Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Концентрация субстрата в среде значительно повысится за счет его постоянного поступления.При этом можно считать, что μ = μmax = const.Тогда уравнение для субстрата можно исключить из рассмотрения. Анализ кинетики восстановления сведется к рассмотрению простой системы первых двух уравнений и алгебраического соотношения для количества клеток.
Решив систему уравнений, получим соотношение, определяющее долюживых клеток в популяции в любой момент времени t:μmax txжae= 0 μmax t ,x 1 + a0 e(11.25)где a0 — отношение количества живых и неживых клетокв начальный момент времени.Можно оценить время, которое необходимо популяции для устранения последствий неблагоприятного фактора. Будем считать процесс восстановления законченным, если в популяции на сто живых осталась одна неживая клетка.
Пустьв результате неблагоприятного воздействия в популяции отношение живых клеток к неживым составляло 1:100. Оценки [13] показывают, что для изменения соотношения числа живых и неживых клеток в 104 раз необходимо примерно тринадцать с половиной поколений культуры. Даже при очень сильном неблагоприятном воздействии, например при a0 = 10–7, время восстановления до 90 % уровняживых клеток составляет 27 генераций. Это объясняется логарифмической зависимостью времени восстановления от отношения живых и неживых клеток.На сходных моделях можно анализировать конкуренцию мутантных формв микробных культурах.
Несмотря на то, что частота мутаций, приводящихк улучшению некоторого признака, чрезвычайно низка, именно такие мутантывытесняют исходную форму за счет действия естественного отбора. Анализ экспериментального материала на основе таких моделей позволил сделать определенные выводы о совместном действии мутаций и отбора. Преимущества имеютследующие мутанты:• мутанты, способные более полно утилизировать имеющийся субстрат, т. е.имеющие отличную от исходной формы зависимость μ = f (S),• «экономичные» мутанты, способные более полно использовать субстрат,• более «резистентные» мутанты, менее чувствительные к воздействиювнешнего фактора,• мутанты с пониженными скоростями отмирания,• менее «мутабельные» мутанты,• быстро растущие и быстро отмирающие мутанты,249• мутанты с увеличенной максимальной скоростью роста,• мутанты, выделяющиеся в неоднородных средах, например, способныепротивостоять вымыванию из ферментера: прилипать к стенкам или слипаться в комки и выпадать на дно.Оценка времени замены исходной формы мутантной при воздействии неблагоприятного фактора (например, антибиотика), показывает, как быстро распространяются нечувствительные к ингибиторам мутанты в открытых системах.Возрастные раcпределения микроорганизмовОднородность клеток в микробной популяции всегда относительна.
Большуюроль в процессах роста микробной популяции играет возрастная структура. Делиться, т. е. увеличивать численность популяции, способны только клетки, достигшие определенного возраста (или определенного размера).Возрастная гетерогенность популяции может служить причиной сложной немонотонной динамики ее численности.Рассмотрим простейшую двухвозрастную модель клеточной популяции [17]. Популяция разбита на две группы клеток:молодые и старые.Понятие «молодые» и «старые» применительно к разнымвидам микроорганизмов можно трактовать по-разному. Степáнова НатальяВ клетках эукариотов молодыми можно считать клетки фа- Вячеславовна (1931–— русский советзы G1, в которой синтезируется белок, а старыми — все ос- 1993)ский физик, биофизик,тальные, начиная с S-фазы синтеза ДНК.
Именно на этих позд- специалист в областиматематическогомоних стадиях существуют ингибирующие кейлоны, угнетающе делирования в микробиологииииммунолодействующие на скорость деления.гии, один из авторовБудем считать, что клетки первой группы интенсивно рас- классических книг потут, но не достигли физиологической зрелости и не способны математической биофизике [14–18].делиться. Члены второй группы способны к делению. Процессделения может быть задержан при помощи различных ингибиторов.
Уравнениядля численностей молодых (N1) и старых (N2) клеток имеют видdN1 21= N 2 − N1 − DN1 ,dtT2T1dN 2 11= N1 − N 2 − DN 2 .dtT1T2(11.26)Здесь Т1 — среднее время созревания молодой клетки, Т2 — среднее время пребывания старой клетки в репродуктивном периоде, D — скорость протока.Удельная скорость деления клеток ω = T2 1 . Множитель 2 в первом уравненииотражает тот факт, что старая клетка делится на две молодые.ЛЕКЦИЯ 11МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙПри отсутствии лимитирования субстратом продолжительность первой фазы Т1 постоянна, продолжительность второй фазы Т2 зависит от взаимного влияния клеток, которое осуществляется с помощью метаболитов (кейлонов), выделяемых клетками в среду. Если скорость выделения и распада кейлонов многобольше скорости протока и скорости деления клеток, концентрация кейлоновпропорциональна числу клеток, их выделяющих.Обозначим концентрацию ингибирующего метаболита I.
