А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4) приближенно найти периодические решения данных уравнений. 1086 й+х — хг О 1087 9+х+аз О 1088. х+япх = О. 1089. х+ х = )з(1 — хг)х. 1090. х+ х = д(х — хз). В каждой из задач 1091 — 1097 найти в виде степенного рида решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов рида (до коэффициента при хл включительно).
1091. у' = уг — х; 1092. у' = х + ~~; 1093. у' = у+ хе"; 1094. у' = 2х + соз у; 1095 у' = хг + уз, р(О) = 1. у(О) =1. у(О) = О. р(О) = О. у(1) = 1. 116 З18. Зависимосниь решения от начальных условий 1096. ун = ху' — дз; у(0) = 1, у'(О) = 2. 1092. до = дна+, д(0) = 4., у'(О) = — 2. 1098". Построив мажорирующее уравнение (см. [2), й 18), оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представлнющего решение уравнения у' = у' — х с начальным условием д(О) = 1. 1099*. Оценить, с какой точностью можно получить при ~х~ < 0,2 решение уравнения у' = е" — х~д с начальным условием у(0) = О, если в степенном ряде, представляющем решение, взять только четыре члена (до алх~ включительно). В задачах 1100 — 1109 найти линейно независимые решения каждого из данных уравнений в виде степенных рядов.
В тех случаях, когда это легко сделать, сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций. 1100. ун — хзд = О. 1101. ун — ху' — 2у = О. 1102. (1 — хз)уо — 4хд' — 2у = О. 1108. (,з -Ь Црн + б .д'+ Зу = О. 1104. (1 — х)ун — 2у' -Ь у = О. 1105. (хз — х+ 1)уо+ (4х — 2)у'+ 2у = О. 1106. уо — ху'+ ху = О. 1107. уо + у выл х = О. 1108.
хдо + у 1п(1 — х) =- О. 1109. у'о — хуо + (х — 2)у' + у = О. В задачах 1110 — 1116 найти те решения данных уравнений, которые выражаютсн степенными (или обобщенными степенными) рядами. 1110. хдн -1- 2у'+ хд = О. 1111. 2хзу" -Ь (Зх — 2хз)у' — (х+ 1) у = О. з 18.
Зависиностпь реисенил от начальных условий 117 1112 Охгуо (хг 2)д 1113. хгуо — хгд' + (х — 2)у = О. 1114. хгуо+ 2ху' — (ха+ 2х+ 2)у = О. 1115. хуо — ху' — у = О. 1116. хдо + у' — ху = О. 1117'. Найти с точностью до 0(хз) при х — > О решение уравнения туи+у' — ху = О, линейно независимое с решением, указанным в ответе задачи 1116. В задачах 1118 — 1120 указать, имеют ли данные уравнения решение в виде степенного ряда (или обобщенного степенного ряда). 1118.
тгдо+ ху' — (х+ 2)у = О. 1119. хгдо+ ху'+ (1 — х)у = О. 1120. хгди + (Зх — 1)у'+ у = О. В задачах 1121 — 1125 найти в виде тригонометрических рндов (см. ]1], гл. ч'1, 8 1, п. 3 или [4], гл. 2, 8 7) периодические решения данных уравнений. 1121. до — Зу = у"(х), у"(х) = ]х] при ]х] < гг, 7" (х + 2х) = 7(х). 1122.
уо + у'+ у = ] япх]. 1123 уо' — д/ д = 2 "пх 5 — 4созх Указание. Разложение в рнд Фурье правой части уравнения 1123 имеет вид ~ 2 "япох. =с 1124. уо — ссгд = 7(х), 7(х) = х(1 — х) при О ( х ( 1, У(х + 1) = — У(х) до + Очу ~ яп2дх — й' В задачах 1126 — 1129 с помощью метода ломаных Эйлера (с итерацинми или без них, см. (4], гл. 1, 8 6, 8 7) найти 118 г 18.
Зависимосньь решения от начальных условий приближенно на указанном отрезке решения данных уравнений с указанными начальными условиями. Вычисления вести с двумя или тремя десятичными знаками после запятой с шагом 6=0,2 или 8=0,1. 1126. у' = уг + т,, 0 ( х < 1; у(0) = 0,3. 1127. у' = 1 + х, О < х < 1:, у(0) = 1. 1128.у'= — * — у, 0<х<1; у(0)=1. 1 < х ( 2; у(1) = О. 1129. у' = В задачах 1130 — 1135 с помощью метода Адамса или Штермера (см.
(4), гл. 1, ~ 7) вычислить приближенно решения написанных ниже уравнений на указанном отрезке. Вычислении вести с тремя знаками после запнтой. Значения решения в начальных точках вычислить с помощью степенного ряда. 1130.у'=у, 0<х<1; у(0)=1. 1131. у'=уг — х, 0(х(1; у(0) =0,5. 1132.у'=1 — х, 0<х<1; у(0)=1. хг уг 1«2, „(1) =1, 1134.
