А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 8
Текст из файла (страница 8)
-~.С. окх' )е * (2) для каждого кратного корня Л уравнении (2), где й кратность корня. Все Сс — произвольные постоянные. Коэффициенты уравнения (1) и корни Л здесь могут быть вещественными или комплексными. Если же все коэффициенты уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней Л.
Для каждой пары комплексных сопряженных корней Л = ск х Щ в формулу общего решения включаются слагаемые С, хзе соеДх-~-С вке 'э1вДхс если эти корни простые, и слагаемые Ря к(х)е ' сов Дх -~- 1)к к(х)е"' гйнДх, 50 311. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами если каждый из корней о+ Д1 и се — )эг имеет кратность Ь. Здесь Рь г и Яь е — многочлены степени Ь вЂ” 1, аналогичные многочлену в (3), их коэффициенты — произвольные постоянные. Пример. Решить уравнение уч — 2уж — 16у'+ 32у = О. Пишем характеристическое уравнение Л' — 2Л вЂ” 16Л+ 32 = О. Разлагая левую часть на множители, находим корни: (Л вЂ” 2)(Л вЂ” 16) = О, (Л вЂ” 2) (Л+ 2)(Л + 4) = О, Л~ =Лз=2, Лз= — 2, Л4=2з, Лв= — 21. По изложенным выше правилам пишем общее решение у = (Се -~- Стх)е. + Сзе + С4 сов 2х+ Се э!п2х (степень многочлена Се -~-Сзх на 1 меньше кратности корня Л = 2). 2.
Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коаффициентами и с правой частью, состоящей из сумм и произведений функций Ьо + Ьгх + ... + Ь,х, е™., сов фх, вшДх, частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Длн уравнений с правой частью Р (х)еэ", где Р (х) = Ьо+ -ьбгх ж ... + Ь х'", частное решение имеет вид ре = х'С4„,(х)еэ*, (4) где 1„1 (х) — многочлен той же степени т. Число е = О, если à — не корень характеристического уравнения (2), а если г — корень, то е равно кратности этого корня.
Чтобы найти коэффициенты многочлена 1;) (т), надо решение (4) подставить в дифференциальное уравнение и приравннть коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения. Если в правую часть уравнения входят синус и косинус, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера е' "+е "', е" — е созДх =, гйпДх = (5) 2 2е и свести задачу к уже рассмотренному случаю. Если же коэффициенты левой части уравнения вещественны. то можно обойтись без перехода к комплексным функциям (5).
Для уравнении с правой частью е.""(Р(х) соз Пх + Я(х) гйп))х) (6) 311. Линейные уравнения с пастоянними коэффициентами 51 можно искать частное решение в виде уе = х"е. (П (х) совВх з; Т (х) в(пДх), (7) ув' — бу" -~- 9у' = хез' ф ез' сое 2х. (8) Характеристическое уравнение Л вЂ” 6Лз+9Л = О имеет корень Л = 3 кратности 2 и корень Л = О кратности 1. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид уе = (Се + Сзх)ее* + -~- Сз.
Праван часть (8) состоит из двух слагаемых вида (6); для первого 7 = а+а( = 3, а для второго гх+Щ = 3+ 2з. Так как эти числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений уи' — був ф 99' = хез*, у — бу + 9у = е * сов 2х. (9) (10) Число 7 = 3 является корнем кратности е = 2, поэтому частное решение уравнения (9) согласно (4) имеет вид уе = хз(ахф -ЬЬ)ею. Подставив у = уз в (9), найдем а = 1/18, Ь = -1/18. где в = О, если а -р В( не корень характеристического уравнения, и ь равно кратности корня а+)э( в противном случае, а Л и Т мнагочлены степени гп, равной наибольшей из степеней мнагочленов Р и СХ.
Чтобы найти коэффициенты многочленов Лт и Т„„надо подставить решение (7) в уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах. Еще один метод отыскания частного решении уравнения с вещественными коэффициентами и правой частью вида (6) состоит в следующем. Сначала решают уравнение с правой частью Р(х)е~ е~ц . Вещественная часть этого решения будет решением уравнения с правой частью Р(х)е *соэДх, а мнимая -- решением уравнении с правой частью Р(х)е 'е(пДх. Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида Р(х)ет' и вида (6), то частное решение отыскивается по следующему правилу. Частное решение линейного уравнения с правой частью 1г-Ь -р...
-Ь у„равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями )м ..., )т Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения с той же левой частью.
П р и м е р. Решить уравнение 52 311. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Далее, число а -Ь Щ = 3 + 2г не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (10) согласно (7) имеет вид уг = ег'(с сов 2х+ а ею2х). Подставив у = уг в (10), найдем с = — 3/52, с) = — 1/26. Общее решение уравнении (8) равно у = уо + уг -'г уг, гле уо, уг, уг уже найдены. 3. Линейное неоднородное уравнение аоу " г- агу " ' -г ... -'г ану = ~(х) (11) с любой правой частью 1(х) решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение у = Сгуг -~-...
