В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Сравнить Р()$)(ивс) = 1 — 2»с и Р (! 1 (С) ( с. иоо): 1) Вычислить вторую из этих вероятностей, если а) а = 0,05; о=2, й= 05; б) я=005, а=01, »=025. 2) Предположив, что йо мало, найти приближенное решение неравенства ) с+ яс» ) С и,„о и вероятность Р ((((с) ) ч. в о). 21.
Точки сг, с,..., св аеэависимы и имеют равномерное распределение в круге К единичного радиуса. Пусть случайное множество А состовт ив тех и только тех точек круга, которые находятся блик»е к центру круга, чем к гравице и к любой аэ точек с», ..., св. Найти матемстическое ожидание площади 4 множества А. У к а е а н и е. Пусть К = ((с, Р): я»+ у' ~ 1). Положим Х (щ у) = 1, если (л, у) ш А; и Х (с, у) = О, если (т, у)»и К ~, А. Испольвовать равенство 5= 5Х(с, у) Асов.
к 22. Пусть Мет = аь М5т = а», 0$1 = в»1 > О, Щ = с > О, сот ($„$») = ом. Найти а в (), пРи котоРмх М ($ — сс$, — ())т минимально. 23. Пусть случайная величива $ имеет нормвльное рвспределение с параметрами (а, ос). Оценить по неравенству Чебышева Р (! $ — а ( > 2с). Сравнить с точным аначением этой вероятности. 24. Применен ли вакон больших чисел к последовательности независвмых случайных величин ьм ь», ..., ь», ..., если Р (5» = )/») = Р (5„ = - )Г») = 2УУ Р($» 0) = 1 — — ) ~/Г 25. Применим ли вакои больших чисел к последовательности ВссаВИСИМЫХ СЛУЧВйиЫХ ВЕЛИЧИН сп Ет,..., С»,..., ЕСЛИ ОВИ НОР- мально распределены с Ме» = О, 0$» = с»", с > О, а > 0 = некоторые постояввыег МАтеиАтичеОНОН ОжидАние 124 (гл. в 26. Доказать, что к последовательности $зь $з,..., $з,...
ппн- меним аакон больших чисел, если [ сот ($з, зВ [ ~ С для всех й, Г = =1,2,...исоч($з,5з)- Опри[й — ([ оз, 27. Случайные величины $зь $з,..., $, независимы и распре- делены по закову Пуассона с параметрамв Хз, ззз, . „)зл. Найти: ) р(5,+... +5з=-[$1+... +$.='') б) м($, +'.'.'. + $,[$,+ $,+'.'.'. + $„=.). 28. Случайные величины $з, $з, 5, веаависимы и распределены нормально с параметрами (О, 1). Йайти плотность распределения величины 3) = (ьз + ьззз)~~~ 1 + У к а з а в и е.
Найти условную плотность распределения Ч при условии, что фиксировано $з. 29. Докааать, что 0$ = М (О (ь [ Ч)) + О (М (ь [ Ч)) ЗО. В задаче о случайном блуждании, рассмотренной в 4 4 гл. 4, обозначим т время до поглощения з точках 0 или л. Найти юз = м (т[ $з = й), где $, — координата частицы з момент вре- меви з. У к а з а н и е. Составить уравнение в конечных раавостях для жз 31. Предполагается провести 10 иамеренив зв з,..., *, ве- пазестной величины а. Считая зы..., з,з независимыми нормально распределенными случайными величянамп с Мзз = а, Оаз = 0,01, подобрать Ь так, чтобы р (~" +*'+"'+зю — ~ ~ А) = О,дд.
32. случайные величины $1 и $ независимы и распределены нормально с параметрами (О, 1). Являются лн везааисвмыми вели- чины Чз = сз + зз Чз = зз ззз 33. Случайная величина $ распределена нормально с парамет- рамв (О, 1). Положим з) = 5, если [ 5 [ ~1, и Ч = — $, если [5 [>1. а) Найти закон распределеивя Ч. 6) Является ли величина д+ з) нормально раслределеннойг 34. Найти среднее арифметическое реализации 50 равномерно аспределенных случайных величин, полученной з задаче 24 гл.
