Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 59
Текст из файла (страница 59)
18.4. Главные изоклины в модели Фитцхью–Нагумо (18.7) для разных значенийприложенного напряжения. В случае (а) стационарное состояние локально устойчиво,но «возбудимо» в том смысле, что при достаточно больших отклонениях изображающаяточка описывает траекторию, соответствующую одиночному «импульсу» (см. рис. 18.3).В случае (б) стационарное состояние неустойчиво, возможно существование предельного цикла и автоколебаний (см.
лекцию 8). В случае (в) стационарное состояние устойчиво. В случае (г) состояние S2 — неустойчиво, а S1 и S3 — устойчивы, между ними возможны переключения [9].Рассмотренное выше локальное поведение приводит к автоволновым явлениям: распространению импульса в случаях (а) и (в) (возбудимая среда), стоячими бегущим волнам и возникновению устойчивых негомогенных распределенийконцентраций в случаях (б) (колебательная неустойчивость) и (г) (седловая неустойчивость).Пространственно распределенная система Фитцхью–Нагумо отличается отсистемы (18.7) тем, что в ней учтено распространение потенциала вдоль кабеля(нервного волокна):du∂ 2u= f (u ) − v + I a + D 2 ,dt∂xdv= bu − γ v,dtf (u ) = v(a − u )(u − 1).(18.8)Посмотрим, как возникает бегущий импульс в такой системе (рис.
18.5).Для упрощения качественного рассмотрения будем считать b и γ малыми:b = ε L, γ = ε M , 0 < ε < 1.(18.9)При Ia = 0 система (18.9) принимает вид∂u∂ 2u= D 2 + f (u ) − v,∂t∂x∂v= ε ( Lu − Mv).∂t(18.10)Рассмотрим передний фронт импульса, изображенного на рис. 18.5. Приε → 0 из (18.10) следует, что v = const. Из рис.
18.5а видно, что v = 0. Мы приходим к одному уравнению для потенциала u:∂u∂ 2u= D 2 + f (u ),∂t∂xпредставляющего собой уравнение Петровского–Колмогорова–Пискунова (15.1)с функцией f (u ) = u (a − u )(u − 1).Распространение фронта в модели Петровского–Колмогорова–Пискунова мырассмотрели в лекции 15 и говорили о том, что в такой системе скорость распроDстранения фронта постоянна и равна(1 − 2a ) . Учет медленных изменений2величины v на участке траектории BC (рис. 18.3а, 18.5б) приводит к следующемувыражению для скорости распространения одиночного импульса [9]:с=D(uC − 2uP + uD ).2374Нобл Дэ́нис (NobleDenis) — английскийбиофизик и нейрофизиолог. Автор детальных моделей функционированиясердца,руководитель работ попрограмме «виртуальное сердце».
Руководитель международногопроекта«Физиом»,целью которого является создание моделей,интегрирующих знанияофункционированиибиологических системот уровня биомакромолекул до уровня целогоорганизма.ЛЕКЦИЯ 18Добавление к модели (18.8) уравнения, описывающеготрансмембранный перенос ионов Ca+2, позволяет описать периодическое возникновение пачек импульсов, бегущих вдольнервного волокна [13, 14].Модель Фитцхью–Нагумо представляет собой в некотором смысле упрощенную «модель» системы Ходжкина–Хаксли, позволяющую наглядно увидеть на фазовых портретах те свойства системы, которые определяют ее качественноеповедение, в частности, существование порога возбуждения.В настоящее время получены рентгеноструктурные данные о молекулярном строении каналов, обеспечивающих «воротные» токи и осуществляющих перенос ионов Na+, K+ и Ca2+через возбудимую мембрану нервной клетки.
С учетом этихданных модель Ходжкина–Хаксли, зарекомендовавшая себякак очень хорошая эмпирическая модель, требует новой биологической интерпретации.Детальные модели кардиоцитовМодель Ходжкина–Хаксли описывает электрическую активность гигантского аксона кальмара. В 1962 году Нобл [11]предложил использовать сходную модель для описания потенциалов действия рабочего миокарда и водителей ритмаволокон Пуркинье. С той поры модель постоянно усложнялась и совершенствовалась по мере получения экспериментальных результатов о деталях работы системы.
Многие результаты были получены в лаборатории Нобла и в ходе работы над возглавляемыми им проектами.Чайлахя́н Лево́н МиДля моделирования активности клеток сердца — кардиоцихайлович(1928–2009) —советский рос- тов — использовали те же принципы построения модели. Сосийский физиолог, аввременная модель кардиоцита включает существенно большеетор основополагающихработ по электрофи- количество мембранных токов. В первой модели Нобла, какзиологии возбудимых и в модели Ходжкина–Хаксли, суммарный ток мембраны имелтканей и физиологии++межклеточных взаимо- три компонента: Na , K и ток утечки, который, по крайней мередействий.частично, объясняется за счет ионов хлора.
