Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Стоячие волны.4. Синхронные автоколебания во всем пространстве. Много лет считали, чтосинхронизация происходит с частотой того элемента пространства, который обладает наименьшим периодом колебаний. Однако исследования последних лет(Мазуров, 2008) показали, что для «захвата» всего пространства число элементовс малым периодом колебаний должно превосходить некоторую пороговую величину. В противном случае синхронные колебания будут происходить с периодом,присущим большинству элементов.5.
Квазистохастичекие волны, которые могут быть связаны с динамическимхаосом в локальной системе, но могут возникать и в распределенной системес устойчивыми локальными элементами.6. Стационарные неоднородные распределения переменных в пространстве —диссипативные структуры.Все эти режимы мы рассмотрим в следующих лекциях.285Уравнение диффузииСуществование процессов переноса вещества и энергии является необходимым условием того, что система функционирует в пространстве как единое целое. Перемещение молекул вещества с различной скоростью под действиемслучайных сил — диффузия — имеет место в любом веществе, будь то газ, жидкость или твердое вещество.
Большаячасть объема живой клетки представляет собой жидкую среду, в которой диффузия играет существенную роль. Мембраны клеток, в основном состоящие из липидов, также допускают активную диффузию молекул, хотя и с гораздо меньшейскоростью. Перенос ионов и макромолекул через мембранупроисходит посредством специальных механизмов: переносРубин Андрей Боричиков, каналов и проч. (Рубин, 2002).сович (род.
1937) —биофизик,Если вещество имеет сложный состав и включает не- российскийчлен-корреспондентсколько компонентов, каждый из компонентов перемещается РАН, зав. кафедройбиологичев направлении своих меньших концентраций, что приводит биофизикиского факультета МГУ,авторфундаментальк выравниванию концентраций каждого из веществ.
Неодноного учебника «Биородная смесь веществ в замкнутом объеме, предоставленная физика» [21].самой себе, станет со временем благодаря диффузии однородной (вещества перемешаются), и концентрация каждого из веществ во всемобъеме станет одинаковой. В такой системе установится так называемое однородное (или гомогенное) стационарное состояние. Время установления стационарного состояния, естественно, определяется свойствами вещества, в основном, подвижностью его молекул.В активных кинетических средах, которыми являются биологические системы, кроме процессов диффузии происходят также взаимодействия между компонентами, описываемые, как правило, нелинейными функциями.
Эти нелинейныепроцессы могут приводить к установлению различных концентраций взаимодействующих компонентов в разных точках пространства, препятствуя, таким образом, вызванному диффузией выравниванию концентраций. Противоборство этихдвух процессов — взаимодействия компонентов в каждой отдельной точке пространства и диффузии — определяет поведение распределенной системы.Рассмотрение процессов, происходящих в распределенной системе, мы начнем с простейшего случая — с изучения процесса диффузии в одномерном реакторе (трубке, заполненной раствором некоторого вещества), предполагая, что вовсякий момент времени концентрация раствора по сечению трубки одинакова.Тогда процесс диффузии может быть описан функцией C(r, t), представляющейконцентрацию вещества в сечении с координатой r в момент времени t.Опыт показывает, что диффузионный поток какого-либо компонента (т. е.
масса диффундирующего компонента, проходящая в единицу времени через единицу286РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫЛЕКЦИЯ 13площади, перпендикулярной к направлению диффузии) пропорционален градиенту концентрации этого компонента, взятому с обратным знаком (закон Фика):∂С.(13.2)∂rЗдесь I — диффузионный поток интересующего нас компонента в направлении оси r. Знак минус в правой части (13.2)Фик Адольф Ю́джин показывает, что диффузионный поток направлен в сторону(Fick Adolf Eugen, 1829- убывания концентрации.
Коэффициент D в уравнении (13.2)1901) — немецкий физик и физиолог, сфор- называется коэффициентом диффузии. Он численно равенмулировал закон диф- диффузионному потоку при градиенте концентраций, равномфузии,изобретатель1, и зависит от свойств диффундирующего вещества и свойствконтактных линз.остальных компонентов, составляющих смесь. При не слишком больших концентрациях веществ D мало зависит от концентрации самоговещества и определяется степенью подвижности молекул.Выведем уравнение, описывающее пространственно-временную эволюциюC(r, t) в случае одномерной трубки (рис. 13.1).
Пусть поперечное сечение рассматриваемой нами трубки — S. Выделим элементарный объем ΔVr c координатами границ r и r + Δr, тогда ΔVr = S ⋅ Δr. Не нарушая общности, предположим,что диффузия протекает в направлении оси r.I = −D287Общее изменение массы ΔM в объеме ΔVr составляетΔM = ΔMr – Δ Mr+Δr,⎡ ∂ C (r + Δr , t )∂ C (r , t ) ⎤ΔM = ⎢ D−D⎥ S Δt.∂r∂r ⎦⎣(13.5)Запишем уравнение для изменения концентрации:ΔM ΔMΔC ===ΔV S ΔrD∂ C (r + Δr , t )∂ C (r , t )−D∂r∂rΔt.Δr(13.6)Перейдем к пределу при Δr → 0:∂ ⎛ ∂C (r , t ) ⎞⎜D⎟ Δt.∂r ⎝∂r ⎠ΔC =(13.7)Разделив левую и правую часть (13.7) на Δt и переходя к пределу при Δt → 0,получим уравнение диффузии в дифференциальной форме:∂C (r , t ) ∂ ⎛ ∂C (r , t ) ⎞= ⎜D⎟.∂t∂r ⎝∂r ⎠(13.8)В случае, когда коэффициент диффузии D в среде постоянен, имеем:∂C∂ 2C=D 2 ,∂t∂r(13.9)или, в другой форме записи Ct = DCrr.В случае, когда диффузия происходит в трехмерном пространстве, причемимеет место изотропная диффузия, т.
