А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При каких т Е Л существует периодическое решение уравнения 'т'+ 4т = 2созт1? 82. При каких целых 6 и с уравнение дн'+ бзу' = з|пт+ + сяп т не имеет периодических решений'? 83. а) При каких ыбЛ уравнение у?в~+4ун'+4у' = созы1 не имеет периодических решений? б) Найти все периодические решения в случае ш = 3. 84. Найти периодическое решение уравнения т+т+25т = япый Нарисовать график его амплитуды как функцию от ы.
85. При каких целых а уравнение да + азу = яп4т соз 2т а) не имеет решений с периодом я? б)* имеет только одно решение с периодом я? 86*. Те же вопросы для уравнении да+ (а — 1)(а — 2)д'+ а у = яп2т. Длн каждого из уравнений 87 и 88 выяснить, при каких а Е Л все решения этого уравнения не ограничены при — со <1 < оо. 87. т,+аз = з1пзй 88. 'т'+ т = созсФ,. 89. При каких а Е Л хотя бы одно решение уравнения ун'+ уи 2у/ = вас+ я1п2а1 ограничено при ~ > О? 90. Тот же вопрос длн уравнения у'и + азу' = соз а? соз 25 91. Найти все значения а, о и??, при которых задача т — 2т+ 5т = ае сов 21 — 1?зш21, т(О) = о, т(О) =?3 имеет решение, ограниченное при 1 > О. г 23.
Линейные уравнения и системы 3. Системы уравнений Решить системы 93 — 95. х=у+х — 4, 93. ~ ~ ~ ~ ~ ~ г У=ЗУ вЂ” х. х = — 5у, 94. у = 2х+ 2у. 95. ( х=г — х — у, у = х — у — г~ л =о, Лг з — — 1. 96. При каких матрицах А все вещественные решения системы х = Ах выражаются тояько через синусы, косинусы и константы? 97. Для одного частного решения системы х = Ах известна только первая координата: хг = с~ + сягпс. Каким может быть порядок матрицы А? 98. Найти фундаментальную матрицу системы х = Ах, /егот где А = гг о о в ), нормированную при Ь = О.
ггвгг'' 99. Доказать, что для системы х = Ах с вещественной кососимметрической матрицей А нормированная при г = 0 фундаментальная матрица при каждом г является ортогональной. 100. Найти все вещественные периодические решения системы х = 2у — х+ 2 соя с, у = 4У вЂ” 2х+ соя г. 101. Найти решение с периодом л системы х = х — у, у = 2х — У+ Оягпг Г. 92. Пусть х = уг(Г) и х = у~(г) — решения уравнения 'х' — х+ 4х — 4х = 0 с начальными условиями уг(0) = и, ~рг(0) = Ь, гргг(0) = с; ф(я) = о, фг(л) = гг', грн(л) = т.
Указать какие-нибудь числовые значения и, Ь, с, аг гг, у так, чтобы гр(Ц и ф(Г) были периодическими и линейно независимыми. 140 З 23. Линейные уравнения и системы 102. а) Найти все вещественные периодические решения системы з = и — у+ За1п2с, у = 2т — у. б) Найти все решения с периодом я. 103. При каких и система х = у+ з1п21, у = — 4з+ асоз21 имеет периодическое решение? 104. Для каких вещественных чисел а и 6 все решения системы т, = 2у — 4з + а, у = 2з — у + Ь ограничены при 1 ) 07 105.
Для каких матриц А каждое решение системы т = Аз ограничено при — оо < ~ < со. 4. Показательная функция матрицы 106. Сформулировать свойства показательной функции матрицы. В задачах 107 — 110 найти се~ . 107. А= . 108. А= 109.А= О О 0 . 110.А= О 2 О 111. Найти вектор ерл 6, если А=(1 ),Ь=(). В задачах 112 — 114 а) не вычисляя матрицу е'л, найти ее детерминант и собственные значения; 141 5 23. Линейные уравнения и системы б~ ней~и еел 113. А = 112. А = 114. А = 1 О О 115.
А = О О 1 . Найти Нет? егл Ж. О 1 О о 116. Нри каких матрицах А имеем е'л — > О при? — ~ +со? 117. Найти фундаментальную матрицу системы х ~ Ах. 118. Если А -- такая матрица, что сл = Е, то обнзательно ли А=О? 119*. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если 5 ел = ~' ь?? яАа? 120*. Если при всех? матрица еел симметрическая, то обязательно ли матрица А симметрическая'? 121*. Если е'л е'и = ейл+н>, то обязательно лн АВ = ВА? 122*.
Если матрица е'л ортогональная при каждом ?Е Н, то обязательно ли А* = -А? 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами 123. Что называется мультипликатором системы х = АЯх с периодической матрицей А(?)? 124. Какому условию должны удовлетворять мультипликаторы линейной системы для того, чтобы все ее решения стремились к нулю при? -5 +ос? 123. Найти мультипликатор длн уравнения х = (а + + сйв ?Ах.
142 З 24. Устоачивастпь 126". При каких значениях параметра а Е Л уравнение т. = (а+ з1п 1)а+ 1 имеет ровно одно периодическое решение? 127'. Пусть матрица А(Ц имеет период Т, и ~~А(Ц~~ < а при всех й Доказать, что для системы х = А(г)т модули мультипликаторов не превосходят ечт . 3 24. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Теоретические вопросы 128. Дать определение устойчивости по Ляпунову. 129.
