Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для этого решение C (r, t) представляют в виде суммы двухфункций:r:C (r, t) = V (r, t) + v(r, t).r.Здесь функции Cn(t) могут быть получены при подстановке предполагаемой формы решения в исходное уравнение (14.1), где функция f (r, t) также представляется в виде ряда Фурье:∞πnn =1lf (r , t ) = ∑ f n (t )sinr.(14.27)Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид⎡ t −⎛⎜ π n ⎞⎟C (r , t ) = ∑ ⎢ ∫ e ⎝ l ⎠n =1 ⎢ 0⎣∞2D ( t −τ )⎤ πnf n (τ )dτ ⎥ sinr.l⎥⎦(14.28)Как и в случае однородного уравнения, оно может быть представлено черезфункцию источника:t lC (r , t ) = ∫ ∫ G (r , ξ , t − τ ) f (ξ ,τ )d ξ dτ ,(14.29)0 02⎛π n ⎞⎟ D ( t −τ )l ⎠2 ∞ −⎜G (r , ξ , t − τ ) = ∑ e ⎝l n =1sinπnl(14.31)Здесь V (r, t) — известная функцияr ⋅ sinπnlξ.V (r , t ) = μ1 (t ) +r[ μ2 (t ) − μ1 (t )] ,l(14.32)а v — неизвестная функция, которая определяется как решение уравненияvt = Dvrr + f (r , t ) , где f (r , t ) = f (r , t ) − [Vt − DVrr ].Начальные условия для функции vv (r , 0) = φ (r ), φ (r ) = φ (r ) − V (r , 0),а граничные условия — нулевые:μ1 (t ) = 0, μ1 (t ) = 0.Метод нахождения функции v мы разобрали выше.Таким образом, решение (14.31) представляет собой сумму двух составляющих.
Функция V (r, t) в каждый момент времени t* задает распределение концентраций, линейно меняющееся с пространственной координатой между значениями μ1(t*) и μ2(t*) на концах трубки. Функция v (r, t) задает отклонение от этой,линейной по r, функции (рис. 14.2).(14.30)Легко видеть, что функция (14.30) совпадает с функцией (14.20). Различие состоит в том, что в случае формулы (14.20) мы изучали однородное уравнение диффузии и поэтому рассматривали источник вещества, действующий лишь в моментвремени t = 0, согласно начальному условию (14.2). Дальнейшее распределениевещества определялось в этом случае «пассивной» диффузией по градиентуконцентраций.
В случае неоднородного уравнения (14.1) функция f (r, t) задаетраспределение источников вещества, действующих постоянно. Поэтому в выражении для C (r, t), через функцию источника необходимо суммировать действие мгновенных точечных источников во все моменты времени от t = 0 до рассматриваемого момента t (интеграл по τ) и во всех точках одномерного реактора(интеграл по ξ). Таким образом, исходя из физического смысла функции источника G (r, ξ, t) можно было бы сразу написать выражение (14.29) для функции,дающей решение неоднородного уравнения.Рис. 14.2.
Иллюстрация к формуле (14.31)Итак, мы рассмотрели аналитические методы решения однородных (типа (14.4)) и неоднородных (типа (14.1)) уравнений, описывающих диффузию одного вещества в одномерном реакторе. Как мы видели, решение представляетсяв виде интегралов, причем удобный для аналитического исследования вид решения может быть получен лишь в небольшом числе частных случаев. Еще болеесложной ситуация становится при рассмотрении системы нескольких веществ,способных вступать в химические реакции и диффундировать в трехмерном про-304ЛЕКЦИЯ 14странстве, а именно с такими системами мы имеем дело в биологии. Однако, какмы увидим ниже, некоторые выводы о свойствах решений могут быть сделаны наосновании качественного исследования моделей.
Одна из проблем, при решениикоторой оказываются эффективными методы качественного исследования —изучение устойчивости стационарных состояний распределенных систем.В любом случае, условием возникновения в распределенных системах сложных пространственно-временных режимов является неустойчивость гомогенногостационарного состояния. Границы области параметров, в которой возникает такая неустойчивость, могут быть установлены на основе анализа линеаризованнойсистемы подобно тому, как это мы делали для локальных систем в лекциях 2, 4, 5.Для такого исследования оказывается важным уметь решать линейные системы, разобранные выше, поскольку, как правило, задача об устойчивости стационарных состояний нелинейной системы требует решения при t → ∞ линейнойзадачи (подобно тому, как для изучения устойчивости нелинейной точечной системы необходимо исследовать линеаризованную систему, см.
