Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 36
Текст из файла (страница 36)
П.1, начинается (n = 0) с отрезка прямой длиной L(1) = 1. Отрезок делится на три части, средняя часть вынимается, вместонее встраиваются две стороны равностороннего треугольника, длиной 1/3 каждая. В результате получаем кривую первого поколения (n = 1) из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Длина кривой первого поколения составляет величину L(1/3) = 4/3.
Следующее поколениеполучается при замене каждого прямолинейного звенауменьшенным образующим элементом. В результате полуКохНильсчим кривую второго поколения (n = 2), состоящую из фонФа́биан Хе́льге (vonN = 42 = 16 звеньев. Каждое звено имеет длину δ = 3–2 = 1/9. Koch Niels Fabian Helge,—шведскийДлина кривой второго поколения равна L(1/9) = (4/3)2 = 16/9.
1870–1924)математик, автор основополагающихработ поЗаменяя все звенья предыдущего поколения кривой уменьшенным образующим элементом (треугольником без нижней теории чисел.стороны) получаем новое поколение кривой. Кривые длятрех поколений представлены на рис. П.1. Кривая n-ного поколения при любомконечном n называется предфракталом.Получим выражение для величины размерности D. Длина предфрактала зависит от номера поколения и для n-го поколения определяется формулойL(δ ) = (4 / 3)n .Длина каждого звена составляет δ = 3–n.
Отсюда число поколений n можнопредставить в видеn = −ln δ /ln3.ЛЕКЦИЯ 10228ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ229Длина предфрактала запишется в видеL(δ ) = (4 / 3)n = exp(−ln δ (ln 4 − ln 3)ln 4) = exp(ln δ (1 −)).ln 3ln 3(П.2)Рис. П. 2. Построение треугольной салфетки Серпинского. Начальный элемент — треугольник со всеми внутренними точками. Образующий элемент исключает из него центральный треугольник. На рисунке показаны пять поколений предфракталов.
Фрактальное множество получается в пределе при бесконечно большом числе поколений и имеетфрактальную размерность D = ln3/ln2 = 1.58…Рис. П. 1. Кривая Коха. Первые четыре шага построения.Сравнивая формулу (П.2) с формулой (П.1), получим выражение для фрактальной размерности кривой Коха:D = ln 4/ln 3 ~ 1.2628.На каждой стадии построения предфракталы Коха могутбыть растянуты в линию, поэтому топологическая размерностьтриадной кривой Коха Dτ = 1. Таким образом, кривая Коха —фрактальное множество с фрактальной размерностьюD = ln 4/ln 3.Серпи́нскийВа́цлавФранциск(SierpińskiWacławFranciszek,1882–1969) —польскийматематик. Основныетруды посвящены теории множеств, теориичисел, теории функций,топологии.Треугольник СерпинскогоСходным образом строятся фрактальные салфетка и коверСерпинского, изображенные на рис.
П2, П3.Рис. П. 3. Построение ковра Серпинского. Начальный элемент — черный квадрат состороной, равной 1. Из него вырезается белый квадрат со стороной, равной 1/3. Далее изкаждого черного квадрата вырезается снова белый квадрат, со стороной, равной 1/3 стороны черного квадрата. На рисунке показаны четыре поколения предфракталов. Размерность подобия D = ln8/ln3 = 1.89…ЛЕКЦИЯ 10230ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ231i = 1,…, N — номер стержня. При этом общая масса в ходе обработки сохраняется, поэтомуКанторово множествоКанторово множество названо в честь великого математика Георга Кантора,открывшего его в 1883 году.
Построение кривой Коха можно рассматривать какпроцесс добавления к отрезку все более мелких деталей. Построение канторовамножества сводится к выбрасыванию из первоначального отрезка все более мелких отрезков (рис. П4).N∑μi =1i= 1.Мандельброт сравнивает этот процесс со свертыванием молока, когда первоначально равномерное распределение массы в результате разбивается на множество мелких областей с высокой плотностью.
На рис. П.5 изображен вариант триадного канторова стержня.Рис. П. 4. Канторово множество.Построение начинается с отрезка длины 1, который делится на 3 равные части. Затем средняя часть изымается. Число отрезков станет 2, а их полная длинауменьшится до 2/3. Затем процесс повторяется на каждом из оставшихся отрезков. На каждом этапе отбрасывание средней трети удваиваетчисло отрезков и уменьшает общую длину на одну треть.В пределе полная длина канторова множества стремится к нулю, а его фрактальная размерность, которую можно вычислитьпо аналогии с формулой (П.2), составитD = ln2/ln3 ~ 0.63092.Ка́нтор Гео́рг (CantorGeorg Ferdinand LudwigPhilipp, 1845-1918) —великий немецкий математик, родившийся вРоссии. Создатель теории множеств, ставшейкраеугольным камнемв математике.
