Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Реакция Белоусова–Жаботинского представляет собой хорошую экспериментальную модель для изучения управления волновой динамикой.При изучении воздействий разной природы используются разные модификации BZ-реакции. Воздействие α-частиц высокой энергии из циклотрона изучаютна системе, в которой вместо соединений Се4+ используют ферроин — комплексдвухвалентного железа Fe(II) с фенантролином (phen). При облучении растворав капилляре наблюдаются две плоских волны, которые расходятся в противоположных направлениях от центра облучения. При облучении раствора в чашкеПетри наблюдается возникновение концентрационной волны с центром на облученном участке раствора.
Под действием тотального облучения всего реакционного объема наблюдается полное гашение автоволновых процессов [16].авбгРис. 17.5. Различные пространственные режимы в реакции Белоусова–Жаботинского.356ЛЕКЦИЯ 17РЕАКЦИЯ БЕЛОУСОВА–ЖАБОТИНСКОГО357Рис. 17.7. Два типа траекторий кончика спиральной волны, полученных в экспериментедля светочувствительной BZ-реакции. Расстояние от центра невозмущенной траектории(пунктир) до точки измерения (крестик): а — 0.49 мм, б — 0.57 мм [6].Рис.
17.6. Спиральные волны в тонком слое возбудимой реакционной среды Белоусова–Жаботинского, размер ячейки 9 кв. мм [7].С точки зрения экспериментальных возможностей особенно удобно использовать разные протоколы светового воздействия, постоянное освещение всей реакционной системы или ее части, постоянное освещение разной интенсивности, периодическое освещение и др. Управление с помощью светового воздействия становится возможным при использовании в качестве катализатора реакциисветочувствительных ионов Ru(bpy)32+. Обычно реакция проводится в чашке Петри, заполненной тонким слоем силиконового геля, в которую добавлены реагенты,необходимые для протекания BZ-реакции. В такой системе наблюдаются расходящиеся спиральные волны, однако воздействие тонкого лазерного луча приводитк разрыву фронта и возникновению двух спиральных волн (рис.
17.6) [7, 8].Управление траекторией кончика спиральной волныМю́ллерШтефан(Müller Stefan) — немецкий физик, физикохимик, биофизик, крупный специалист в области процессов самоорганизации в физическихихимическихсистемах.В лаборатории профессора Штефана Мюллера (Магдебургский университет, Германия) была разработана техника, позволяющая «выводить» кончик одной из волн за границу чашкиПетри, и в дальнейшем наблюдать эволюцию единственнойспиральной волны, «кончик» (tip) которой совершает сложныепространственные перемещения, траектория зависит от режимаосвещения [6].При постоянном освещении кончик описывает циклоидус четырьмя «лепестками» (рис.
17.7, пунктирная линия). Изучалось воздействие световых импульсов на траекторию кончика спиральной волны. Импульсы подавались в тот момент,когда фронт волны достигал некоторой точки (на рисунке помечена крестом), или с некоторой заданной задержкой.Наблюдали два типа режимов. В случае, когда «точка измерения» находиласьблизко от центра невозмущенной траектории, через некоторое время движениекончика приходило на асимптотическую траекторию с центром в «точке измерения», при этом расстояние между положением кончика и точкой измерения непревышало размеров петли циклоиды (рис.
17.7а). Наличие обратной связи приводило к синхронизации — период импульсного светового воздействия устанавливался равным времени, в течение которого кончик спиральной волны описывалодну петлю циклоиды.В случае, когда точка измерения находилась относительно далеко от центраневозмущенной траектории, кончик спирали описывал траекторию, по форменапоминающую дрейф 4-лепестковой циклоиды вдоль круга большого радиуса,центр которого опять находится в «точке измерения».
Оба режима оказались устойчивы по отношению к малым смещениям точки измерения, то есть представляют собой аттракторы. Сходный результат получается, еслисветовой импульс подается с некоторым запаздыванием поотношению к моменту прохождения волны через точку измерения. Радиус «большого круга», по которому перемещаетсяциклоида, растет с увеличением времени запаздывания.При периодической модуляции постоянного освещениянаблюдается синхронизация движения кончика и дрейф «кончика» волны (рис. 17.7а).
Для математического описания процесса использовали модель [10]:Зы́ков Владимир Серdu= u − u 2 − w(u − q ),dtdv= u − v,dtdw= f v − w(u + q ) + ϕ .ε′dtε(17.12)геевич — российскийфизик, физико-химик,специалист в областиматематического моделирования автоволновых процессов и образованияструктурв реакционно-диффузионных системах.ЛЕКЦИЯ 17358РЕАКЦИЯ БЕЛОУСОВА–ЖАБОТИНСКОГО359Здесь переменные u, v и w соответствуют концентрациям HBrO2, катализатораи концентрации бромида.
