Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Более того, математические модели прочно вошли в практику биотехнологического производства микроорганизмов как инструмент управления биотехнологическими процессами. Мы остановимся на моделях, которые не только лежатв основе моделей микробиологических систем, но являются базовыми моделямивсей математической биологии, в том числе используются в популяционной динамике, при моделировании иммунных и других процессов.В большинстве своем микроорганизмы — одноклеточные организмы, ониимеют высокое отношение поверхности к объему и поэтому высокие интенсивности обмена с окружающей средой. С этим связаны:• высокие скорости размножения микроорганизмов,• большой прирост биомассы,• высокая скорость роста микробных популяций,• высокая скорость микроэволюционных процессов в микробных сообществах.Все это делает микробные популяции чрезвычайно привлекательными какв практическом отношении для биотехнологии, так и в качестве научного объектадля изучения популяционных и эволюционных процессов.Для математического описания микробных популяций обычно используютаппарат обыкновенных дифференциальных уравнений.
В отношении микробиологических систем такое описание гораздо более обосновано, чем применительнок наземным и водным высшим организмам. Из-за многочисленности микробныхпопуляций к ним применимо понятие концентрации.Действительно, даже в лабораторных исследованиях, in vitro приходитсяиметь дело с количеством особей порядка 1010 и выше. В большом промышленном ферментере могут одновременно жить 1016–1017 дрожжевых клеток.Напомним, что отклонение численности от средних значений, вызванное слу1чайными обстоятельствами, пропорционально, где N — численность попуNляции.
Таким образом, для многочисленных популяций можно строить модельв терминах средних численностей, или концентраций.Второй фактор — относительная однородность культуры микроорганизмовв объеме культиватора. Это позволяет пренебречь пространственными эффектами.Для управления биотехнологическим процессом необходимо:• сформулировать модель, описывающую рост управляемой культуры микроорганизмов,• указать параметры, по которым производится управление,• определить цель, которая при этом преследуется.ЛЕКЦИЯ 11МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙНапример, целью может быть максимальная скорость роста культуры, илиполучение максимальной биомассы в течение всего срока выращивания, или минимизация времени выхода культиватора на стационарный режим работы.
В зависимости от этого должна быть математически сформулирована соответствующая целевая функция. Нахождение значений управляющих параметров, которыепозволяют достичь экстремума этой целевой функции, и составляют задачууправления.Непрерывные культуры микроорганизмов — это культуры, в которые всевремя добавляется питательная среды, а часть содержимого, в том числе живые организмы — биомасса — постоянно удаляется. Эти условия имитируютестественные проточные системы.
Однако в отличие от естественных систем, условия среды и развития микроорганизмов в установках непрерывного культивирования в лабораториях и на промышленных предприятиях находятся под контролем и могут быть стабилизированы. Это позволяет проводить экспериментыс культурами микроорганизмов по изучению популяционных законов развитиявидов и их сообществ, наблюдать процессы микроэволюции.Для микроорганизмов, особенно автотрофных бактерий и дрожжей, условиявыращивания довольно просты. Их выращивают в жидкой среде, представляющей собой раствор солей и простых органических соединений.
Культуру содержат при постоянной температуре и перемешивают, причем из резервуара в неепостоянно поступает стерильная среда (рис. 11.2).238Непрерывные культуры микроорганизмовXарактерная кривая роста микроорганизмов приведена на рис.
11.1.Рис. 11.1. Кривая роста микроорганизмов при периодическом культивировании: 1 —лаг-фаза; II — фаза ускорения роста; III — фаза экспоненциального роста; IV — фазазамедления роста; V — фаза стационарная; VI — фаза отмирания культуры.Процессы культивирования разделяют на периодические и непрерывные. Припериодическом режиме в культиватор одновременно закладывают все необходимое для роста микроорганизмов (субстраты) и некоторую «затравку» биомассы,после чего популяция микроорганизмов растет и развивается по своим законам.В некоторый момент времени производится изъятие биомассы. Затем процессповторяется. Таким образом, снятие урожая производится периодически, и каждый раз популяция проходит через все стадии роста.239Рис.11.2.
Схема устройства для непрерывного культивирования микроорганизмов:1 – регулятор,2 – поступление субстрата,3 – отток (вымывание) смеси субстрата и биомассы,4 – культура внутри культиватора,5 – мешалка.При построении моделей в микробиологии в качестве равноправных переменных используют как концентрации микроорганизмов, так и концентрацииразличных растворимых органических и неорганических веществ: субстратов,240ЛЕКЦИЯ 11МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙферментов, продуктов. В микробиологии общепринят эмпирический подходк построению моделей. Из всех факторов, влияющих на рост клетки, выбираютлимитирующий и опытным путем находят зависимость скорости роста от егоконцентрации.