Канторввел понятие взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств, далопределениябесконечногоивполнеупорядоченного множеств и доказал, чтодействительных чисел«больше», чем натуральных.Рис. П. 5. Триадный канторов стержень. Высота стержня в n-м поколении пропорциональна его плотности.(П.3)Реальные системы, имеющие фрактальную структуру,имеют конечную массу. Пример распределения массы в фрактальном множестве дает канторов стержень. Будем считатьпервоначальным элементом не единичный отрезок, а стерженьиз какого-либо материала с плотностью ρ0.
Исходный стержень имеет длину l0 = 1 и, следовательно, массу μ0 = 1.Разрезаем стержень на две половины равной массыμ1 = μ2 = 1/2, которые затем в результате ковки укорачивают додлины l1 = 1/3 (одинаковой для обеих половин). В результатетакой обработки плотность возрастает до ρ0 = μ1/l1 = 3/2. Повторяя процедуру, получим в n-м поколении N = 2n стержней,каждый из которых имеет длину li = 3–n и массу μi = 2–n приРис. П. 6.
Масса канторова стержня как функция координаты. Объект называется чертовой лестницей (devil’s staircase).232ЛЕКЦИЯ 10Литература к лекции 101. Lorenz E. N. Deterministic non-periodic flow. J. Atmos. Sci. 20: 131–141, 1963.2. Rossler O. E. An equation for continuous chaos.
Phys. Lett. A 57(5): 397–398,1976.3. von Koch H. Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certainesquestions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30: 145–174, 1906.4. Алексеев В. В. Динамические модели водных биоценозов.
Человек и биосфера1: 1–137, 1976.5. Алексеев В. В., Крышев И. И., Сазыкина Т. Г. Физическое и математическоемоделирование экосистем. СПб, Гидрометеоиздат, 1992.6. Алексеев В. В., Лоскутов А. Ю. О возможности управления системой состранным аттрактором. В кн.: Израэль Ю. А. (Ред.) Проблемы экологическогомониторинга и моделирования экосистем, т. 8.
Л., Гидрометеоиздат, 1985.7. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М., Наука, 1990.8. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов, Издательство Саратовского государственного университета, 1999.9. Апонина Е. А., Апонин Ю.
М., Базыкин А. Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник–две жертвы. В кн.: Израэль Ю. А. (Ред.)Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем, т. 5,с. 163–180. Л., Гидрометеоиздат, 1982.10. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций.М, Наука, 1985.11. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2003.12. Базыкин А. Д., Березовская Ф. С., Буриев Т.
И. Динамика системы «хищникжертва» с учетом эффектов насыщения и внутривидовой конкуренции. В кн.:Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике, с. 6–33. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1980.13. Базыкин А. Д., Хибник А. И., Апонина Е. А., Нейфельд А. А. Модель эволюционного возникновения диссипативной структуры в экологической системе. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике, с. 33–47. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1980.14.
Буриев Т. И., Базыкин А. Д. Динамика системы «хищникvжертва» с учетомэффектов насыщения и внутривидовой конкуренции. В кн.: Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, с. 31–38. Самарканд, СамГУ,1980.15. Кольцова Э. М., Гордеев Л. С. Методы синергетики в химии и химическойтехнологии. М., Химия, 1999.16. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М., Эдиториал УРСС, 2000.ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС.
МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ23317. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.–Ижевск, ИКИ–РХД,2002.18. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М., Мир, 1993.19. Пуанкаре А. О науке. М., Наука, 1990.20. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических продукционных процессов.
М., Издательство МГУ, 1993.21. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов: Строгие результаты. М.–Ижевск,ИКИ–РХД, 2001.22. Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование: Дифференциальные модели. Стохастические и детерминистические модели. М.,Эдиториал УРСС, 2001.23. Феддер Е. Фракталы. М., Мир, 1991.24. Шредер М. Фракталы. Хаос.
Степенные законы: Миниатюры из бесконечногорая. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2005.25. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988.Микробные популяции как объект моделированияи управления. Непрерывная культура микроорганизмов. Модель Моно. Микроэволюционныепроцессы в микробных популяциях. Возрастныераспределения. Двухвозрастная модель.Непрерывные возрастные распределения.Микробиология является одной из областей современной биологии, где математическое моделирование стало действенным средством научного исследования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
