Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Введем новые переменные, характеризующие отклонения переменных от стационарных состояний:ξ (r , t ) = x1 − x1 , η (r , t ) = x2 − x2 .Линеаризованная система в новых переменных запишется в виде∂ξ∂ 2ξ= −ξ − αη + D1 2 ,∂t∂r∂η∂ 2η= − βξ − η + D2 2 .∂t∂r(19.6)388ЛЕКЦИЯ 19РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИГГЕРЫ И МОРФОГЕНЕЗ.
МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУРЗдесьα=2 L1 x12L x, β = 2 22 .1 + x2 21 + x1(19.7)Решение, как и в лекции 16, ищем в виде ξ (t , r ) = Ae pt eikr , η (t , r ) = Be pt eikr , гдеp — показатель экспоненты временного сомножителя, а k — волновое число,k = 2π r / λn , где n — номер гармоники при разложении решения в ряд Фурье,n = 1, 2, ….Дисперсионное уравнение для системы (19.6) имеет вид( p +1− k D ) ( p +1+ k212D2 ) − αβ = 0.(19.8)Его решение:p1,2 = −1 − ( D1 + D2 )k2±2( D1 − D2 )2k4+ αβ .4(19.9)Подстановка в (19.9) выражений (19.2)–(19.4), (19.7) показывает, что в случае несимметричных корней (1), (2) — формулы (19.2), (19.3) — решения устойчивык малым флуктуациям любой длины волны.
Зависимость Re p1,2 имеет характер,изображенный на рис. 16.1г.Исследование на устойчивость симметричного решения (3) показывает, чтоэто решение неустойчиво к возмущениям длины волны, превышающим некоторое критическое значение [26]. Зависимость Re p1,2 имеет характер, изображенный на рис. 16.1б. Выражение для критической длины волны имеет вид⎡2π 2 ⎢ − D1 − D2 +⎣Λ кр =( D1 − D2 )1 − αβ2⎤+ 4 D1 D2αβ ⎥⎦(19.10)При стремлении D1, D2 к нулю Λкр также стремится к нулю, и симметричная система становится неустойчива к любым возмущениям. Мы имеем совокупностьодинаковых клеток, симметричные состояния которых неустойчивы.
При наличии диффузии обмен метаболитами затрудняет переключение отдельных клетокпри малых флуктуациях, оказывается возможным переключение лишь целых областей, причем каждая клетка переключает соседнюю в свой режим. Исследование показывает, что в системе (19.1), где учтен лишь обмен клеток метаболитами,при граничных условиях замкнутости системы не возникает устойчивых периодических диссипативных структур, которые мы видели в системе «распределенный брюсселятор» (13.17).Модель, учитывающая обмен как продуктами, так и субстратами, ведет себяболее сложным образом. Такая модель была рассмотрена в работе [27]. В нейпредполагается, что параметр L для каждого из продуктов пропорционален концентрации соответствующего субстрата, в безразмерном виде обозначим их кон-389центрации как y1, y2. Таким образом, вопрос о том, в каком режиме будет работать каждая конкретная клетка, решается в результате конкуренции двух видоввзаимодействий, которые мы рассмотрели в лекции 7, — специфического (черездиффузию продуктов x1, x2) и неспецифического (через диффузию субстратов y1,y2).
Напомним, что в лекции 7 мы ввели понятие специфического переключениятриггера (путем изменения величин переменных) и неспецифического (путем изменения величин параметров системы), ведущего к изменению характера фазового портрета. В данной модели субстраты выступают в качестве параметров дляуравнений, описывающих интересующие нас триггерные свойства продуктов.Однако для этих «параметров» — концентраций субстратов — выписываютсясоответствующие уравнения.
Из этого примера видно, что понятия переменныхи параметров — относительные. Величины, которые были приняты параметрами(постоянными величинами) в одной модели, могут стать переменными в болеедетальной модели.Для концентрации субстратов выписываются уравнения, учитывающие постоянный приток субстратов извне, их расходование в ходе ферментативной реакции, отток, пропорциональный концентрации субстрата, и диффузию:∂y1∂2 yAy= B1 − 1 1 2 − y1 + Dy1 21 ,∂t∂r1 + x2∂y2∂ 2 y2Ay= B2 − 2 22 − y2 + Dy 2.∂t∂r 21 + x1(19.11)Уравнения (19.11) для каждого из субстратов учитывают приток (B), потребление, пропорциональное концентрации субстрата и скорости прироста продукта,отток из сферы реакции (–y) и диффузию.В уравнениях для концентраций продуктов учтем, что скорость прироста каждого продукта пропорциональна концентрации соответствующего субстрата.Тогда, в отличие от уравнений (19.1), уравнения концентрации продуктов x1, x2принимают вид⎞∂x1 1 ⎛ A1 y1∂2 x= ⎜− x1 ⎟ + Dx1 21 ,2∂t τ 0 ⎝ 1 + x2∂r⎠⎞∂x2 1 ⎛ A2 y2∂2 x= ⎜− x2 ⎟ + Dx 2 22 .2∂t τ 0 ⎝ 1 + x1∂r⎠(19.12)Для упрощения исследования будем считать, что A1 = A2 = A , B1 = B2 = B.
