Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Однако в радиофизике уже давно известно, что источники шума могут вызвать в системе принципиально новые режимы функционирования (например, индуцированные шумомколебания), они называются «индуцированными шумом переходами». Это явление легко представить себе для бистабильных систем, рассмотренных намив лекциях 7 и 12.Флуктуации, которые носят случайный характер, могут иметь различную амплитуду.
Флуктуации с бóльшими амплитудами возникают реже. Вообще говоря,для флуктуации любой амплитуды существует среднее время ожидания. Такимобразом, если долго ждать, в системе с шумом всегда возникнет флуктуация, которая «перебросит» систему из одного стационарного состояния в другое.Исследования последних лет показали, что в нелинейных системах шумможет приводить к увеличению степени упорядоченности системы. К такимявлениям относится стохастический резонанс, определяющий группу явлений,при которых отклик нелинейной системы на слабый внешний сигнал заметноусиливается с ростом интенсивности шума в системе. Точнее, существует некоторая оптимальная амплитуда шума, при которой отклик системы на слабыйсигнал максимален.Термин «стохастический резонанс» был предложен авторами модели бистабильного осциллятора, предложенной для описания периодичности в наступле-ЛЕКЦИЯ 12МОДЕЛЬ ВОЗДЕЙСТВИЯ СЛАБОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯнии ледниковых периодов на Земле [1].
Модель описывала движение частицыв симметричном двухъямном потенциале под действием периодической силыв условиях большого трения. Устойчивые состояния соответствовали ледниковому периоду и нормальному климату Земли. Периодическая сила соответствовалаколебаниям эксцентриситета орбиты Земли. Расчеты показали, что реальная силаслишком мала, чтобы обеспечить переключения, однако они становятся возможными при учете дополнительной случайной силы.Исследования физических и химических систем как в эксперименте, так и намодели показали, что стохастический резонанс представляет собой фундаментальное физическое явление, типичное для нелинейных систем, в которых с помощью шума можно контролировать один из характерных временных масштабовсистемы (например, время переключения между метастабильными состояниями).Пусть система испытывает малое внешнее периодическое воздействие, в результате которого она совершает колебательные движения вокруг состояния равновесия, как это мы видели для бистабильной системы без шума (12.8).
Добавимв систему шум. При малой интенсивности шума время перехода между состояниями будет очень велико, намного больше периода внешнего воздействия. Привысоком уровне шума за время одного периода изменения внешнего поля системас высокой вероятностью многократно совершит переключения. Таким образом,при наличии шума высокой интенсивности периодическое воздействие не будетоказывать видимого влияния.Варьируя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время перехода через барьер близко к периоду внешнего воздействия.
Переключениясистемы в среднем будут происходить с частотой внешнего воздействия, и шумбудет служить в роли «усилителя» внешнего сигнала. Имеет место соответствие(резонанс) внешнего воздействия и воспринимающей системы (динамическаясистема + шум). Это и есть явление стохастического резонанса.Для систем с аттракторами, демонстрирующими динамический хаос, типичносуществование в фазовом пространстве аттракторов различного типа. Области(бассейны) притяжения этих аттракторов разделяются сепаратрисными гиперповерхностями.
В отсутствие внешнего шума фазовая траектория будет принадлежать тому или иному аттрактору в зависимости от начальных условий. Воздействие внешнего шума приведет к возникновению переключений между существующими аттракторами системы.Если дополнительно к внешнему шуму на систему подается слабый периодический сигнал, не вызывающий переходов между аттракторами, возможно появление стохастического резонанса. Отклик системы на слабое периодическое воздействие будет усилен.Справедливо и обратное. Если к системе, которая в присутствии любого периодического поля имеет два аттрактора, добавить шум, между этими аттракторами возникает перемежаемость.
Этот эффект имеет место для системы (12.12),в области параметров, для которой фазовый портрет изображен на рис. 12.11.Для систем с хаотической динамикой В. Д. Анищенко [6] был установленпринципиально новый эффект — детерминированный стохастический резонанс.Известно, что в системах с квазистохастическим поведением возможно явлениеобъединения двух аттракторов с возникновением динамической перемежаемости«хаос–хаос».
Именно такое поведение демонстрирует система Лоренца, рассмотренная в лекции 10 (уравнения (10.1)).При воздействии медленного периодического сигнала можно путем изменения управляющего параметра добиться примерного совпадения периода сигналаи среднего времени переключения с одного аттрактора на другой, то есть условийстохастического резонанса. Среднее время переключений между аттракторамизависит не от амплитуды шума, а от параметров динамической системы.
