Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Решим основную вспомогательную задачу: найдем решение уравнения (14.4), не равноетождественно нулю и удовлетворяющее нулевым краевым условиям (14.5). Приэтом воспользуемся методом разделения переменных, представляя решениев видеC(r, t) = R(r)T(t).(14.6)Здесь R(r) — функция только пространственной переменной r, а T(t) — функциятолько переменной времени t. Подставим решение в форме (14.6) в уравнение(14.4)T ′R = DTR′′и произведем деление обеих частей равенства на DRT.
Получаем:1 T ′ R′′== −λ ,DTRгде λ = const, т. к. левая часть равенства зависит только от t, а правая — толькоот r. Отсюда получим два самостоятельных уравнения для переменных r и t:R′′(r) + λR(r) = 0,(14.7)T ′(t) + DλT(t) = 0.(14.8)Для определения функции R(r) мы получили обыкновенное дифференциальноеуравнение (14.7), причем вследствие граничных условий (14.5) функция R(r)должна удовлетворять дополнительным условиямR(0) = R(l) = 0,(14.9)так как в противном случае мы имели быT(t) = 0 и C (r, t) = 0,в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T(t) никаких дополнительных условий нет.Таким образом, в связи с нахождением функции R(r) нам необходимо найтизначения λ, называемые собственными значениями, при которых существует нетривиальное решение задачи (14.7), (14.9), а также найти сами эти решения.
Такаязадача называется задачей о собственных значениях или задачей Штурма–Лиувилля.Общее решение уравнения (14.7) имеет вид−λr(14.11)Краевые условия (14.9) даютРешение однородного уравненияR(r ) = C1eR(r ) = D1 cos λ r + D2 sin λ r.297+ C2 e −−λr.(14.10)R(0) = D1 = 0,R(l ) = D 2 sin λ l = 0.Если R(r) не равно тождественно нулю, то D2 ≠ 0, поэтомуπn,sin λ l = 0 , или λ =lгде n — любое целое число. Величинуλn =πnв литературе, посвященнойlволновым процессам, обычно называют волновым числом и обозначают буквой k.Таким образом, нетривиальные решения задачи возможны лишь при значениях2⎛π n⎞(14.12)⎟.⎝ l ⎠Этим собственным значениям соответствуют собственные функции:nπRn (r ) = Dn sinr.(14.13)lВ дальнейшем произвольный множитель Dn будем считать равным единице.
Видсобственных функций R(r) для краевой задачи о диффузии (14.4), (14.5) в одномерном реакторе длины l при различных значениях n изображен на риc. 14.1.Рассмотрим теперь уравнение (14.8)λ n= ⎜T′(t) + DλT(t) = 0и найдем его решения, соответствующие собственным значениям λn (14.12). Этолинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, его решения для каждого n представляют собой затухающие со временем экспоненты (см. лекцию 2):Tn (t ) = An e − Dλn t .(14.14)Здесь An — не определенные пока коэффициенты.Возвращаясь к основной вспомогательной задаче (14.4), (14.5), видим, что частными решениями уравнения (14.4), удовлетворяющими нулевым краевым условиям, являются функции:πn(14.15)Cn (r , t ) = Rn (r ) ⋅ Tn (t ) = An e − Dλn t sinr.lЭти частные решения (14.15) представляют собой затухающие со временем синусоидальные распределения концентрации C.
Легко видеть, что выражение, стояπnщее под знаком sin, представляют собой произведение волнового числа kn =l298ЛЕКЦИЯ 14и координаты r. Таким образом, kn =πnlявляется «частотой колебания» пере-2πявляется «пеkn2lриодом» колебаний концентрации С по пространству r. Иначе говоря, Λ n =nесть длина волны синусоиды, представляющей собой собственное решение Сn(рис. 14.1). Чем больше номер гармоники n, тем меньше период синусоиды в пространстве и тем больше коэффициент затухания этой синусоиды во времени (заменной С в пространстве или, что то же самое, величина Λ n =2счет множителя e⎛πn⎞−⎜⎟ Dt⎝ l ⎠).РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХ299Зависимость решений от начальных условийВернемся к задаче с ненулевыми начальными условиями (14.2).
Представимрешение в виде ряда:2∞C (r , t ) = ∑ An e⎛π n⎞−⎜⎟ Dt⎝ l ⎠sinπnln =1(14.16)r.Функция C(r, t) удовлетворяет нулевым граничным условиям (14.5), так как имудовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий (14.2),получим выражение для An:∞πnn =1lϕ (r ) = C (r , 0) = ∑ An sinr.(14.17)Таким образом, An представляют собой коэффициенты разложения Фурье(см. курс математического анализа) функции ϕ (r) по синусам в интервале (0, l):An = ϕ n =2πnϕ (ξ )sinξ dξ .l ∫0ll(14.18)Здесь ξ — переменная интегрирования.Формулу (14.16) можно записать в виде⎛πn⎞l ⎡2 ∞ −⎜ ⎟C (r , t ) = ∫ ⎢ ∑ e ⎝ l ⎠0 ⎢ l n =1⎣2Dtsinπnlr ⋅ sinπn ⎤ξ ⎥ ϕ (ξ )d ξ .l⎥⎦(14.19)Изменение порядков суммирования и интегрирования законно, поскольку рядысходятся равномерно по ξ при t > 0.Обозначим:2⎛π n ⎞⎟ Dtl ⎠2 ∞ −⎜G (r , ξ , t ) = ∑ e ⎝l n =1sinπnlr ⋅ sinπnlξ.(14.20)Тогда C(r, t) можно представить через G(r, ξ, t) в видеlC (r , t ) = ∫ G (r , t , ξ )ϕ (ξ )d ξ .(14.21)0Рис.