В дальнейших версиях модели была учтена роль Ca2+ как важного деполяризующего тока [8]. Современная схема мембранных и внутриклеточных токов в моделиклеток синусного узла сердца кролика [18] представлена на рис. 18.6. Она включаетподробную расшифровку основных мембранных токов, функциональные различияистинных и латентных водителей ритма, изменения внутриклеточных концентраций ионов натрия, калия и кальция, функцию саркоплазматического ретикулума.Модель позволяет изучать механизмы регуляции системы в широком диапазонеусловий эксперимента и объясняет многие наблюдаемые феномены.МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА.375Рис. 18.6. Схема мембранных и внутриклеточныъх токов в модели клеток синусного узласердца кролика [18]. INa —натриевый ток; IСa,T, IСa,L — кальциевые токи T и L типов; If —активируемый при гиперполяризации ток; Ibh — фоновый ток; IKr, IKs — быстрый и медленный калиевые токи задержанного выпрямления; It0, Isus — компоненты чувствительного к 4амидопиридину тока; IКасh — активируемый АСХ калиевый ток; Ica,T, INaK — Na-K насос;INaCa — Na-Ca обменник; IСap — Ca насос; Irel — рианодиновый кальциевый ток, Iup — Caнасос саркоплазматического ретикулума (СР), Itr — кальциевый ток внутри СР, NSRи JSR — сетевой СР и терминальные цистерны СР, TC, TMC, CM, CQ — тропонин, тропонин-Mg сайты, кальмодулин, кальсеквестрин.Аксиоматические модели возбудимой среды.
Автоволновые процессы и сердечные аритмииДля изучения процессов в сердечной мышце необходимо рассматривать двумерные и трехмерные модели. Первые успехи в анализе автоволновых процессовв биологических объектах были получены не при исследовании уравнений с частными производными, а при изучении гораздо более простыхмоделей. Пионерской в этой области была работа Винера и Розенблюта [17], в которой был предложен подход к анализу волнв возбудимых тканях, основанный на изучении формальнойвозбудимой среды.В более общей форме такие же идеи были развиты Гельфандом и Цетлиным [23, 24], а затем и другими авторами намоделях клеточных автоматов. При построении моделей учи́ ев Руби́н Ренатотывали, что процесс возникновения и распространения возбуж- Аливич — российскийдения в биологических объектах, в частности в нервных тканях, биофизик, специалиств области математичеобладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от ко- ского моделированияпроцессов в возбудиторых, можно построить формальную модель этого явления.мых средах, авторРаспространение волн в возбудимых тканях отличается от детальных моделейв кардиораспространения обычных электромагнитных и механических процессовмиоцитах.376ЛЕКЦИЯ 18волн.
Во-первых, волны возбуждения могут распространяться без затухания засчет запасенной в клетках энергии. Во-вторых, после периода возбуждения наступает так называемый рефракторный период, в течение которого клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Это свойство делает невозможным интерференцию и отражение волн. По окончании периода рефрактерности свойстваклеток полностью восстанавливаются, и по ткани опять может распространятьсяволна возбуждения.Сформулируем простейшее аксиоматическое описание возбудимой ткани.Будем считать, что такая ткань состоит из множества элементов, обладающих следующими свойствами:1. Каждый элемент x множества X может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность.2.
Состояние возбуждения имеет некоторую длительностьτ (различную, вообще говоря, для разных х), затем элементпереходит на время R(x) в рефракторное состояние, после чегоГе́льфандИзра́иль возвращается в состояние покоя.Моисе́евич (р. 19133. От каждого возбужденного элемента возбуждение рас2009) – один из крупнейших математиков 20 пространяется c некоторой скоростью v по множеству наховека, педагог и органидящихся в покое элементов.затор математическогообразования (до 19894.
Если элемент x не был возбужден в течение некоторогогода — в Советскомопределенноговремени Т(х), то по прошествии этого времениСоюзе, после 1989года — в Соединённых он самопроизвольно переходит в возбужденное состояние.Штатах). Автор более800 научных статей Время Т(х) называется периодом спонтанной активности элеи около 30 монограмента х. Предельным является случай, когда Т (х) = ∞, то естьфий; глава крупнойнаучной школы.
Про- спонтанная активность отсутствует.фессор МосковскогоОчевидно, что для применения аксиоматической теории негосударственного университета им. М. В. Ло- требуется детальных знаний о кинетике реальных процессов.моносова (МГУ) (19411990), Ратгерского уни- Формальные модели возбудимых сред позволяют описать меверситета (1990-2009).
ханизмы возникновения и взаимодействия источников волнОсновные труды И. М. Гельфандаотносятся в однородных и неоднородных средах.к функциональному анаПри помощи аксиоматических моделей были впервыелизу, алгебре и топологии. Фундаментальные предсказаны источники волн двух типов: ревербераторы,результаты в областипредставляющие собой вращающиеся сферические волны [20,теорииобобщённыхфункций, обратных за- 22] и ведущие центры, осуществляющие взаимный перезапускдач спектрального анализа, квантовой меха- соседних элементов среды [25, 27].ники. Автор многочисТаким образом, было положено начало в изучении моделенных работ по нейрофизиологии,кле- лей различных патологий сердечной мышцы и прежде всего —точной миграции в тка- сердечных аритмий, возникающих при аномальных режимахневых культурах, протеомике (классифика- распространения волн возбуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
