Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

н. «энтропия Колмогорова–Синая»).Рис. 10.2. Бильярд Синая.Рис. 10.1. Проекции фазовых траекторий системы Лоренца при разных значениях параметра r: r = 1 — единственное стационарное состояние; r = 10 — два стационарных состояния (устойчивых фокуса) в разных плоскостях; r = 28 — область странного аттрактора. Справа — траектории в окрестности странного аттрактора в увеличенном масштабе. Траектории получены Игорем Федиком.К такому типу процессов относятся жидкости вблизи порога возникновениятурбулентности, приборы нелинейной оптики (лазеры), некоторые химическиереакции, метеорологические процессы, движения горных масс при землетрясениях, а также многие биологические процессы в достаточно узкой области значенийпараметров. Изучение роли динамического хаоса в организации биологическихпроцессов — одна из актуальных задач математической биологии.ЛЕКЦИЯ 10ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС.

МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВНеобходимым (но не достаточным) условием существования динамического (детерминированного) хаоса является нелинейность. Линейные дифференциальные и разностные уравнения могут быть решены преобразованием Фурьеи не приводят к хаосу.Понятие «хаотическое поведение» означает неустойчивость фазовых траекторий, рост малого начального возмущения во времени, перемешивание элементов фазового объема и, как следствие, непредсказуемость поведения системы на больших временах.Важно, что такого типа режимы обнаруживаются в детерминированныхсистемах, где однозначно задан закон изменения системы с течением времени.Детерминированность означает, что зависимость будущего состояния x (t)можно записать в видеДля устойчивого по Ляпунову движения малое начальноевозмущение не нарастает, т.

е. движение x*(t) устойчиво поЛяпунову, если для любого ε > 0 можно указать такое δ (ε),что для всякого движения x(t), для которого ⎢x(t0) –– x*(t0) ⎢ < δ, при всех t > t0 выполняется неравенство ⎢x(t) –– x*(t) ⎢ < ε.Если малое начальное возмущение δ не только не нарастает, а со временем стремится к нулю, то есть ⎢x(t) – x*(t) ⎢ → 0 Пуассо́н Симео́н-Дени́Siméon-Denis,при t → ∞, то движение обладает более сильным свойством (Poisson1781–1840) — французасимптотической устойчивости.ский физик и математик. Автор более 300В понятии орбитальной устойчивости рассматривается не ученыхтрудов в разныхрасстояние между точками исходной и возмущенной траекто- областях чистой математики,математичерий в один и тот же момент времени, а минимальное расстоя- ской физики,теоретиние от изображающей точки возмущенной траектории до ор- ческой и небесной мебиты Г*, соответствующей исходному движению. Орбитально ханики.устойчивое движение может не быть устойчивым по Ляпунову.Устойчивость движения по Пуассону предполагает, что соответствующаяфазовая траектория при t → ∞ не покидает ограниченной области фазового пространства.

Находясь в этой области бесконечно долго, она неизбежно будетвозвращаться в сколь угодно малую окрестность начальной точки. Временавозврата могут соответствовать периоду или квазипериоду при регулярном движении, а могут представлять собой случайную последовательность, если решение отвечает режиму динамического хаоса.208x(t) = F [x(t0)].(10.2)Здесь F — детерминированный закон (оператор), который осуществляетстрого однозначное преобразование начального состояния x(t0) в будущее состояние x(t) для любого t > t0. Частный случай такого закона мы видели в лекции 3, когда изучали дискретный аналог логистического уравнения. При некоторых значениях параметра эта система демонстрировала квазистохастическоеповедение.

Мы видели, что траектории системы при этом приобретали сложный непериодический характер и попытки воспроизвести начальную реализацию приводили к непредсказуемым результатам. Как в случае истинно хаотического броуновского движения, в каждой новой реализации при тех же начальныхусловиях (в пределах возможной точности) мы получали другие сложные траектории, даже близко не напоминающие друг друга. На самом деле, если бы начальные значения воспроизводились с абсолютной точностью, сложная траектория также бы повторилась.

Но в области детерминированного хаоса траекторииявляются неустойчивыми по отношению к малым отклонениям. Поэтому дажемалейшие отклонения, допускаемые компьютером, приводят к разбеганию траекторий.Этим и объясняется термин «детерминированный хаос», объединяющийдва несовместимых представления — детерминированность (однозначную определенность) и непредсказуемость поведения. Для понимания свойств детерминированного хаоса вернемся к определению основных понятий теории динамических систем.Устойчивость и неустойчивостьВ лекциях 2 и 4 мы рассмотрели понятие устойчивости стационарного состояния по Ляпунову.