е. перемещение частиц вещества равновероятно по всем направлениям, уравнение (13.9) примет вид∂ C (r, t )= DΔC (r, t ).∂tРис. 13.1. К выводу уравнения диффузии.Масса ΔMr вещества, втекающего за время от t до t + Δt в рассматриваемыйобъем через границу r, равна произведению диффузионного потока на величинусечения S и длину промежутка времени Δt и, согласно закону Фика, равнаΔM r = − D∂ C (r , t )S Δt.∂r(13.3)Через другую границу с координатой r + Δr из выделенного объема вытекаетвещество, масса которого ΔMr+Δr:ΔM r +Δr = − D∂ C (r + Δr , t )S Δt .∂r(13.4)(13.10)Здесь r — вектор r(x, y, z); Δ — оператор Лапласа:∂2∂2∂2++.∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Если в среде диффундируют n веществ с концентрациямиСi (i = 1, …, n), процесс описывается системой n уравнений:∂ Ci (r, t )= Di ΔCi (r , t ) ,∂ti = 1, 2, ..., n.(13.11)Здесь Di — коэффициент диффузии i-го вещества. Вообщеговоря, коэффициент диффузии определяется не только свойствами самого диффундирующего вещества, но и свойствамиЛапла́с Пьер-Симо́н(Laplace Pierre-Simon,1749-1827) — французский математик и астроном; автор основополагающихработв областинебесноймеханики, дифференциальных уравнений,один из создателейтеории вероятностей.288ЛЕКЦИЯ 13РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫостальных компонентов системы.
Тогда вместо используемого нами коэффициента самодиффузии Di следует пользоваться коэффициентом взаимной диффузии(кросс-диффузии).Уравнения (13.9)–(13.11) описывают изменение во времени и пространствеконцентраций веществ, когда в системе происходит единственный процесс —диффузия. Однако специфика химических и биологических систем определяется тем, что кроме диффузии в них протекают и другие процессы. Это приводитк возникновению новых членов в правых частях уравнений типа (13.9)–(13.11),описывающих изменения концентраций Ci во времени. Например, в случае одного вещества в одномерном реакторе, кроме диффузии возможно наличиев некоторых местах трубки источников или стоков этого вещества. Их учетпридаст уравнению (13.9) вид∂C∂ 2C= D 2 + F (r , t ).∂t∂r(13.12)Здесь F — функция источника.В многокомпонентных системах возможны разнообразные взаимопревращения компонентов, например химические превращения веществ в ходе реакций.Вид функциональной зависимости скорости химической реакции определяетсямеханизмом реакции, в общем случае функция fi в уравнении (13.1) зависит как отконцентраций реагирующих веществ, так и явно от пространственной координаты r и времени t.Предположим, что вид функции fi не зависит явно от времени и координатыпространства:fi = fi (C1, C2, ..., Cn).(13.13)С учетом химических превращений, происходящих в каждой точке системысогласно функциям (13.13), уравнения (13.11) следует переписать в виде∂Ci= fi (C1 , C2 ,...
Cn ) + Di ΔCi (r , t ).∂t(13.14)Начальные и граничные (краевые) условияКроме начальных условий, т. е. значений функций Сi (t, r) в некоторый начальный момент времени t = t0, следует задать также так называемые граничные(или краевые) условия, т. е. условия на границе области, в которой развертываетсяизучаемый процесс.Начальные условия задаются в виде функции зависимости концентрации отпространственной координаты в начальный момент времени t0:Сi (t0, r) = ϕi (r).С (0, t) = μ (t).Уравнения типа (13.1, 13.14, 13.15) называются автономными уравнениямитипа «реакция–диффузия».Дифференциальные уравнения с обыкновенными, а тем более с частнымипроизводными, имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений.
Поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнениям добавить некоторые дополнительные условия. Для обыкновенных дифференциальныхуравнений необходимо задать начальные значения переменных в момент времениt = t0. В случае распределенных систем этого недостаточно.(13.17)Здесь μ (t) — концентрация вещества в резервуаре в момент времени t.В частности, если на границе трубки происходит поглощение вещества, возникает условиеС (0, t) = 0.(13.18)2.
На границе задано значение производной:∂C(0, t ) = ν (t ).∂r(13.19)К этому условию мы приходим, если задана величина диффузионного потока I, протекающего через торцевое сечение трубки:I (0, t ) = D(13.15)(13.16)Граничные (краевые) условия могут быть заданы в различном виде в зависимости от закона изменения концентрации веществ на границе изучаемой области.Рассмотрим основные типы краевых условий на примере одномерного реактора — трубки длиной l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
