Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Общий ток I(t) представляет собой сумму токов от-368ЛЕКЦИЯ 18МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА.дельных ионов через мембрану и «емкостного тока», вызванного вариациямитрансмембранного потенциала V. Таким образомним источником тока. Как показывает анализ уравнений, при этом прежде всегоначнет возрастать величина т(V, t), что приведет к увеличению натриевого тока,равного (V − ENa ) g Na m3 h , а следовательно, и к увеличению разности потенциаловмежду протоплазмой и внешней средой (то есть к усилению деполяризации волокна). При увеличении деполяризации величина т растет, а величина h уменьшается, причем эти изменения т и h связаны так, что величина т3h, входящаяв выражение для натриевого тока, сначала растет, а потом начинает убывать.2.
Подпороговая стимуляция, порог. Известно, что изменение потенциаламембраны приводит к возбуждению нервного волокна и возникновению в немимпульса лишь в том случае, когда это начальное изменение превышает некоторую определенную величину, называемую порогом, а слишком малые «подпороговые» изменения потенциала затухают, не порождая импульса.
Наличие такогопорога аналогично существованию определенной температуры воспламенения, тоесть температуры, до которой нужно нагреть данное вещество для того, чтобыоно загорелось.3. Рефрактерность. Наличие у всех нервных и мышечных волокон рефрактерности, то есть некоторого периода невозбудимости, наступающего после прохождения импульса, тоже естественно вытекает из рассматриваемой модели.
Какмы уже видели, через некоторое время после возникновения в волокне импульсапараметр h становится мал, а параметр п возрастает. В этих условиях при любомувеличении мембранного потенциала соответствующий калиевый ток будет превышать натриевый, то есть любая стимуляция будет подпороговой. В этом и состоит явление рефрактерности.4. Аккомодация. Из эксперимента известно, что если действовать на нервное волокно током постепенно нарастающейсилы, то такое воздействие приводит к возникновению импульса в волокне лишь в том случае, если скорость нарастанияРичардтока превышает некоторую определенную величину; при Фитцхью́Richard, 1922слишком медленном увеличении тока волокно не возбуждает- (FitzHugh2007) — американскийся (это явление называется «аккомодацией», или «привыкани- биофизик, специалистобласти математичеем» волокна).
В модели Ходжкина–Хаксли наличие аккомода- вскогомоделирования.Создалодну из наибоции объясняется тем, что при медленном нарастании тока услее популярных модепевает развиться натриевая инактивация, в силу чего лей возбудимых сиснатриевый ток не может превысить калиевый и импульс не тем — модель ФитНагумо, котораявозникает. Минимальную скорость нарастания тока, при кото- цхью–сталаобщепринятойрой еще возможно возникновение импульса, можно опреде- базовой моделью в нейкардиолить с помощью численного решения уравнений Ходжкина– рофизиологии,динамике, теории систем реакция–диффузияХаксли.других областях.
МоСистема (18.2)–(18.6) слишком сложна для аналитического идельсыграла большуюисследования. Были предложены упрощенные модели, спо- роль в понимании динамическихсобные описать те же свойства. Наиболее популярная из мов пороговыхмеханизсвойствних — предложенная независимо Фитцхью [1, 2] и Нагу- возбудимости нейронов.мо [10].I (t ) = CdV+ Ii ,dt(18.1)где C — емкость мембраны, I = INa + IK + IL.На основе экспериментальных данных о зависимости проводимости мембраныдля различных ионов от потенциала на мембране А.
Ходжкин и Э. Хаксли описаливеличины ионных токов с помощью функций, зависящих от «концентраций» некоторых гипотетических частиц, перемещающихся в мембране под действием электрического поля. Моделью Ходжкина–Хаксли называется следующая система нелинейных дифференциальных уравнений:a ∂ 2V∂V=C+ (V − EK ) g K n 4 + (V − ENa ) g Na m3 h + (V − E0 ) g0 ,2R ∂ x2∂t(18.2)dn= α n (1 − n) − β n n,dt(18.3)dm= α m (1 − m) − β m m,dt(18.4)dh= α h (1 − h) − β h h.dt(18.5)Здесь n, m и h — функции потенциала и времени, определяющие поведениенатриевого и калиевого токов, а — радиус волокна, R — удельное сопротивлениепротоплазмы, С — удельная емкость мембраны, EK , ENa , E0 , g K , g Na , g0 — посто-янные параметры и, наконец, α n , α m , α h , β n , β m , β h — заданные функции потенциала, имеющие следующий вид [4]:αn =0,01(V + 10),V + 10exp−110αm =0,1(V + 25),V + 25exp−110α h = 0, 07 exp(V / 20), β n = 0,125exp(V / 80),β m = 4exp(V / 18) β h =(18.6)1.V + 30exp+110Коэффициенты в формулах подобраны эмпирически.