Сформулировать и доказать теорему об устойчивости при наличии функции Ляпунова о(ш). 130. Сформулировать теорему об устойчивости по первому приближению. 131. Сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы т = Ах (ш е Л", матрица А постоянная). 132. Доказать, что если одно решение линейной системы устойчиво, то устойчиво каждое решение этой системы. 133. Какому необходимому и достаточному условию должна удовлетворять матрица А, чтобы для любой непрерывной функции 6(~) каждое решение системы т = Ат+ 6(~) было устойчивым по Ляпунову? 134. а) При каких матрицах А система х = Аш имеет более одного положения равновесин? б) При каких дополнительных предположениях все эти положения равновесия устойчивы? 135.
Система х = Ат,, где ш Е ггз, А — постоянная матрица, имеет частное решение, у которого известна только первая координата: кг = е '+ сов й Устойчиво ли нулевое решение? 136. Система т, = Ак (ж Е тт~) имеет частное решение, у которого известны только две координаты: тг —— згп ~ + 2 соз1, жз = сов 2~. Устойчиво ли нулевое решение? 137.
Если для системы лг = Ат (т 6 Л") нулевое решение неустойчиво, то обязательно ли оно неустойчиво для каждой системы вида х = Аж + у(ж), где ~д(ж) Е Сг, д(т) = оцл~) при ш — ~ О? 143 З 24. Устойчивость 138*. Пусть ~(1, х) Е Сь, х Е 42" и пусть разность каждых двух решений уравнения х = Я, х) стремится к нулю при 1 — ~ +ос. Следует ли отсюда при каком-либо н, что всякое решение етого уравнения асимптотически устойчиво? 2. Исследование устойчивости конкретных систем Для уравнений 139 †1 и систем 145 †1 найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость.
139. х = — хз. 141. х = — хзшз т. 143. х = х яп й 145. х=у, у= — хз. 140. х = яп т — х. 142. х = — хяп 1. 144. х = 28~ 146. х = у, у = Зхз — 2х. 142. *' = у —., + (д )2 „' = 0. В задачах 148 — 155 выяснить, при каких значенинх параметра а нулевое решение является а) асимптотически устойчивым; б) устойчивым, но не асимптотически; в) неустойчивым. У1 — ад — х — а х. з ас+ д+ (а+ 1)хз, х+ ад. х = Зу — ау, 153.
д = 2х + (2 — а)д. д — ат — у, 2 2 — (а+ 1)х — ау. 148. ( 148. ( 188. ( 188. 184. ат+ а япу, Х = У1 151. ах — а д. ) у = — тД1+х ) — ау. 144 Ь 25. Фавовая плоскость х, = — ах+ (а — 1)у, 155. у=х+ау . 156. а) При каких а Е Л существуют ограниченные при — оо < 1 < со решения системы т, = 2у — 4т+ 1, у = 2х — у+ а. Найти все такие решении. б) Устойчивы ли они? 157. Устойчиво ли решение системы х = х — у, у = 2х — у+ 6в1п~с, имеющее период я? В задачах 158 — 160 а) найти все значении параметра а Е лс, при которых все решения уравнения неограничены при Ь > 0 (не требуется отыскивать решения); б) выяснить, являются ли эти решения устойчивыми или асимптотически устойчивыми. 158.
т, + ах = з1п с. 159. 'х'+ т, = соэ аХ. 160. х + ах = сов а1. В 25. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. Траектории линейных систем 161. При каких соотношениях между коэффициентами а, Ь, с., 4 особая точка системы х = ах+ Ьу, у = ох+ ду нвляется а) седлом, б) узлом? 162. При каких а, Ь, с, д для каждого решении системы х = ах + Ьу, у = сх + ду полярный угол точки (х(г), у(с)) возрастает при увеличении Ь? В задачах 163 — 165 определить тип особой точки и нарисовать траектории системы на плоскости х, у. 145 Ь 25.
Фавовая плоскость л = я+Зу, ) лл=л — 5у, 163.. 164. ~, у=5у — ж. ( у = бл — 5д. а=у+я — 4, 165. у = Зу 166. При каких а особая точка системы т = а(т + д), р = азу является седлом? 167. а) Может ли траектория системы д = Зт — 2д т=2у — ху из точки ( — а — 1, — 1) попасть в точку (1, аз + 1)? б) Устойчиво ли положение равновесия? 168. а) определить тип особой точки и нарисовать траектории системы д — Ьу+ ж л = аж — у, при а=-2, Ь= -3. б) На плоскости параметров а, Ь указать такую область, что прн любых (а, Ь) из этой области вторая компонента д(?) любого решенин указанной выше системы имеет бесконечно много нулей прн? > О.
169. Рассматривается система лл = а~я — у, у = 5х — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системы при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = -3. в) Существует ли такое значение а Е Л, при котором траектории замкнутые кривые? В задачах 170 †1 исследовать а) при каких значениях параметра а Е Й нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — устойчиво: б) при каких значениях параметра а Е?? особая точка— седло? узел'! фокус? в) при указанном значении а дать чертеж траекторий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
