Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Нас интересует устойчивость решения x0(t). Введем малое возмущение y = x(t) – x0(t). Для него можно записать:y = F ( x 0 + y ) − F ( x 0 ).Раскладывая F(x0 + y) в ряд Тейлора в окрестности x0 и учитывая малостьвозмущения, получим линеаризованное уравнение относительно y:y = A(t ) y,где А — матрица линеаризации системы с элементамиa j ,k =∂f j∂xk,x0j , k = 1, 2,..., N .212ЛЕКЦИЯ 10ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ213Матрица А характеризуется собственными векторами еi и собственными значениями ρi:Aei = ρiei, i = 1, 2, …, N.Собственные числа являются корнями характеристического уравненияdet [ A − ρ E ] = 0,где Е — единичная матрица.Начальное возмущение, заданное в момент времени t* вдоль i-го собственного вектора, с течением времени будет меняться в соответствии с эволюцией этоговектора:y i (t ) = y i (t ∗) exp ρi (t − t∗).(10.4)Будет отклонение уменьшаться или нарастать, определяется значением действительной части ρi.Элементы матрицы А со временем могут меняться.
Соответственно меняютсяее собственные векторы и собственные значения, в том числе может менятьсязнак действительной части ρi. Поэтому, вообще говоря, (10.4) выполняется тольков пределе при (t – t*) → 0. Для общей характеристики устойчивости траекториипо отношению к возмущению вдоль i-го собственного вектора используют величину, называемую характеристическим показателем Ляпунова:λ i = limt →∞1ln y i (t ) .t − t0Здесь y i(t) — возмущение вдоль i-го собственного вектора в момент времени t, соответствующее малому начальному возмущению y i(t*).Для N-мерной задачи устойчивость траектории характеризуется набором Nляпуновских характеристических показателей.
Они связаны с собственными значениями матрицы линеаризации соотношениемt1Re ρi ( t ′ )dt ′.t →∞ t − t ∫0 t0λi = limТаким образом, ляпуновский показатель — это усредненное вдоль исследуемой траектории значение действительной части собственного значения ρ i матрицы линеаризации. Устойчивость траектории по Ляпунову означает, что произвольное начальное возмущение y(t*) в среднем вдоль траектории не возрастает.Для этого необходимо и достаточно, чтобы спектр ляпуновских показателей λi несодержал положительных показателей.Рис. 10.4.
Сценарий удвоения периода для итерации логистического отображенияxn +1 = rxn (1 − xn ) в зависимости от значения параметра r (а) и соответствующие значенияпоказателя Ляпунова (б); r1 — бифуркационное значение возникновения двухточечногоцикла, r2 — бифуркационное значение возникновения четырехточечного цикла, r∞ —значение r, при котором возникает режим детерминированного хаоса.ЛЕКЦИЯ 10214ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ215На рис. 10.4 приведены значения итераций логистического отображения(см.
лекцию 3) и соответствующие значения показателя Ляпунова [25] в зависимости от величины параметра r. Значение r1 соответствует бифуркации возникновения двухточечного цикла, r2 — четырехточечного цикла, и т. д. Кривыеповедения во времени xt для разных значений r приведены в лекции 3 на рис. 3.16.При r = r∞ число повторяющихся точек становится бесконечным (траектория становится хаотической). При r > r∞ (для квадратичного отображения r∞ = 4) поведение итераций для большинства значений r хаотично, показатель Ляпунова положительный, однако есть области, где он отрицательный — так называемые окнарегулярности.Диссипативные системыВ физике системы принято подразделять на консервативные и диссипативные.
В консервативных системах энергия сохраняется (маятник без затухания).В диссипативных системах энергия со временем уменьшается (маятник в вязкойсреде). Для того чтобы диссипативная система поддерживала непрерывное движение (например, автоколебания), необходимы источники энергии.Биологические системы по своей природе являются диссипативными. Поэтому их модели принципиально нелинейны. Существование аттрактора в диссипативной системе связано со свойством сжатия элемента фазового объема под действием оператора эволюции.
Рассмотрим множество точек, заполняющих элементобъема ΔV, и множество фазовых траекторий, стартующих из этих точек в моментвремени t0 (рис. 10.5).С течением времени объем ΔV меняется по законуΔV (t ) = ΔV (t0 ) exp[(t − t0 )divF( x(t ))],где F(x(t)) — поле фазовых скоростей (поток) динамической системы. Черта сверху означает усреднение вдоль фазовой траектории. Если в среднем дивергенцияпотока отрицательна, а это всегда выполняется для систем с потерями, то элементфазового объема ΔV в пределе при t → ∞ стремится к нулю.