14.1. Собственные функции Rn(r) для краевой линейной задачи о диффузии в одномерной трубке длины l с нулевыми краевыми условиями.Общее решение представляет собой суперпозицию частных решений.G(r, ξ, t) называется функцией мгновенного источника и характеризует распределение вещества в трубке 0 ≤ r ≤ l в момент времени t, если в начальный моментвремени концентрация вещества равна нулю, и в этот момент в точке r = ξ мгновенно выделяется некоторое количество вещества, а концентрация веществана концах трубки все время поддерживается нулевой. Как мы увидим в дальнейшем, выражение для функции источника удобно использовать при решении неоднородного уравнения диффузии.300ЛЕКЦИЯ 14РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХИтак, мы получили выражения (14.19), (14.21) для решения однородногоуравнения с заданными начальными условиями и нулевыми краевыми условиями.При граничных условиях непроницаемости концов одномерного реактора на решения уравнения (14.7) накладываются краевые условия:функциями являются периодические гармонические функции пространственнойкоординаты:∂C∂C(0, t ) =(l , t ) = 0.∂r∂r(14.22)∂R∂R(0) = 0,(l ) = 0.∂r∂rПродифференцировав выражение (14.11) по r, получим:sinπnlr , cosс начальным условием C(0, r) = g(r) имеет видC (r , t ) =Краевые условия (14.22) дают:∂R= D2 λ = 0 , D2 = 0,∂ r r =0∂R= − D1 λ sin λ l = 0.∂ r r =lОтсюда, как и в случае нулевых краевых условий (14.5), получаются те же велиπnчины собственных значенийλn =, но собственными функциями для одноlмерного реактора с непроницаемыми концами являются функцииlr.(14.23)Решение краевой задачи (14.4), (14.22) поэтому будет иметь видlC (r , t ) = ∫0⎡ 2 ∞ −⎛⎜ π n ⎞⎟⎢ ∑e ⎝ l ⎠⎢⎣ l n =12Dtcosπnlr ⋅ cosπn ⎤ξ ⎥ ϕ (ξ )d ξ ,l⎥⎦(14.24)а функция источника, соответственно, может быть представлена виде2⎛π n⎞⎟ Dtl ⎠2 ∞ −⎜G (r , ξ , t ) = ∑ e ⎝l n =1cosπnlr ⋅ cosπnlr , n = 1, 2, …, ∞.Ct = DCrr∂R= − D1 λ sin λ r + D2 λ cos λ r.∂rπnlЕсли реакция происходит в безграничной трубке, решение однородного уравненияКраевые условия (4.22) дают:Rn = Dn cosπn301ξ.(14.25)Таким образом, для краевых задач как первого рода (на границах заданы концентрации), так и второго рода (на границах заданы потоки) собственными1π Dt∞∫ g (ξ )e−( x −ξ )Dtdξ .(14.26)−∞Из этой формулы в частности следует, что если начальная концентрация былаположительна только на конечном отрезке 0 ≤ r ≤ l, то при любом t > 0 концентрация в момент t будет положительна всюду на числовой прямой: –∞ < r < ∞.Таким образом, с помощью диффузии большие концентрации распространяются сравнительно медленно, в то время как малые концентрации распространяются за малое время на большие расстояния.
Следует, однако, иметь в виду, чтоуравнение (14.26) на очень малых интервалах времени плохо описывает процессдиффузии.Если рассматривается диффузия на конечном отрезке [0, l] с условием непроницаемости на концах, то любая начальная концентрация с ростом t стремитсяк равномерному распределению по отрезку.Решение неоднородного уравнения диффузии с нулевымначальным условием и нулевыми краевыми условиямиПрисутствие в правой части уравнения (14.1) члена f (r, t) означает наличиеисточника (или стока) вещества в данном месте через стенки трубки.
Например,при описании процессов диффузии ионов вдоль мембраны возможен трансмембранный перенос ионов (см. модель пространственно-временных распределенийпротонов вдоль мембраны водорослей в лекции 21).Для решения неоднородного уравнения диффузииCt = DCrr + f (r, t)с нулевым начальным условиемC (r, 0) = 0(14.1)302ЛЕКЦИЯ 14РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ГОМОГЕННЫХи нулевыми краевыми условиями303Общая краевая задачаC (0, t) = 0, C(l, t) = 0решение C (r, t) также ищут в виде разложения в ряд Фурье по sin∞πnn =1lC (r , t ) = ∑ Cn (t )sinπnlРешение общей краевой задачи — уравнения (14.1) с начальными (14.2)и краевыми (14.3) условиями — сводится к решению задачи с нулевыми краевыми условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