Модель (18.2)–(18.6)позволяет описать основные свойства проводящего нервного волокна. Рассмотрим некоторые из них.1. Генерация импульсов. Допустим, что нервное волокно, находившеесяпервоначально в покое, стимулируется на протяжении короткого времени внеш-369370ЛЕКЦИЯ 18МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА.В этой модели система для локальных процессов сводится к системе из двухуравнений, которую можно представить в безразмерном виде:(18.7) (точка P), то по короткой фазовой траектории система возвратится в состояние покоя. Такое поведение называется подпороговым возбуждением. Еслиже отклонение переменной u велико, больше a (точка А), фазовая траекторияимеет иной характер. Изображающая точка движется по траектории ABCD0и достигает изоклины вертикальных касательных (AB), потом движется вдольнее (BС), затем довольно быстро переходит в область отрицательных значений(CD), пересекая изоклину горизонтальных касательных, и потом вдоль изоклины вертикальных касательных возвращается в точку покоя (D).
На рис. 18.3бизображено поведение переменных u и v во времени при надпороговом возбуждении. Локальный элемент системы, обладающий таким типом поведения, называется возбудимым элементом.dudv= f (u ) − v + I a ,= bu − γ v,dtdtf (u ) = u (a − u )(u − 1).(18.7)Переменная u здесь выполняет роль мембранного потенциала V, а v выполняет роль всех трех переменных: m, n, h в уравнениях (18.3)–(18.5).В случае, когда Ia = 0, расположение главных изоклин на плоскости (u, v)представлено на рис. 18.2 а,б.
Графики на рисунках а и б отличаются величинойотношения b/γ. На рис. 18.2а система имеет одно устойчивое решение, соответствующее нулевому значению потенциала, на рис. 18.2б — три стационарныхрешения, два из которых устойчивы (0 и S2), а третье (S1) — неустойчивое.Рис.
18.2. Расположение главных изоклин системы (18.7) в случае Ia = 0 на фазовойплоскости (u, v) для разных значений отношения b/γ: а — одно устойчивое стационарноесостояние (0, 0), б — два устойчивых стационарных состояния (0, 0) и S2 и одно неустойчивое — седло S1.С функцией вида f (u) мы неоднократно встречались, ее график изображен нарис 3.10б и 15.2в.
В задаче о распространении волны такой вид локальной функции источника означал, что «размножение» и «разгорание» процесса начинается,если величина переменной u превысит некоторое пороговое значение — величину a. Уравнения (18.7) отражают тот факт, что бурный рост потенциала начинается лишь в случае, когда значение потенциала превысит некоторый порог (величину a). В противном случае потенциал затухает. Поясним, как в такой системе возникает «импульс» (рис.
18.3).На рис. 18.3а пунктирными линиями изображены главные изоклины системы. Зададим некоторое начальное отклонение потенциала u. Если это отклонение переменной u мало, меньше величины a во втором уравнении системы371Рис. 18.3. а) фазовый портрет системы (18.7) при Ia = 0, a = 0.25, b = γ = 0.002 для малых(точка Р) и больших (точка А) первоначальных отклонениях потенциала u от стационарного нулевого значения. Пунктиром обозначены изоклина горизонтальных касательных(прямая) и изоклина вертикальных касательных, которая имеет N-образный характер.б) поведение переменных u и v во времени в случае, когда фазовая траектория начинается в точке А.
Случай надпорогового возбуждения [15].В случае, когда равновесное значение потенциала на мембране не равно нулю, изоклина вертикальных касательных будет пересекать ось v не в нуле, как нарис. 18.3а, а в точке v = Ia. На рис. 18.4 представлены возможные случаи расположения главных изоклин в системе (18.7), когда I a ≠ 0 . В случаях (а) и (в) система имеет единственное устойчивое стационарное состояние, но кинетика переменных в случае (а) может иметь характер импульса, как мы это видели выше.В случае (б) единственное стационарное состояние неустойчиво, в системе можетреализоваться колебательная неустойчивость и предельный цикл.
В случае (г) —два стационарных состояния S1 и S2 — устойчивы, а состояние S2 — неустойчиво.Система имеет триггерный характер.372ЛЕКЦИЯ 18МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА.373Рис. 18.5. Распространение импульса в случае надпорогового (а) и подпорогового (б)воздействия: а) при начальном отклонении потенциала больше пороговой величиныu = a в системе возникает бегущий импульс, который распространяется вдоль нерва безизменения формы (уединенная волна); точки A, B, C, D соответствуют точкам на фазовом портрете 18.3а; б) при начальном отклонении потенциала в точке возбужденияменьше пороговой величины u = a (точка P на рис. 18.3а) бегущий импульс быстро затухаетРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
