А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В воздухе комнаты объемом 200 мз содержится 0,15еззе углекислого газа (СОз). Вентилятор подает в минуту 20 мз воздуха, содержащего 0,04% СОз. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? В задачах 80 — 82 принять, что скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. 80.
Тело охладилось за 10 мик от 100' до 60'. Температура окружающего воздуха поддерживаетсн равной 20'. Когда тело остынет до 25'? 81. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20', опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75'. Через минуту вода нагрелась на 2'. Когда температура воды и предмета будет отличаться одна от другой на 1'? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь. 82. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от а градусов до 5 градусов. При разности температур З 3. Геометрические и 4иэические задачи 15 печи и металла в Т градусов металл нагревается со скоростью кТ градусов в минуту.
Найти температуру металла через час. 83. Лодка замедлнет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальнан скорость лодки 1,5 м,/сек, через 4 сек скорость ее 1 м 'сек. Когда скорость уменьшитсн до 1 см,~сея? Какой путь может пройти лодка до остановки? В задачах 84 — 86 использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству етого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. 84. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества.
Через сколько времени останется 1% от первоначального количества'? 85. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается Ое44 мг. Через сколько лет распадетсн половина имеющегося количества радия? 86. В исследованном куске горной породы содержитсн 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадаетсн наполовину за 4,5 10' лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца.
Определить возраст горной породы. Считать, что в момент образования горнан порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). 87. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м? Для составления дифференциального уравнения в задачах 88 — 90 за неизвестную функцию удобнее взять скорость. Ускорение силы тяжести считать равным 10 м,~сея . 88.
Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытии парашюта? Известно, что предельная скорость падении человека в воздухе нормальной плотности составляет 16 З 3. Геометрические и физические задачи 50 мззсек.
Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. 89. Футбольный мяч весом 0,4 кГ брошен вверх со скоростькз 20 м/сек. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г при скорости 1 мзсек. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема.
Как изменятсн эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? 90. Вычислить время падения мяча с высоты 16,3 м без начальной скорости с учетом сопротивления воздуха (см. задачу 89). Найти скорость в конце падения. В задачах 91 — 95 принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью., равной 0,6чз2дй, где я = 10 мззсекз— ускорение силы тнжести, Й -- высота уровня воды над отверстием. 91. За какое время вытечет вен вода из цилиндрического бака диаметром 2Л = 1,8 м и высотой Н = 2,45 м через отверстие в дне диаметром 2г = 6 см? Ось цилиндра вертикальна. 92. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. 93.
Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 минут. За какое время вытечет вся вода? 94. Воронка имеет форму конуса радиуса й = 6 см и высоты Н = 10 см, обращенного вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра 0,5 сл, сделанное в вершине конуса? 95. В прямоугольный бак размером 60 см х 75 см и высотой 80 см поступает 1,8 л воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью 2,5 смз. За какое время наполнится бак? Сравнить результат с временем наполнения такого бака без отверстия в дне.
96. Резиновый шнур длиной в 1 м под действием силы 1 кГ удлиняется на ?ср" метров. На сколько удлинится такой же шнур длины 1 и веса Р под действием своего веса, если его подвесить за один конец? 17 З 4. Однородные уравнения 97. Найти атмосферное давление на высоте Ь, если на поверхности земли давление равно 1 кГ/слез и плотность воздуха 0,0012 гггсзсз. Использовать закон Бойля †Мариот, в силу которого плотность пропорциональна давлению (т. е. пренебречь изменением температуры воздуха с высотой). 98. Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани.
Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг столба, коэффициент трения каната о столб равен 1/3, и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 нГ? 99. В закрытом помещении объемом е мз находится открытый сосуд с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством от водяного пара, насыщающего 1 зс~ воздуха при данной температуре, и количеством и воднного пара, имеющемся в 1 мз воздуха в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха и воды, а также величина площади, с которой происходит испарение, оста1отся неизменными).
