Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Наиболее распространены три типа краевых условий:1. На краю трубки задана концентрация, которая может определяться, например, концентрацией вещества в резервуаре, с которым трубка находитсяв контакте:В случае одномерного реактора:∂Ci∂ 2C= fi (C1, C2, ..., Cn) + Di 2 i .∂t∂r289∂C(0, t ).∂rТогда величина ν в формуле (13.19) — известная функция, которая выражается через заданный поток I по формулеν (t ) = −I (0, t ).D(13.20)В частности, в случае непроницаемости торца трубки, когда диффузионныйпоток на границе равен нулю,∂C(0, t ) = 0.∂r(13.21)290ЛЕКЦИЯ 13РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ3.
На краю трубки задано линейное соотношение между производнойи функцией:4. Meinhardt H. The algorithmic beauty of sea shells. Berlin, Springer, 1995.5. Murray J. D. Mathematical biology. Berlin, Springer, 1993.6. Murray J. D. Mathematical biology: II. Spatial models and biomedical applications.N.Y., Springer, 2003.7. Rovinsky A. B.
and Zhabotinsky A. M. Mechanism and mathematical model of theoscillating bromate-ferroin-bromomalonic acid reaction. J. Phys. Chem 88(25):6081–6084, 1984.8. Turing A. M. The chemical basis of the morphogenesis. Phil. Trans. R. Soc. London B 237: 37–71, 1952.9. Wiener N. and Rosenblueth A. The mathematical formulation of the problem ofconduction of impulses in a network of connected excitable elements, specificallyin cardiac muscle. Arch.
Inst. Cardiol. Mexico 16: 205–265, 1946.10. Белоусов Б. П. Периодически действующая реакция и ее механизмы. В:Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 год, с. 145-147. М.,Медгиз, 1959. Перепечано в: Греховая М. Т. (Ред.) Автоволновые процессы всистемах с диффузией, с. 176–189. Горький, ИПФ АН СССР, 1981.11. Ванаг В. К. Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах.
М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2008.12. Васильев В. А. Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. М.,Наука, 1987.13. Винер Н., Розенблют А. Проведение импульсов в сердечной мышце: Математическая формулировка проблемы проведения импульсов в сети связанныхвозбудимых элементов, в частности в сердечной мышце. Кибернетическийсборник ИЛ 3: 7–86, 1961.14.
Иваницкий Г. Р., Кринский В. И., Сельков Е. Е. Математическая биофизикаклетки. М., Наука, 1978.15. Кринский В. И. Нестационарная скорость распространения импульса, латентность и их связь с фибрилляцией. Биофизика 16: 87–94, 1971.16. Кринский В. И., Фомин С. В., Холопов А. В. О критической массе при фибрилляции. Биофизика 12(5): 908–914, 1967.17. Мазуров М. Е. Идентификация математических моделей нелинейных динамических систем. В: Математика. Компьютер. Образование. Сборник тезисов, вып. 16. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2009.18.
Мюррей Дж. Математическая биология: Том I: Введение. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2009.19. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическаябиофизика. М., Наука, 1984.20. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике: Введение в теоретическую биофизику. М.–Ижевск,ИКИ–РХД, 2004.21. Рубин А. Б. Биофизика: Т. 1, 2. М., Изд.
Высшая школа, 1987; Изд. Книжныйдом Университет, 1999; Изд. Академия, 2004.22. Филд Р., Бургер М. (Ред.) Колебания и бегущие волны в химических системах. М., Мир, 1988.∂C(0, t ) = −λ [C (0, t ) − θ (t ) ].∂r(13.22)Это граничное условие соответствует случаю, когда на границе имеется диффузионный поток между трубкой и резервуаром, концентрация вещества в котором известна. Пользуясь двумя выражениями для диффузионного потока, проте∂Cкающего через сечение r = 0, I = h (C – θ) и I = − D, получаем математиче∂rhскую формулировку краевого условия в виде (13.22), где λ = , θ — заданнаяDфункция.В случае если функции Ci(х, t) непрерывны в изучаемой области вместе сосвоими вторыми производными, система уравнений типа (13.14, 13.15) вместео начальными (13.16) и граничным и условиями одного из типов (13.17, 13.19)или (13.22) имеет единственное решение.Возможны типы задач, в которых краевые или начальные условия не следуетучитывать.
