А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Затем надо выяснить, с каких сторон интегральные кривые входят в особую точку. з 994*. у' = х+у 993*. УУ = У х -~- у 995*. у' = у+ х 996'. у' = у — х' 997*. у' = у -~- х 998. Доказать, что если особая точка уравнения (ах + Ьу) с1х + (тх + пу) йу = 0 является центром,то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Обратное неверно. 999*. Доказать, что если уравнение предыдущей задачи не является уравнением в полных дифференциалах, но имеет интегрирующий множитель, непрерывный в окрестности начала координат, то особан точка -- седло (если ап ф Ьт). 1000*.
Пусть в уравнении ах+ Ьу+ р(х, у) у сх + Ду + д(х, у) функции р и д определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (0.,0), а в самой точке 104 117. Фазовая и.аоскость (О, 0) р = р'„= р'„= а = ~' = д, '= О. Доказать, что если урав- нение (1) не меняется от замены у на — у, а корни характерис- тического уравнения с — д Ь вЂ” Л чисто мнимы, то особая точка (О, 0) -- центр.
0 17. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. 0 понятиях фазового пространства, фазовой плоскости, автономной системы, траектории см. [Ц, гл. Ъ'11, 3 1, п. 4, или [3], 3 15, или [4], гл. 3, 3 1. 2. Чтобы построить траектории системы х = Уг(х. у), у = Уг(х, у) на фазовой паоскости х, у, можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порядка Оу ггг(х, у) с!х 1г(х, у) (2) Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнении (2). Их можно построить или решив уравнение (2) (часто оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин Я 1), при этом необходимо исследовать особые точки системы (методами 3 16).
Длн построения траекторий уравнения х = 7'(х, х) на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе т = у, у = = 7(х, у), которая исследуется так же, как система (1). 3. Предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненнан траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при 1 -г -Ьоо или при т -г — оо.
Предельный цикл назывеется устойчивым, если траектории приближаются к нему только при 1 -э +ос, неустойчивым — если только при 1 -э — со, полуустойчивым если с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при 1 — > +ос, а с другой стороны при 1 — > — ос. О предельных циклах см. [3], 3 28, [2], 1 25. 105 з17. Фазовая ялосяость 1001. х+ 4х, = О. 1002. х — х = О.
1003. х — т+ хг = О. 1004. х — 3хг = О. 1005 х+ 2хз О 1006 х+ 2хз 2х = О 1007. х + е* — 1 = О. 1008. х — 2' + х + 1 = О. 1009. х — зьпх = О. 1010. х+ 2созх — 1 = О. 1011. х — 4т+ Зх = О. 1012. х+ 2т+ 5х = О. 1013. х — х — 2х = О. 1014. х, + 2х+ хг + т = О.
1015. х+ х+ 2т — хг = О. 1016. х + хг — хг -ь 1 = О. 1017. х+ 2* — хг = О. 1018. х+ ъ~хг+хг — 1 = О. г 1019. х -ь бх, — 4 1п — ь~ = О. г 1020. х+ х, + агс18(тг 2х) = 0 В задачах 1021 — 1034 начертить на фазовой плоскости траектории данных систем и исследовать особые точки.
г ,1, г 1 О 2 2 . у = 4У вЂ” 8. х = 2х+у — 1. 1021. У=Ох — у +1. х= 4 — 4х — 2У, 1023. у =ту х=2+у — тг, 1025. у = 2х(т — д). 1027. х=1 — х у = 2ху. х = 2(х — 1)(у— 1028. у=у — х х=1 — т — у, 1024. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ь У=2х. х = хд — 4, 1026. д = (х-4)(у-х). 2), В задачах 1001 — 1020 для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. По чертежу сделать выводы о поведении решений при с — ь +со. 106 г 17. Фазоаап плоспосгпь т. = (х+у)' — 1, 1029.
у = — уг — т+1. х = (2х — д)г — 9, 1030. у=9 — (' — 2у) . х = (2х — у)' — 9, 1031. у = (х — 2у) — 9. х = хг + у — бх — 8у, 1032. у = х(2д — х+ 5). х г 1033. у = (х — у)(х — д+ 2). х=х +дг — 5, 1034. у = (х — 1)(х + Зд — 5). 1035. Вывести уравнение движения маятника без сопротивления.
Для случая, когда все постоянные, входящие в уравнение, равны 1, начертить траектории на фазовой плоскости. Дать физическое истолкование траекториям различных типов. 1036. Вывести уравнение движения маятника с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Дать чертеж траекторий на фазовой плоскости. У к а з а и и е.