В начальный момент в сосуде было тке грамм воды, а в 1 м воздуха оо грамм пара. Сколько воды останется в сосуде через промежуток времени 17 100. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива т, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха (формула Циолковского). В 4.
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Однородные уравнения могут быть записаны н виде у' = = 7" (д), а также в виде М(х, у) с)х+ Дс(х, у) с1у = О, где М(х, у) и Х(х, у) — однородные функции одной н той же степени'. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену у = тх, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными.
П р и м е р. Решить ураннение х с)у = (х + у) бх. Функция М(х, у) незывеетсн однородной функцией степени и, если ддн всех Ь З 0 имеем М(дх, Ьу) = Ь М(з, у). 18 34. Однородные уравнения Это уравнение -- однородное. Полагаем у = гх. Тогда с!у = = хЖ+бс1х. Подставляя в уравнение, получим з(хдг+гс1х) = (х+ ах) дх; ХО! = дх. Решаем полученное уравнение с разделнющимися переменными с!1 = — '; 1 = 1и!х~ + С. с1т Возвращансь к старому переменному д, получим у = з,(!и!х~+ С). Кроме того, имеется решение х = О, которое было потеряно прн делении на х. 2. Уравнение вида д' = / ( — 'с-"т"-гл~и) приводится к однородтьтэ ному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых ах -1-Ьд-!-с = О и осх-!- Ьсд-!-с, = О.
Если же эти прнмые не пересекаютсн, то агх -Ь Ьгд = Ь(ах -Ь Ьу); следовательно, уравнение имеет вид у' = Г(ах + Ьу) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой з = ах + Ьу (нли з = ах + Ьд + с), см. 3' 2, и. 2. 3. Некоторые уравнении можно привести к однородным заменой у = з . Число гп обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену у = з . Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число гп, если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом. П р и м е р.
Дано уравнение 2х~ду'+у = 4хэ. После замены у = = зж уравнение примет вид 2спх зз 'з'+ зи" = 4хе. Это уравнение будет однородным в том случае, когда степени всех его членов равны между собой, т. е, 4 + (2сп — 1) = 4сп = 6. Эти равенства удовлетворяются одновременно, если гп = 3/2. Следовательно, уравнение можно привести к однородному заменой у = зщ . Решить уравнения 101 — 129. 101. (т. + 2у) с1т — х с!у = О. 102.
(х — у) с)х + (х + у) с)у = О. 103. (уз — 2ху) с)х + хз с1у = О. 104. 2тзу' = у(2хз — уз). 105. уз + хзу' = хуу'. + уз)у' = 2ху. г 4. Однородные уравнения 10T. ху' — у = х 48 — ". 108. ху' = у — хеос 109. ху' — д = (х + у) 1п — +л. 110. ху' = усов)п л. 1П. (у+ уху) йх = х Оу. пг. у' =,/Р— у'+ у. 113. (2х — 4д + 6) Йх + (х + у — 3) 21у = О. 114. (2х + у + 1) 21х — (4х + 2у — 3) ссу = О.
115. х — у — 1+ (у — х+ 2)у' = О. (х+ 4у)д' = 2х+ Зу — 5. 11T. (у + 2) Ох = (2х + у — 4) с1д. 112. у' = 2 ( 119. (д'+ 1) 1п х+3 х+3 1гО. у' = +18 у+2 у — 2х х+1 х+1 ' 121. хг(д' — х) = уг. 122 2хгд дз „хд 123. 2х с1у + (хгус + 1)у бх = О. 124. ус1х+ х(2ху+ 1) с1у = О. 125. 2У'+ х = 4 уср. 120 1 уг г 122. 2 . ' 1- „= у у/* — * у г ууу схв ус+ г 129. 2у+ (хгу+ 1)ху' = О. 130. Найти траектории, пересекающие кривые данного семейства под углом в 45', причем этот угол от касательной 20 "З 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