Изменяяуправляющий параметр, можно управлять откликом системы на внешнее воздействие и наблюдать эффект типа стохастического резонанса в отсутствие шума.276277Литература к лекции 121. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance. J. Phys.A: Math. Gen. 14: 453–457, 1981.2. Konig H. L. Bioinformation — electrophysical aspects.
In: Popp F.A., Bekker J.,Konig H. L., Peschka W. (Eds.) Electromagnetic Bioinformation, pp. 42–73. Munchen-Baltimore, Urban & Schwarzenberg, 1989.3. Riznichenko G. Yu., Plusnina T. Yu., Aksyonov S. I. Modeling of the effect ofweak electric field on a nonlinear transmembrane ion transfer system.Bioelectrochem. Bioenerg. 35: 39–47, 1994.4. Аксенов С. И. Вода и ее роль в регуляции биологических процессов.
М.–Ижевск, ИКИ, 2004.5. Аксенов С. И., Грунина Т. Ю., Горячев С. Н. Физико-химический механизмвлияния магнитных бурь и ЭПМ низких частот на биологические и социальные процессы. Биомедицинская радиоэлектроника. № 8–9: 77–88, 2007.6. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М., Наука, 1990.7. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. М., Эдиториал УРСС,2008.8. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов, Издательство Саратовского государственного университета, 1999.9. Анищенко В. С., Вадивасова Т.
Е., Шиманский-Гайер Л. Динамическое и статистическое описание колебательных систем. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2005.10. Бинги В. Н. Магнитобиология: Эксперименты и модели. М., Милта, 2002.11. Плюснина Т. Ю., Ризниченко Г. Ю. Типы нелинейного поведения системыпереноса ионов через мембрану при слабом воздействии электрического поля. Биофизика 41(4): 939–943, 1996.12. Плюснина Т. Ю., Ризниченко Г.
Ю., Аксенов С. И., Черняков Г. Н. Влияниеслабого электромагнитного воздействия на триггерную систему трансмембранного ионного переноса. Биофизика 39(26): 345–360, 1994.278ЛЕКЦИЯ 1213. Ризниченко Г. Ю., Плюснина Т. Ю. Нелинейная организация субклеточныхсистем как условие отклика на приложенное электромагнитное поле. Биофизика 41(2): 428–432, 1996.14. Ризниченко Г. Ю., Плюснина Т. Ю. Нелинейные эффекты при воздействиислабого электромагнитного поля на биологические мембраны. Журнал физической химии 71(12): 2264–2270, 1997.15.
Чижевский А. Л. Земное эхо солнечных бурь. М., Мысль, 1976.16. Чижевский А. Л. Космический пульс жизни: Земля в объятиях Солнца. Гелиотараксия. М., Мысль, 1995.ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ЛЕКЦИЯМ 1–12Итак, в первых 12-и лекциях были рассмотрены основные понятия современной динамической теории систем и их применение к моделированию биологических процессов.Биологические процессы на всех уровнях происходят в открытых системах,через них проходят потоки вещества и энергии, имеет место многоступенчатаярегуляция со стороны систем высшего уровня.
Биологическим системам свойственны сложные типы поведения: ограниченность роста, мультистабильность, периодические и квазистохастические изменения переменных, характеризующихживую систему. Эти обстоятельства обусловливают необходимость использования для их описания нелинейных уравнений — обыкновенных, разностных, с запаздывающим аргументом. Современная теория динамических систем дает принципиальную возможность описания сложных типов динамического поведения,однако для описания каждой конкретной биологической системы требуетсябольшая работа по формулировке модели, идентификации ее параметров, исследованию возможных типов ее поведения.В лекциях 2–12 мы ограничились рассмотрением особенностей протеканиябиологических процессов во времени и возможностями их описания с помощьюсовременной теории нелинейной динамики.
В последующих лекциях будут рассмотрены эффекты, связанные с пространственной неоднородностью биологических систем.Активные кинетические среды в живых системах.Проблема формообразования. Распространениеволн возбуждения. Пространственные структурыи автоволновые процессы в химическихи биохимических реакциях. Уравнение диффузии.Начальные и граничные условия.Активные кинетические среды в живых системахБиологические процессы, как и вообще все процессы в природе, протекаютв пространстве и во времени.
При построении математических моделей некоторых процессов можно ограничиться рассмотрением локальной (точечной) системы, предполагая, что процессы во всех точках пространства протекают одинаково. Такой подход оправдан при рассмотрении однородных в пространствеобъектов, таких как культура микроорганизмов в непрерывном культиватореполного перемешивания. Однако реальные системы, как правило, неоднородныв пространстве.Построение локальной модели является необходимым этапом при моделировании любой системы, так как для описания поведения системы в целом, естественно, надо представлять себе поведение отдельных ее частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