Однако устойчивостью и неустойчивостью характеризуются не только состояния равновесия, но любые фазовые траектории. Существует несколько понятий устойчивости движения: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость, устойчивостьпо Пуассону.209Предельные множестваПонятие предельного множества играет важнейшую роль в нелинейной динамике. Изучая некоторые модели биологических систем, мы уже сталкивалисьс несколькими типами предельных множеств. В первую очередь, с устойчивымистационарными состояниями типа устойчивый узел и фокус, а также с устойчивыми замкнутыми фазовыми траекториями — предельными циклами (лекция 8).В динамических системах третьего порядка кроме этих двух типов возможны тороидальные предельные множества, соответствующие квазипериодическим фазовым траекториям, и еще более сложные хаотические предельные множества.Пусть в момент времени t0 состояние системы определяется вектором x0,а в момент t — вектором x(t) = TΔtx0, где TΔt — оператор эволюции на интервалеΔt = t − t0.

Если в фазовом пространстве существуют два множества V и L ⊂ V ,такие, что для любого начального состояния x0 ∈ V при t → ∞ или при t → −∞,начиная с определенного момента времени x(t) ∈ L, то тогда L называют предельным множеством динамической системы.Таким образом, под действием оператора эволюции все точки системы в пределе переходят в точки предельного множества.ЛЕКЦИЯ 10ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВЕсли все точки множества V будут принадлежать L при t → +∞, то L —притягивающее предельное множество, или аттрактор. Тогда V — бассейнпритяжения аттрактора (подобно бассейну реки — территории, с которойона собирает свои воды).Если все точки множества V будут принадлежать L при t → −∞, то L — отталкивающее предельное множество, или репеллер.Если множество V состоит из двух подмножеств V = W s ∪ W u, причем точки,принадлежащие W s, стремятся к L в прямом времени, а точки, принадлежащие W u, стремятся к L в обратном времени, тогда L называется седловым предельным множеством (или седлом).

Множества W s и W u — устойчивое и неустойчивое многообразия седла. При инверсии времени (такую возможность предоставляют большинство современных математических пакетов для визуальногорешения дифференциальных уравнений) аттракторы системы становятся репеллерами, репеллеры — аттракторами, а у седел меняются ролями устойчивоеи неустойчивое многообразия.Мы знакомы с простейшими предельными множествами динамическойсистемы — состояниями равновесия (лекция 4). Устойчивый узел и устойчивыйфокус являются аттракторами, неустойчивый узел и неустойчивый фокус —репеллерами.Точка типа центр, которую мы рассматривали в простейшей вольтерровской системе «хищник–жертва» (лекция 5) не является ни аттрактором, ни репеллером, ни седлом, так как не существует множества точек, стремящихсяк центру в прямом или обратном времени.

Это особый случай предельногомножества, для которого V = L. Такая особая точка является негрубой.Предельное множество в виде замкнутой кривой также может быть аттрактором — устойчивый предельный цикл, репеллером — неустойчивый (см. лекцию 8).Седловые предельные циклы существуют лишь в фазовом пространстве размерности N ≥ 3.Таким же образом подразделяются тороидальные предельные множества,соответствующие квазипериодическим колебаниям с двумя несоизмеримымичастотами.

Седловые торы существуют в пространстве N ≥ 4.Все перечисленные предельные множества представляют собой простыев геометрическом смысле множества — точка, кривая, поверхность — целой размерности (0, 1, 2). Их называют регулярными. Отметим, что с увеличением размерности фазового пространства старые типы предельных множеств, присущиепространствам малой размерности, сохраняются и появляются новые.В системах с размерностью фазового пространства N ≥ 3 возможны установившиеся изменения переменных, не являющиеся ни периодическими, ни квазипериодическими. Таким хаотическим изменениям переменных соответствуютаттракторы, представляющие собой геометрически сложные множества дробнойразмерности, названные хаотическими аттракторами.

Пример одной из класси-ческих систем, демонстрирующих детерминированный хаос, представляет система Рёсслера:210x = −( x + y ),y = x + α y,211(10.3)z = α + z ( x − μ ).Траектории системы (10.3) напоминают клубок спутанных ниток (рис. 10.3).Рис. 10.3. Вид проекций фазовойтраектории на странном аттракторев системе Ресслера (Rössler, 1976).Линейный анализ устойчивости траекторийЛинейный анализ устойчивости траекторий проводится подобно тому, как мыпроводили линейный анализ устойчивости стационарных состояний. Посколькумы анализируем малое возмущение, можно линеаризовать оператор эволюциив окрестности исследуемой траектории и провести линейный анализ ее устойчивости.Рассмотрим автономную динамическую системуx = F ( x, α ),где x — вектор переменных, α — вектор параметров, F — вектор-функция с компонентами fj.

Характеристики

Список файлов лекций