Рассмотрим процесс диффузии в очень большом объеме. В течениенебольшого промежутка времени влияние потока веществ, заданного на границе,в центральной части рассматриваемого объема оказывается весьма слабо, и концентрация вещества здесь определяется, помимо химических реакций, в основном начальным распределением вещества. При рассмотрении поведения переменных на малых временах в таких задачах считают, что реакция происходитв неограниченном объеме, и ищут решение системы уравнений типа (13.14) призаданных начальных условиях, а граничных условий ставить не нужно.В определенных случаях пренебрегают точным учетом начальных условий.Действительно, влияние начальных условий ослабевает с течением времени. Приэтом, если концентрация веществ поддерживается постоянной на границе, тов момент времени, достаточно удаленный от начального, концентрация веществопределяется лишь граничными условиями.
В этом случае можно считать, чтоопыт продолжается бесконечно долго, и начальные условия тем самым отпадают.Литература к лекции 131. Field R. J. and Burger M. (Eds.) Oscillations and travelling waves in chemical systems. N.Y., Wiley-Interscience, 1985.2. Field R. J., Körös E., Noyes R. M. Oscillations in chemical systems: II. Thoroughanalysis of temporal oscillations in the bromate-cerium-malonic acid system.
J. Am.Che. Soc. 94: 8649–8664, 1972.3. Field R. J. and Noyes R. M. Oscillations in chemical systems: IV. Limit cycle behavior in a model of a real chemical reaction. J. Chem. Phys. 60, 1877–1884, 1974.291РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХРешение однородного уравнения диффузиис нулевыми граничными условиями. Методразделения переменных. Собственные значенияи собственные функции задачи Штурма–Лиувилля.Решение неоднородного уравнения с нулевыминачальными условиями. Решение общей задачи.Линейный анализ устойчивости гомогенныхстационарных решений одного уравнения типа«реакция–диффузия».Решение краевых задач для системы нелинейных уравнений типа «реакция–диффузия» при произвольных функциях правых частей уравнений может бытьвыполнено при помощи компьютера.
Методы аналитического решения разработаны только для линейных уравнений, не содержащих нелинейных функций относительно концентраций C, видаCt = DCrr + f (r, t)(14.1)с соответствующими начальными и граничными условиями. Методы решениятаких задач подробно изложены в учебниках и монографиях,посвященных уравнениям математической физики [1].Ниже мы подробно рассмотрим решение линейнойкраевой задачи.
В пространстве и времени это решение можетбыть представлено в виде ряда Фурье — бесконечной суммыгармонических функций пространственной координаты с убывающими со временем амплитудами. Отсюда становитсяпонятным, почему в нелинейных системах с диффузией при Сама́рский Александр(1919–наличии малых флуктуаций могут возникнуть автоволновые Андреевич2008) — российскийпроцессы и периодические по пространству постоянные во советский физик, маСпециалиствремени структуры (диссипативные структуры). Нелинейная тематик.в области вычислисистема оказывается своеобразным «фильтром», выделяющим тельной математики,физинекоторые из членов гармонического ряда (разложения по математическойки, теории математическогомоделировасинусам и косинусам) и поддерживающим их существование,ния. Создатель теориив то время как более высокие гармоники затухают во времени. операторно-разностныхРассмотрим общий путь решения одномерной краевой за- схем, общей теорииустойчивости разностдачи для уравнения (14.2) с начальным условиемных схем.
С 1948 годаC (r, 0) = ϕ (r)(14.2)и граничными условиями первого рода на обеих границах узкой трубки длины l:C (0, t) = μ1(t), C (l, t) = μ2(t).(14.3)Задачу решают в три этапа. Сначала ищут решение однородного уравненияCt = DCrr(14.4)с начальным условием (14.2) и нулевыми краевыми условиями:C (0, t) = 0, C (l, t) = 0.(14.5)совместно с академиком А. Н.
Тихоновым(см. лекцию 6) разрабатывалчисленныеметоды и вел первыев СССР прямые расчеты мощности взрываатомной, а позже —водороднойбомбы.С 60-х годов вместес учениками занималсяпроблемами лазерноготермоядерного синтеза, магнитной и радиационной газодинамики,создания мощных лазеров, аэродинамики,атомнойэнергетики,физики плазмы и другими.296ЛЕКЦИЯ 14РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ.
УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХЗатем ищут решение неоднородного уравнения (14.1) с нулевыми граничнымиусловиями (14.5). Наконец, последний этап: решение общей краевой задачи —уравнения (14.1) с начальным условием (14.2) и граничными условиями (14.3).При λ ≤ 0 задача не имеет нетривиальных решений. При λ > 0 общее решение(14.10) содержит мнимые показатели и поэтому может быть записано в видеПусть в системе имеет место только один процесс — диффузия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