Член ϕ в третьем уравнении отражает индуцированный светом поток ионов Br–, f, q — безразмерные параметры. Оценка константскоростей отдельных реакций показывает наличие временной иерархии процессов в системе:(17.13)ε ′ << ε << 1 .Выполнение этого неравенства позволяет считать концентрацию бромида w«очень быстрой переменной», правую часть уравнения для этой переменной приравнять нулю и найти для ее квазистационарного значения выражение через концентрации более медленных переменных:w=f v +ϕ.u+q(17.14)Подставив это выражение в первое и второе уравнения системы (17.12) и учитывая диффузию реагентов, получим для такой модифицированной модели «орегонатор» систему типа реакция–диффузия:1⎡u − q⎤∂u,= ∇ 2 u + ⎢u − u 2 − ( fv + ϕ )ε⎣v − q ⎥⎦∂t∂v= u − v.∂t(17.15)Здесь переменные u и v соответствуют концентрациям HBrO2 и катализатора.В работах группы С.
Мюллера и В. Зыкова [6, 10] с использованием системы(17.15) на модели изучены параметры системы, при которых воспроизводятсянаблюдаемые в эксперименте режимы (рис. 17.8).Рис. 17.8. Рассчитанные на модели (17.15) траектории кончика спиральной волны дляамплитуды воздействия А = 0.01 и разных значений времени запаздывания τ в «контуреуправления» световыми импульсами: а) τ = 0.8, б) τ = 1.5 [6].Рис. 17.9. Типы траекторий кончика спиральной волны, полученные в ходе вычислительных экспериментов на модели (17.15) при разных периодах гармонической модуляции параметра ϕ , чувствительного к световому воздействию. По оси абсцисс отложенпериод модуляции, по оси ординат — амплитуда модуляции.
Пунктирные линии обозначают границы областей, в которых происходит резонансный «захват» частоты собственных колебаний системы частотой воздействия; l/m — отношение числа петель, которые описывает кончик спиральной волны, к числу периодов модуляции светового воздействия, Т0 — собственный период оборота кончика спирали в отсутствие внешнеговоздействия [10].Модель позволяет также изучить возможные режимы поведения кончика спиральной волны при разных амплитудахи частотах модуляции периодического светового воздействия. Общая картина видов траекторий суммирована нарис.
17.9, общая теория такого типа систем была разработанаВ. И. Арнольдом, а графики областей, в которых наблюдается подобный тип поведения, получили название «языков Арнольда».Модельные исследования автоволновых процессов в реакции Белоусова–Жаботинского внесли важный вклад в изучение возможностей управления автоволновыми процессамив таких жизненно важных органах, как мозг и сердце.В последующих работах было показано, что с помощью этойреакции можно моделировать большое разнообразие процессов, в том числе формирование спиральных волн (в терминологии кардиологов — реентри), появление которых в миокардесвязывают с фибрилляциями и различными аритмиями —опасными сердечными заболеваниями (рис.
17.10).Ванаг Владимир Карлович — российскийфизик, физико-химик,биофизик. Специалиств области диссипативных структур. Им впервые обнаружены антиволны, колебательныекластеры, стоячие, прыгающие и штрих- волны, а также локализованные структуры в химических реакционнодиффузионных системах.360ЛЕКЦИЯ 17Рис. 17.10. Трехмерный вращающийся вихрь (реентри) в желудочках собаки (а, б), модель [1], и в реакции Белоусова–Жаботинского (в,г), эксперимент [11]. Сложная формавихря в трехмерной модели возникает из-за сложной геометрии и анизотропии средыжелудочков.Более полувека продолжается экспериментальное и теоретическое исследование BZ-реакции.
Экспериментально изучаются диссипативные структурыразного рода, колебательные стоячие кластеры, стоячие волны, локализованныеструктуры и много других. Современное состояние науки в этой области отражает монография Владимира Карловича Ванага [13], к которой приложен CDдиск с программным обеспечением и примерами реализации замечательныхпространственно-временных структур, наблюдаемых в реакции Белоусова–Жаботинского и подобных системах.Литература к лекции 171. Aliev R. R. and Panfilov A. V. A simple two-variable model of cardiac excitation. Chaos, Solitons and Fractals 7(3): 293–301, 1996.РЕАКЦИЯ БЕЛОУСОВА–ЖАБОТИНСКОГО3612. Field R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