ф С у„линейного однородного уравнения с той же левой частью. Тогда решение уравнении (11) ищетсн в виде у = Сг(х)уг ф ... ф С (х)у . Функции С,(х) определяются из системы С,'у, -~- ... ж С„'у. = О С у', +... + С„у„= О С~у,'"-"+ ... +С„'у„'-' =0 ао(Сгу~ О -~- ... -~- С„у~ О) = 1(х). 4. Уравнение Эйлера аех" уж~ + игх" ущ О+ ... + а„гху + а„у = ф(х) (12) сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного х = е' при х > 0 (или х = — е' при х ( 0). Для полученного уревнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид аоЛ(Л вЂ” Ц (Л вЂ” 2)...
(Л вЂ” а-~- 1) +... -~- а -г Л(Л вЂ” 1) -~- а дЛ ф а„= О. При составлении этого уравнения каждое произведение х"урй в (12) заменяетсн на произведение )с убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” к ф 1). П р и м е р. Решить уравнение х у"' — х у" + 2ху' — 2у = х . з (13) 3 11. Лияебяые уравнения с посшояяяызги коэффициентами 53 Сразу пишем характеристическое уравнение и решаем его; Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) — Л(Л вЂ” 1) + 2Л вЂ” 2 = О, (14) (Л вЂ” 1)(Л вЂ” ЗЛ + 2) = О, Лз = Лг = 1, Лз = 2. При таких Л общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид (согласно п. 1) ро = (Сг + Сз!)е'+ Свез'. Чтобы решить неоднородное уравнение (13), сначала раскроем скобки в (14): Лз — 4Л + ЗЛ вЂ” 2 = О.
По этому характеристическому уравнению составляем левую часть дифференциального уравнения, а правую часть получаем из правой части (13) заменой т=е: о о ~ зз у~" — 4рз -~- буз — 26 = е Так как число 3 не явлнется корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде рз = ае . Подставляя в зз уравнение, находим а = 1/4. Следовательно, общее решение имеет вид д = ра -!. уг = (Сг -!- Ст1)е -!- Сзе -~- — е м 1з~ 4 = (Сз -!- Сз!их)з+ Сзя -~- — к (ш > О). 4 При х ( О получается аналогичная формула, но с!и ~:с~ вместо 1пх. б. Для решения задач 633 — 640 и 876 можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей (см.
также [3), 1 13). Для каждого узла цепи сумма всех притекающих токов равна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напряжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех остальных участках этого контура. Падение напрнжения на сопротивлении П равно И1; падение напряжения на самоиндукции Т ровно Ь а,; падение напряжения на ш.
конденсаторе емкости С равно фС, где о = о(1) — заряд конденсатора в момент й при этом бах = 1; во всех трех случаях 1 = 1(!)— сила тока, .протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент й В этих формулах 1 выражается в амперах, Л— в омах,  — в генри, о — в кулонах, С вЂ” в фарадах, ! — в секундах, напряжение — в вольтах. 54 511. Линейные уравнения с постоянныэси коэффициентами 61 1  — -~- — = 'г'оэ сов ый 61 С (15) Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Для отыскания установившегося режиме найдем периодическое решение этого уравнения. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в виде 1 = Аг сов ыс ф Вг вш~Л. (16) Подставляя (16) в (15) и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти Ае и Вэ.
Но в электротехнике ввжнее знать не коэффициенты Аэ и Ве, а амплитуду изменения силы тока. Поэтому выражение (16) переписывают в виде 1 = Авш(оэс — у). (17) Подставляя (17) в (15), переходя к тригонометрическим функци- ям углов оэт и у, приравнивал коэффициенты сначала при эшый а затем при совы1, получим А ВАышпу ф — сову = О, С А ВАы сов у — — вшу = 'г'оэ. С' Отсюда найдем сбу= —, А= эс',/Ю (сс' Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимсн режимом. Общее решение уравненив (15) равно Установившимся режимам называется такой, прк котором сила токе постоянка илк мекнетсн периодически.
П р и м е р. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = Иянин, сопротивление В и емкость С. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме'. Решение. Сила токе 1 = 1(1) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении). Падение напряжения на сопротивлении равно В1, а на емкости д/С. Следовательно, В1 + — = Р е1поэй Дифференцируя и пользуясь тем, что Я 66 ' С вЂ” = 1, получим уравнение 61 З 11. Линейные ураонения с постоянными коэффициентами 55 (18) Так как решение уравнении (18) 1 = Ке Оно' (здесь К вЂ” произвольная постояннан) стремится к нулю при 1 — > -~-оо, то любое решение уравнения (15) при 1 -э +оэ неограниченно приближается (и притом весьма быстро) к найденному периодическому решению (17).
Решить уравнения 511 — 548. 511. уи+ у' — 2у = О. 513. дн — 2у' = О. 512. уи + 4у' + Зу = О. 514. 2ди — 5у' + 2у = О. 515. уи — 4у' + 5у = О. 516. уи + 2у' + 10у = О. 517. ун + 4у = О. 519. у~~' — у = О. 521 ри1 + 64у 0 518. уи' — 8у = О. 520. у~~ + 4у = О. 522. уи — 2у'+ р = О. 523. 4ун + 4у'+ д = О. 524. уд — бу1У + 9уи' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