лекции 2, 4, 5).Устойчивость стационарных состояний нелинейных системПри построении и исследовании математических моделей биологическихсистем особый интерес представляют стационарные состояния систем, которыеустанавливаются по истечении достаточно большого промежутка времени (приt → ∞). При этом особенно важен вопрос об устойчивости стационарных состояний. Действительно, только устойчивые стационарные состояния могут реализоваться на практике, поскольку в любой реальной системе всегда присутствуютмалые флуктуации. Понятие устойчивости подробно обсуждается в лекции 2.Если некоторое стационарное состояние системы неустойчиво, это означает, чтос течением времени в системе устанавливается какой-либо иной режим.
Для точечной системы это могут быть другие устойчивые стационарные состояния(в триггерных системах, лекция 7), автоколебания (лекция 8) или динамический хаос(лекция 10). В распределенных системах неустойчивость однородных в пространстве (гомогенных) стационарных решений может приводить к возникновению диссипативных структур, автоволновых процессов и квазистохастических режимов.Стационарные, т. е. неизменные во времени, решения можно найти из условия обращения в нуль производной по времени:∂C= 0.∂tПоясним, как ставится задача об устойчивости стационарных решений распределенных систем на примере одного автономного уравнения с одной пространственной переменной.
Пусть реакция происходит в тонкой трубке длины l.Уравнение, описывающее изменение переменной C в пространстве и во времени, имеет вид∂C∂ 2C(14.33)= f (C ) + D 2 .∂t∂rРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХ305Пусть краевые условия соответствует непроницаемости трубки на торцах:∂C∂C(t ,0) =(t , l ) = 0.∂t∂r(14.34)Поскольку речь идет о стационарном решении (поведении переменной C приt → ∞), начальные условия не играют роли. Пусть C0(r) — стационарное решениеуравнения (14.33), т.
е. решение задачиf (C ) + D∂ 2C=0∂ r2(14.35)с краевым условием непроницаемости границ.Зададим системе некоторое возмущение δ (r), т. е. выберем в качестве начальной функции в этой задаче функцию, близкую к С0:C (0, r) = C0(r) + δ (r), (δ (r )( 1.Пусть Cδ (t, r) — решение задачи (14.33), (14.34) с такой начальной функцией.При малых δ (r) функция Cδ (t, r) может быть представлена в видеCδ (t, r) ≈ C0(r) + δ (t, r).(14.36)Стационарное решение C0(r) называется устойчивым, если для достаточно малыхотклонений от стационарного состояния (δ (r )( функция Cδ (t, r) при всех t ≥ 0мало отличается от С0(r).Вблизи С0(r) нелинейную функцию f (С) можно приблизить линейной функцией, использовав первый член разложения по С в ряду Тейлора:f (C ) = f (C0 ) + f c′(C0 ) ( C − C0 ) , С – С0 = δ (t, r).(14.37)Подставим выражения (14.36) и (14.37) в формулу (14.33):∂C0 ∂δ (t , r )∂ 2 C0 ∂ 2δ (t , r ).+= f (C0 ) + f c′(C0 )δ (t , r ) ++∂t∂t∂r 2∂r 2Учитывая то обстоятельство, что C0 — стационарное решение, удовлетворяющееуравнению (14.35), получим уравнение для δ (t, r)∂δ (t , r ) ∂ 2δ (t , r )=+ f c′(C0 )δ (t , r )∂t∂ r2(14.38)с начальным условием δ (0, r) = δ (r) и краевыми условиями∂δ (t , 0) ∂δ (t , l )== 0.∂r∂r(14.39)Здесь и в дальнейшем считаем для краткости, что коэффициент диффузии D = 1.306ЛЕКЦИЯ 14РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ.
УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХИтак, для исследования устойчивости стационарных состояний распределенных систем нужно изучить поведение при t → ∞ решения линейной задачи(14.38), (14.39). Как правило, свойства линейной задачи определяют устойчивостьили неустойчивость решения соответствующей нелинейной системы. Исключение составляют случаи нейтрального поведения решений линейной задачи, какэто имело место и при исследовании точечных систем (лекция 5).Пусть задача (14.33), (14.34) имеет однородные по пространству стационарные решения. Рассмотрим вопрос об устойчивости таких решений.
Для однородных стационарных решенийf c′(C0 ) = A = сonst.Поэтому задача (14.38), (14.39) представляет собой линейное уравнение диффузии с соответствующими краевыми и начальными условиями. Выше (см. (14.23))мы видели, что собственными функциями такой задачи с условиями непроницаемости на концах отрезка являются функцииkπ rcos, k = 0, 1, ....lРешение δ (t, r) задачи (14.38) с начальной функцией δ (r) можно представитьв видеkπ r, коlторое приводят к развитию возмущений стационарного однородного решения,k 2π 2а именно: это только те гармоники, для которых 2 < A = f ′(C0 ) . Если начальlное возмущение не содержит этих гармоник, то оно со временем будет исчезать.Вспомним, что в начале нашего рассмотрения мы положили D = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