уо=ху, 0<х<1; у(0) =1, у'(О) =О. 1135. хуо + у' + ху = О, 0 ( х, ( 1; у(0) = 1, у'(0) = О. Задачи 1136 — 1140 можно решить, сравнивая наклон поля направлений (определаемого уравнением у' = Г(х, у)) в точках некоторых кривых у = ~р;(х) с наклоном этих кривых. 1136*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 2+ з1пх — уг, 0 ( х < +ос, у(0) = 1. (11а плоскости х, у построить полосу сг < у < (7, из которой не может выйти это решение.) 1137*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 1 + 2х, 0 < х < +ос, у(0) = 1. 1138'. Доказать, что решение уравнения у'=х — уг с начальным условием у(4) = 2 удовлетворяет неравенствам ч/х — 0,07 < у(х) < игл при 4 < х < оо. 119 3 19.
Нелинейныв системы 1139*. Доказать, что длн решенин у(х) уравнения у' = = х — уг с начальным условием у(хо) = ро, где хо ~ )О~ уо ~ )О~ имеем д(х) — ьгх -е 0 при т — > +по. 1140*. Оценить сверху и снизу то периодическое решение уравнения у' = 293 — сов' 5х, которое лежит в области у < О. 9 19. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Систему дифференциальных уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом).
Подробнее см. (1), гл. Ъ'11, 3 1, п. 2, или (4), гл. 3, 3 2. П р и м е р 1. Решить систему уравнений )г+, У х х Решение. Исключаем г из данных уравнений. Из первого уравнения имеем г = хуц Подставляя во второе уравнение, получвем после упрощений х'ун = (у - хр')' Даннан система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. Это уравнение может быть решено методами, изложенными в 310 (путем понижения порядка). После того как из этого уравнения будет найдено у, следует найти г, пользуясь равенством г = ху .
2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порндка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций (см. (1), гл. т'11, ~~ 5, п. 2). П р и м е р 2. Решить систему' (2) хг уг -хр Система (2) эвписаив в симметрической форме. 0 симметрической форме системы дифференциальных уравнений см.
(1), гл. тН, 1 б, о. 1, или (4), гл. 3, 1 3. 120 3 19. Нелияебяьсе сисшелсы Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сос1з с(У 1 кращан равенство — = — на — и интегрируя получаем первый хг уг г интеграл 1ссас + агах + ... + Й„о„ Ьсбг -1- Ьгбг -~-... -1- Ь Ь Пользуясь этим свойством, получаем из (2) с((зу) с(г с1(шу) = — 2г с(г. 2зуг — шу' с(л -~- л с(у с1г у зг -~- х уг — ху Следовательно, зу -~- г = Сг. (4) Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы. Система решена.
Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно., воспользовавшись знанием первого интеграла (3), .исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, ш. Из (3) имеем т = Сгу. Подставлян во второе из уравнений (2), получаем с1У 4 г г. Отсюда — Ссус(у = хс(г; г = — Ссу + Сг Подставуг лня сюда выражение для Сс из формулы (3), находим еше один первый интеграл: гг -~- зу = Сг. В задачах 1141 — 1160 решить данные системы уравнений.
1141. у' = — *, л 1142. у' = —,л —., з' = у+ 1. 1143. у' = — ' тс е(Л вЂ” Ц 1144. у' = угз, з' = -' — узг. 1145. 2зу' = уг — зг + 1, з' = з + у. сО первых интегралах см. (1), гл. г11, 1 4 или (3), 1 23. -*=С,. (3) у Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемсн следующим свойством равных дробей: если -'г- = ал = ... = — г- = ьч ьг ь„ = й то при любых Ьс, Ьг, ..., Уп имеем г 19. Нелинейнме си»тел»м 1146. ге †» у 1142 а» ~л е» у» 1150.
ив =эх='— '="— " и е у 1151. у — е» вЂ” е и — у е — » 1152. ив * = '-~ = е' »»» р 1154. а = -" = » у»у-~-» ' 1155. "— = ~л = у» еу»»»г-»(' 115'Т. х(у-~-»)»(»-р) р(р — ») ' 1159. х(» — р) р(р — е) уг — е»' 1160. '* = — — 4Р—, = е(уу — » ) у(»' '-»') »(»г»-рг) ' 1161. — *, = — * (ег = х — гу.
г = (г+ 2ху; 1162. х=ху, у=хг+уг; Фг » 'Рг = Р-» — 21пх. = х!ну — хгу; В задачах 1161 — 1163 для данных систем дифференциальных уравнений и данных функций ег проверить, являются ли соотношения (е = С первыми интегралами этих систем. 122 220.
Уравнения в частных производных первого порядка 1164. Проверить, явлнютсн ли независимыми первые интегралы Я = Сз, Я -й = Сз системы 1165*. Доказать, что в области, содержащей особую точку типа узла или фокуса, для системы Дх Ду — = Р( и) — = 9(х у) г(1 ' ' еМ не может существовать первого интеграла вида 1о(х, у) = С с непрерывной функцией р, р,с=сопз1 в сколь угодно малой окрестности особой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