Уравнения (19.12) приводятся к виду уравнений (19.1) при условии, что L1 = Ay1,L2 = Ay2. Кроме того, в уравнениях (19.12) предполагается, что характерные времена процессов, связанных с метаболизмом продуктов, существенно меньшевремен процессов притока и оттока субстрата. При исследовании локальной системы, в соответствии с иерархией времен (лекция 6), уравнения для продуктов390ЛЕКЦИЯ 19(19.11) могут быть заменены алгебраическими. В зависимости от параметров А, Bсистема (19.11), (19.12) может иметь одно или три гомогенных стационарных состояния.
При достаточно больших скоростях притока субстрата в системе имеется три стационарных состояния, одно из которых симметричное, а два других —несимметричные. В некоторой области параметров, ширина которой убывает приуменьшении τ0, симметричное состояние теряет устойчивость и система приобретает триггерный характер. Это соответствует приобретению клеткой способностик дифференциации.В тканях, клетки которых компетентны к дифференциации, возможно возникновение морфологических диссипативных структур. Область параметров, прикоторых возможны неоднородные в пространстве постоянные во времени распределения концентраций — диссипативные структуры, — зависит от соотношения коэффициентов диффузии основных метаболитов и соответствующих имсубстратов и тем шире, чем меньше это отношение.
При этом системы с болеевысоким уровнем метаболизма (большими значениями параметра А) в системе(19.11)–(19.12) обладают более широкими в параметрическом смысле возможностями для образования неоднородных в пространстве структур.Прохождение системы через бифуркацию седлового типа (см. лекцию 16) припереходе от одного к трем стационарным состояниям сопровождается возникновением неустойчивости в системе. Это соответствует тем моментам развития,когда система «выбирает» одну из возможностей; решающее значение здесь приобретает параметрическая регуляция, которая происходит под влиянием как генетической программы, так и условий внешней среды.В морфогенезе характер конечной структуры определяется параметрами системы: интенсивностью метаболизма и соотношением коэффициентов диффузииосновных метаболитов. Однако реализоваться структура может лишь при наличии малых (но конечных) неоднородностей в распределении метаболитов, приэтом морфогенетические неоднородности возникают лишь в случае, когда имеетместо глубокая дифференциация.Раскраска шкур животныхМодели, основанные на моделях типа реакция–диффузия, были успешно использованы для описания раскраски шкур животных [1, 7, 18].
Особенно многов этой области сделал один из крупнейших специалистов в области математической биологии XX столетия Джеймс Мюррей. Результаты этих работ описаны какв оригинальных статьях, так и в книгах издательства Шпрингер [8, 9, 10].Наблюдаемая раскраска шкуры животного, например, зебры или леопарда(рис. 19.1), определяется распределениями химических веществ, которые закладываются на стадии эмбриогенеза в течение первых недель развития зародыша.РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИГГЕРЫ И МОРФОГЕНЕЗ.
МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУРa391бРис. 19.1 . Раскраска шкур диких животных: а — леопард Pantera pardus с детенышами;б — зебры (Eguus grevye).При этом генетически детерминированные клетки — меланобласты — мигрируют к поверхности эмбриона и превращаются в специализированные пигментныеклетки — меланоциты, которые располагаются в базальных слоях эпидермиса.Раскраска волосяного покрова определяется меланоцитами, приносящими в волосяные фолликулы меланин, который затем поступает в волосы и определяет ихцвет.
Независимо от биохимических и клеточных деталей процесса, для моделирования важно, что характерный размер цветовых неоднородностей был значительно больше размера одной клетки. Например, известно, что размер паттернаэмбриона, соответствующего будущему пятну на шкуре леопарда, составляет около 0.5 мм в диаметре, что составляет около 100 клеток.Использованные Мюрреем [7, 8, 2000], Майнхардом [5, 6] и другими авторамимодели построены по сходному принципу.
Это модели тьюринговского типа, описывающие химическое взаимодействие двух веществ (морфогенов), способныхк диффузии, причем коэффициенты диффузии сильно отличаются. Начиная с классических работ Гирера и Майнхардта [3, 2,4], предполагается, что распределение морфогенов обеспечивает «позиционную информацию», необходимую для протеканияпроцессов морфогенеза.
В частности, концентрация морфогеновпредопределяет цвет, в который будет окрашена в данном местешкура животного.Общий вид системы:∂A= F ( A, B) + DA∇ 2 A,∂t∂B= G ( A, B) + DB ∇ 2 B,∂t(19.13)Мю́ррей Джеймс (Murray James D., род.1931) —английский,американский ученый,математик, биолог, крупнейший специалист в области математическойбиологии. Автор классических книг по математической биологии[8, 9, 10, 22, 23].392ЛЕКЦИЯ 19РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИГГЕРЫ И МОРФОГЕНЕЗ. МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУРгде F (A, B), G (A, B) — нелинейные функции, описывающие локальное взаимодействие компонентов A и B системы, оператор Лапласа ∇ 2 описывает диффузию, DA, DB — коэффициенты диффузии, причем DA < DB.В одной из первых работ по моделированию морфогенеза Гирер и Майнхардт[3] использовали подобную систему при построении модели дифференцировкиклеток гидры.Функция F (A, B), описывающая локальную динамику концентрации активатора,имеет автокаталитический характер относительно A и убывает с ростом B.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