Его влияние наудельную скорость деления клеток можно записать в видевания: чем больше n, тем она шире. Области неустойчивости на плоскости параметров (σ, δ ) для второго и третьего порядка ингибирования изображены нарис. 11.5.250IT2−1 = ω = ω0 [1 + ( ) n ]−1 ,k1(11.27)где ω0 — скорость деления в отсутствие ингибитора I.
Здесь n — порядок ингибирования, k1 — константа ингибирования.Были рассмотрены три ситуации:1) ингибиторы выделяются только молодыми клетками,2) ингибиторы выделяются только старыми клетками,3) ингибиторы выделяются независимо от возраста. Исследование модели показало, что только предположение о выделении ингибиторов старыми клеткамипозволяет описать колебательные режимы в системе. В рамках модели это означает, что скорость деления зависит от численности N2:ω = ω0 [1 + (251Рис. 11.5. Параметрические областинеустойчивости стационарного ненулевого решения при n = 2 (двойнаяштриховка) и n = 3 (простая штриховка).Фазовый портрет системы в области неустойчивости содержит предельныйцикл (рис. 11.6).
Динамика переменных изображена на рис. 11.7.N 2 n −1) ] .N1Введем безразмерные переменные:x=N1,N0y=N2t, t ′ = , σ = ω0T1 ,N0T1δ = DT1 .В безразмерных переменных система имеет видdx2σ y=− (δ + 1) x,1 + yndtdyσy.= x −δ y −1 + yndt(11.28)Штрих у времени опущен.Кроме тривиальной особой точки (0, 0) система (11.28) имеет еще одну особую точку:x = 2σ y1(1 − δ )σ, y=− 1,1−δ(1 + δ )σтип которой может быть различным в зависимости от параметров. Ширина области неустойчивости в пространстве параметров зависит от порядка ингибиро-Рис.
11.6. Фазовый портрет системы (11.28) в области неустойчивости ненулевого стационарного решения. Жирная линия — предельный цикл.252ЛЕКЦИЯ 11МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙРис. 11.7. Поведение во времени переменных модели (11.28).Непрерывные модели возрастной структуры микроорганизмовТакие модели оперируют не с численностями отдельных групп, а с непрерывной функцией распределения организмов по возрастам. Уравнение для плотностифункции распределения было впервые получено Маккендриком в 1926 г. [4],а затем «переоткрыто» Х. фон Фёрстером [1] в 1959 году и носит его имя. Имяэтого ученого мы уже упоминали в лекции 3 в связи с обсуждением закона гиперболического роста человечества.Вместо интегральной характеристики — числа клеток N(t) — введем функцию распределения числа клеток по возрастам n (t, τ).
Произведение численностина величину возрастного интервала n (t, τ)dτ — это количество особей в моментвремени t, имеющих возраст в интервале [τ, τ + dτ ].Общее число особей всех возрастов в момент времени t определяется интегралом∞0В уравнении Ферстера две независимые переменные — время t и возраст τ , который отсчитывается с момента рождения особи. Уравнение представляет собойдифференциальную форму закона сохранения числа особей.
Согласно этому закону, дивергенция функции n (t, τ ) в пространстве переменных t и τ равна суммеисточников и стоков:∂n(t ,τ ) ∂n(t ,τ )+= ρ (t ,τ )n(t ,τ ) − D(t )n(t ,τ ) − ω (t ,τ )n(t ,τ ) .∂t∂τпо сравнению с протоком клеток через культиватор, скорость протока D(t) не зависит от возраста клеток, но может зависеть от времени.Второй член справа характеризует скорость оттока клеток возраста τ в момент времени t. Третий член описывает переход клеток в нулевой возраст вследствие процесса размножения, ω (t ,τ ) — вероятность разделиться за время dt клетки, достигшей возраста τ в момент времени t.
Прирост численности в результатеразмножения происходит в нулевой возраст и войдет в граничное условие приτ = 0.Начальное распределение клеток по возрастам в момент времени t = 0 считается заданным:n(0,τ) = g(τ).(11.29)В уравнении (11.29) слева стоит полная производная dn/dt, при этом учтено, чтоdτ/dt = 1.В правой части — члены, которые описывают процессы, приводящие к изменению числа клеток данного возраста.Первый член ρ (t ,τ )n(t ,τ ) — прирост числа клеток за счет поглощения субстрата.Убыль клеток может быть вызвана разными причинами — смертностью, миграцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