Это означает, чторассматриваемое множество фазовых траекторий, которые берут свое началов ΔV, стремится попасть на некоторое предельное множество, размерность которого меньше размерности N фазового пространства системы.На рис. 4.10 показаны различные типы аттракторов, в которые может перейтиэлемент фазового пространства размерности 3. Это — точка покоя (1), предельный цикл (2), двумерная поверхность, диффеоморфная поверхности тора (3), и,наконец, хаотический аттрактор (4).Рис. 10.5. Сжатие элемента фазового объема в разные типы аттракторов.Устойчивость хаотических решенийФазовые траектории, принадлежащие регулярным предельным множествам — аттракторам, — устойчивы по Ляпунову, а принадлежащие репеллерами седлам — неустойчивы.
Для хаотических траекторий это не так. Хаотическаятраектория обязательно неустойчива хотя бы по одному направлению. Значит,в спектре характеристических показателей Ляпунова обязательно присутствуютположительные величины. Неустойчивость фазовых траекторий и притягивающий характер предельного множества не противоречат друг другу, так как фазовые траектории, стартующие из близких точек бассейна притяжения, стремятсяк аттрактору, но на аттракторе разбегаются. Траектории на хаотическом аттракторе неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Пуассону. Такое поведение возможно лишь на множествах, обладающих сложной геометрической структурой.ЛЕКЦИЯ 10ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС.
МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВПредставление о том, как формируется структура хаотического аттрактора,дает рассмотрение предельного множества, возникающего в отображении подковы (отображении Смейла) (рис. 10.6).ми в книге «Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем» [8].Модель генератора описывается системой уравнений:x = mx + y − xz ,(10.10)y = − x,216217⎧1, x > 0, ⎫z = − gz + gI ( x) x 2 , I = ⎨⎬⎩0, x ≤ 0.⎭Рис.
10.6. Возникновение странного аттрактора в отображении подковы Смейла.Единичный квадрат сжимается по одному направлению и растягивается подругому, причем площадь при этом уменьшается. Затем получившаяся полоскаизгибается в форме подковы и вкладывается обратно в исходный квадрат. Этапроцедура повторяется много раз. В пределе образуется множество с нулевойплощадью, которое имеет в поперечном сечении канторову структуру (см. приложение к лекции 10). Отметим, что сложность геометрической структуры аттрактора может и не сопровождаться неустойчивостью траекторий на нем.ПеремешиваниеНепредсказуемость поведения системы в области динамического хаоса связана с неустойчивостью системы по отношению к малым отклонениям начальногосостояния.
Это означает, что мы должны анализировать эволюцию во времени неначальной точки, а начального объема вокруг этой точки.Рассмотрим малую сферу радиуса ε > 0, окружающую начальное состояние x0. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение от начальногосостояния. Применим оператор эволюции и посмотрим за трансформацией этогомалого объема во времени. Если система устойчива, любое малое отклонение современем будет затухать. На рис.
10.7 представлено последовательное сжатиепервоначальной области неопределенности фазового объема в случае, когда устойчивое предельное множество представляет собой предельный циклДля неустойчивых режимов все сложнее. Неустойчивость режима ведетк росту возмущений. Но если система диссипативна, независимо от того, устойчива или неустойчива система, происходит уменьшение элемента фазового объема во времени, что связано с потерями энергии. Это значит, что элемент фазовогопространства по одним направлениям растягивается (что соответствует положительным показателям Ляпунова), а по другим — сжимается. Причем степень сжатия превалирует над степенью расширения.
Пример такой трансформации длясистемы, описывающей радиотехнического устройство (модифицированный генератор с инерционной нелинейностью) представили В. С. Анищенко с соавтора-Рис. 10.7. Сжатие элемента фазовогопространства при «наматывании» траектории на устойчивый предельный цикл –траектория Г. [8].Рис.
10.8. Детерминированный хаос в трехмерной системе (10.10). Фазовая траектория для значений параметров m = 1.5,g = 0.2. [8].Со временем имеет место растяжение в одних направлениях и сжатие —в других. Спустя некоторое время точки траекторий, начинающихся в элементе 1,можно обнаружить в любой части фазового пространства, занятого аттрактором.Процесс перемешивания имеет простую аналогию. Поместим в жидкость, находящуюся в сосуде, капельку чернили будем жидкость перемешивать. В силу «неустойчивости»капли, молекулы чернил под влиянием потоков жидкости скоро «разбегутся» по всему объему. Их траектории будут хаотическими. Если же в сосуд поместить твердую частицу, моле- Анище́нко Вадим Семенович — российскийкулы вещества будут перемещаться по влиянием потока жид- физик, профессор Сагосударсткости тоже по сложной траектории, но не удаляясь друг от ратовскоговенного университета,специалист в областидруга (траектория устойчива).нелинейной динамики,При определенных значениях параметров система де- детерминированногохаоса, стохастическихмонстрирует квазистохастическое поведение (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
