(х, у) = л, где а — постоянная.
Чтобы приближенно построить решении уравнения у' Г(х, у), можно начертить достаточное число изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами 1(х, у) = ам Г(х, у) = ам ... имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно ам йх, ... Пример применения этого метода см. [1], гл. 1, 3 1, и. 3, или [4), гл. 1, 3 1. 2. Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства г 1. Изонлинн Исключаем Сы Из уравнения (3) имеем Сг = — 2(й — Сг)у'; под- ставлян это в (2), получим — 2хр (у — Сг) -~- (у — Сг) = О.
(5) Исключаем Сг. Из уравнения (4) имеем р — Сг = — у'~/у"; подставляя это в (5), получим после упрощений дифференциальное уравнение у'+ 2хун = О. 3. Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом сг, называются изогональными траекториями.
Углы 11 и о наклона траектории и кривой к оси Ох свнзаны соотношением )г = о х сг. Пусть и'=й* р) дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а у =Ях,й) (6) (7) — уравнение семейства изогональных траекторий. Тогда 18 о = ((х, й), 18Д = 7г(х, й). Следовательно, если уравнение (6) написано и угол;о известен, то легко найти 18)3 и затем написать дифференциальное уравнение траекторий (7). Если уравнение данного семейства кривых написано в виде И(х, у, у ) = О, (8) В задачах 1 — 14 с помощью изоклнн начертить (приближенно) решения данных уравнений.
1. у' = у — хг. 2. 2(у + д') = х + 3. 4. (р~ + 1)у' = р — х. 6. хр' = 2у. г г 3. д' = -' тк- — 1. г 5. уу' + х = О. то при составлении уравнении изогональных траекторий можно обойтись без разрешения уравнения (8) относительно у'. В этом случае в (8) надо заменить у' на 18о = 18(И т гг), где Сдд = У'— угловой коэффициент касательной к траектории. Если же уравнение семейства кривых дано в виде 1с(х, й, С) = = О, то сначала нужно составить дифференциальное уравнение этого семейства и только после этого дифференциальное уравнение траекторий.
З 1. Изоклииы 8 у~+у (х дз)з 10. у(у'+ х) = 1. 7. ху' + у = О. 9. д' = т — е". Л-зл д: з-зз ' 13. хз + уз у' — 1 12. д' = ф-. 14. (хз + дз)д' = 4х. 15. Написать уравнение геометрического места точек (х, у), являющихся точками максимума или минимума решений уравнении у' = Г(х, у). Как отличить точки максимума от точек минимума7 16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений а) у'=у — хз; в) хи + узу' = 1; б) у'=х — е"; г) у' = 1(х, у). В задачах 17 29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий.
еСз 18. д = (х — С)з. 19. у=си' 21. хз + Сдз = 2у. 20. у = з1п(х + С). дз + Сх = хз 23. у = С(х — С) . 25. у = ахз + без. 24. Су = зшСх. 26. (х — а)'+ бу' =-1. д = ахз + 5хз л сх 27. 1пу = ах+ Ьу. 29. х = ауз+ Ьу+ с. 30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой д = 2х. 31. Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Оу, и касакзщихся одновременно прямых у = 0 и д = х.
32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых у = 0 и х = О и расположенных в первой и третьей четвертях, 33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Оу, и проходящих через начало координат.
б 1. Йзокликы 34. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси абсцисс. 35. ах+ г = Ь уз+ хг Ьг 36. хг+ уз = дг — 2Ьг, у = ах+ Ь. В задачах 37 — 50 составить дифференциальные уравнениях траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом у: 3Т. у = Схл р = 90'. 38. уз=хфС, нз=90'. 39. хг = у + Сх, р = 90'. 40 г г г 41.
у=йх, 42. Зхг+ уз = С, 43. уг = 2рх, ~р = 45'. р=60. у = 30 . ~р = 60'. 44. т = а + соа д, ~р = 90'. 45. г' = а сонг д, р = 90'. 46. т = аз1пд, ф = 45'. 4Т. у = х1пх -~- Сх, ~р = агсга2. 48. дг + уг = 2ах, ~р = 45'. 49. хг + Сг = 2Су, р = 90'. 50.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