Особый класс составляют задачи, где в процессе роста происходитсмена лимитирования.В общем виде кинетика концентрации клеток в непрерывной культуре описывается уравнениемdx= x( μ − v).dt(11.2)Без учета вымывания клеток рост биомассы описывается уравнениемdx= x( μ ).dt(11.3)При неограниченных ресурсах питательных веществ величина μ постоянна,и уравнение (11.3) описывает экспоненциальный рост популяции клеток. Если жекакие-либо причины начинают лимитировать рост, величина μ будет уменьшаться. Для микробиологических систем обычно величиной, лимитирующей рост,является концентрация субстрата.
Наиболее распространенная форма записи,учитывающая насыщение скорости роста культуры по питательному субстрату,предложена Моно:μ Sdx= m x.dt K S + SРис. 11.3. График зависимости скоростироста от концентрации субстрата в соответствии с формулой Моно (11.4).(11.1)Здесь x — концентрация клеток в культиваторе; μ — функция, описывающаяразмножение популяции, может зависеть от концентрации клеток x, концентрации субстрата (обычно обозначается S), температуры, рН среды и прочих факторов; v — скорость вымывания.В хорошо перемешиваемой культуре скорость вымывания зависит только отскорости протока. Если объем культиватора равен V, а скорость притока f, но величина, называемая разбавлением, определяется как D = f/V, и тогда скорость вымывания микроорганизмов из культиватора равнаν = – D.241(11.4)Здесь μm — максимальная скорость роста микроорганизмов при данных условиях;KS — константа, численно равная концентрации субстрата, при которой скоростьроста культуры равна половине максимальной.
График функции величины скорости роста от концентрации субстрата приведен на рис. 11.3.Вид уравнения Моно аналогичен формуле Михаэлиса–Ментен из ферментативной кинетики (см. лекцию 6). И это не только формальное сходство. В основежизнедеятельности любой клетки лежат ферментативные процессы. Скоростьроста биомассы в конечном счете определяется скоростью переработки лимитирующего субстрата ферментом узкого места в метаболической сети. Пусть концентрация фермента на единицу биомассы равна E0.
Тогда, по закону Михаэлиса,скорость переработки субстрата единицей биомассы определяется формулойkE0 S1 dS.=−x dtKm + S(11.5)Здесь Km — константа Михаэлиса, k — константа скорости реакции. Вся биомассаконцентрации x обладает количеством фермента E0x, следовательно, суммарнаяскорость убыли субстрата равнаkE SxdS.=− 0dtKm + S(11.6)Предположим, что прирост биомассы пропорционален убыли субстрата:dx1 dS=−.dtα dt(11.7)Обозначив KS = Km и μm = kE0α, получим формулу (11.4).В формулах (11.4) и (11.6) имеются важные различия.
Формула Михаэлиса–Ментен (11.6) относится к отдельной ферментативной реакции, все входящиев нее константы выражаются через скорости соответствующих биохимическихреакций. В формуле Моно (11.4) константы скоростей KS и μm являются эффективными величинами и определяются по эмпирической зависимости скоростироста культуры от концентрации питательного субстрата.При моделировании конкретной культуры микроорганизмов часто нелегковыделить лимитирующий фактор. Здесь может играть роль соотношение коэффициентов растворимости различных веществ или проницаемости мембран клетокпо отношению к этим веществам. Только специально поставленные эксперименты могут выделить управляющее звено — лимитирующий субстрат, которыйвходит в формулу (11.4).ЛЕКЦИЯ 11МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙВ стационарном состоянии процессы размножения популяции и вымываниядолжны быть уравновешены.
При непрерывном культивировании подбором скорости протока можно стабилизировать скорость роста популяции в любой точке навосходящей ветви кривой роста популяции. Для этого применяются различныеспособы управления скоростью протока. Основное их свойство — обратная связьмежду приростом концентрации биомассы и удалением части популяции из ферментера. В различных культурах применяются разные физико-химические методыподдержания плотности культуры на разном уровне: турбидостатный, основанныйна регулировании оптической плотности культуры, рН-статный для процессов,в которых имеется связь между приростом биомассы и изменениями рН, оксистатный — для аэробных микроорганизмов.
Эти способы управления дают возможность поддерживать культуру в условиях нелимитированного роста, когда скорость прироста биомассы определяется лишь собственной генетически обусловленной способностью популяции к размножению. При этом достигаются оченьвысокие скорости, которые особенно важны при изучении микроэволюционныхпроцессов. Например, бактерии могут размножаться в турбидостате со скоростью,соответствующей средней продолжительности поколения, — около 5 мин.Для поддержания культуры в области нелимитированного роста требуютсявнешние регуляторы. В случае лимитирования роста внешним фактором, например, недостатком субстрата, стационарный режим работы культиватора устанавливается путем саморегуляции. Это имеет место в природных проточных системах и в наиболее распространенном типе непрерывных культиваторов — хемостате, где задается скорость разбавления культуры, или скорость протока.Наиболее устойчиво работает хемостат в пределах скорости протока, малойпо сравнению с максимальной удельной скоростью роста культуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