Воспользоваться чертежом, построенным для задачи 1035. 1037. Вывести уравнение движения маятника, на который действует постоянная сила, равная половине веса маятника и направленная всегда в одну сторону по касательной к дуге окружности, по которой движется маятник. Приннв постоянные 1 и д равными 1, нарисовать траектории полученного уравнения на фазовой плоскости. Какие движения маятника изображаются траекториями различных типов? 1038. Груз массы т прикреплен к пружине. При отклонении груза на расстояние х пружина действует на него с силой Их, направленной к положению равновесия. Сила трения равна 7" = сопз1 и направлена в сторону, противоположную скорости 107 З 17.
сйазоаал п.ааскосогь груза. При 1 = 0 груз находится на расстоянии Ь от положения равновесия и имеет нулевую скорость. Вывести уравнение движения груза. Приняв т = 2, й = 2, г = 1, 6 = 5, изобразить движение груза на фазовой плоскости. 1039. Изобразить на фазовой плоскости малые колебания маятника переменной длины, считая, что при движении маятника вверх его длина равна 1, а при движении вниз равна Е ) П Во сколько раз увеличится амплитуда за одно полное колебание? (Пример: раскачка качелей.) Начертить на фазовой плоскости траектории систем 1040 — 1046, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеются ли предельные циклы. 1040.
— 'т = т(1 — тз), сП 1041. — т = т(т — 1)(т — 2), — = 1. сП сП вЂ” = 1. бг 1042. — ' = г(1 — т)г сП Й~Р сП 1043. —" = япт, ~М 1044. — = г ф — 1~ — )г — 2) — 2т + 3), — = 1. <Ь с1гэ Ф Ф 1045. —" = г яп —,, ос сну> сП 1046. —" = г(1 — т) яп сЫ 1 — т' 1047'. При каких условиях система — =1, бсэ с11 У к а з а н и е. При малых колебаниях считать ага к к. Изменение длины маятника происходит мгновенно (скачком), при этом угол отклонения маятника и его момент количества движения относительно осн не испытывают скачков. 108 Д 18.
Зависимость решения от начальныа условий где функция )(т) непрерывна, имеет предельный цикл? При каких условиях этот цикл устойчив' ? Неустойчив' ? Полуустойчив? 1048*. При каких значениях постоянной а система имеет устойчивый предельный цикл? Неустойчивый? Для уравнений 1049 — 1052 с помощью изоклин построить траектории на фазовой плоскости и исследовать особые точки.
По чертежу сделать заключение о поведении решений при 1 — г +со и о возможности существования замкнутых траекторий. 1049. х+ ха — х+ х = О. 1050. й+ (хз — 1)х. + х = О. 1051. х + т — 2 агссп х + х = О. 1052. х+ 2* — х+ х = О. 1053". Для уравнения х + 2ах — Ьзйпх + х = 0 (О < и < 1, Ь > 0) построить траектории на фазовой плоскости и найти точки, в которых предельный цикл пересекает ось Ох.
Указание. Найти зависимость между абсциссамн двух последовательных пересечений траектории с осью Ох. 1054. Показать, что уравнение х+Г(х)+х = О, где функция К непрерывна и г'(у) > 0 при у > О, г'(у) < 0 при у < О, не может иметь предельных циклов на фазовой плоскости. Указание. Исследовать знак полной производной а,(х -~-у ). 1055*. Пусть ?(х, р) н Д, ?„' непрерывны, ?(О, 0) < О, а при ха+ д~ > Ьз имеем 1(х, й) > О.
Доказать, что уравнение х+?(х, х)х+ х = 0 имеет периодическое решение х(1) ф О. Указание. Перейти на фазовую плоскость и исследовать знак полной производной ~,(х~ ч- у~). Построить кольцо,нз которого не может выйти ни одна траектория. Применить теорему 21 нз [3). Ц18. Зависимость решения от начальных условий 109 9 18. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Рассмотрим систему в векторной записи — = У(с х) с1х с11 где х = (хм ..., х„), 1 = (А, ..., Г„). Пусть в рассматриваемой области вектор-функция Г непрерывна по 1, х и удовлетворяет усло- вию Лившица' по х ЦУ(1, у) — У(1 )Ц < йЦу— (2) Через Ц Ц обозначается любая из обычно применяемых норм вектора: Ц*Ц = ьгЦ Г -ь .
+ 1*-Р ЦхЦ =~'~-ь .. -раях.! или — — У(1, у) < и, Цу(0) — х(0)Ц < б. Тогда имеет место оценка Цх(1) — у(1) () < б еып + — (е йп — 1) . (2) Это неравенство можно применять для грубой оценки ошибки приближенного решении у(1) системы (1), а также длн оценки сверху разности решения х(1) системы (1) и решения у(С) системы вль = я(1, у), если ЦЛ(1, у) — Р(1, у)Ц < э1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