5. развить с математическим ожвданвем случайной величины, раз- номерно распределенной ва отрезке (О, 1). 35. Получить 10 реализаций случайного блуждания частицы по целым точкам отрезка [О, л[ (см. 4 4 гл. 4). Найти частоты погло- щения частицы е точках 0 в я. Сравнить с вероятвостями, вайдев- нымв в 1 4 гл. 4. Найти среднее арифметическое времен блуждания до поглощения.
Сравнить с М (т[ $з = й), найденным в задаче 30. Положить /з = 1, в = 10. Рассмотреть случаи: а) а = 1/6, д = 5/6; б) р=д=1/2. 36. Для студентов группы найти число месяцев, на которые не приходится ни одного дня рождения. Найти математическое ожида- ние и дисперсию числа таких месяцев. (Воспользоваться реаульта- том задачи 14,) ГЛАВА 7 Предельные теоремы $1. Проиаводящяе функции Воли случайная величина $ принимает только целые неотрицательные значения *), т. е.
(1.1) то производящей функцией распределения $ называется функция р~(х) =Мхе=- ~ хЧ (Е=й)ь н=о (1.2) где х ( ! х ~ ~( 1) — действительная или комплексная переменная. Т е о р е м а 1.1. Пусть ~рь (х) — проиеводящая функция, определенная формулой (1.2). Товда: 1'. ~у1 (х) определена в каждой точке отреека ( — 1, 1). 2'. ~Р1 (1) = 1. 3'. Соответствие, устанавливаемое формулой (1.2), между множеством проиеводящих функций и1 (х) и мно- ° ) Такие случайные величины называют обычно целочвслевными.
Практическое значение предельных теорем состоит в том, что они позволяют аппроксимировать распределения допредельных величин предельными распределениями, аналитическая вались которых часто оказывается проще выражений для допредельных функций распределения. В главе 4 мы прямым вычислением получили предельную теорему Пуассона и теоремы Муавра — Лапласа, которые испольаовались для аппроксимации распределения числа успехов в схеме Бернулли. В данной главе мы воспольвуемся для получения предельных теорем аналитическими методами, основанными на использовании свойств производящих нли характеристических функций.
тгВ пввдвльнын тновнмы [гл. т жеством распределений (р») является взаимно однозначным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение теоремы следует из того, что степенной ряд в (1.2) мажорируется при ) х ~ ч 1 сходящимся рядом в левой части (1 1). Равенство д~з (1) = 1) совпадает с (1.1). Третье утверждение теоремы является следствием единственности разложения функции в ряд Тейлора. Теорема доказана. Используя формулы для коэффициентов ряда Тейлора, можно явно указать распределение (р»)» соответствующее вероятностной производящей функции ~рз(х).
Имеем р»= — ~р~~»~(0), й=0,1,2, П р и м е р 1. Пусть случайная величина $ имеет биномиальное распределение Р($=т)=С„р д",т=0,1,...,п, По формуле (1.2) п <рь(х) = ~ С„'р"д"-"х" = (рх + д)". (1.3) По производящей функции легко определить моменты случайной величины. Особенно просто находится математическое ожидание М$~»1й 012 (1.4) где Р~ = з (з — 1) . (з — й + 1).
Математическое ожидание (1.4) будем нааывать )с-м факториальным моментом. Зная факториальные моменты первого и второго порядков, можно найти дисперсию по следующей формуле: Оз = — М$ ($ — 1) + Мз — (Мз)». (1.5) Т е о р е м а 1.2. Если конечен й й факториольный момент, то существует левосторонняя производная <р~~ ~ (1) и МУ»~ — д~<»> (1)» (1.0) в частности, Мй= Р,(1), (1.7) Доказательство. При любом ~х~(1 функцию д~з (х) можно дифференцировать сколько угодно раз, пвоизводящии эвикции Таким образом, при любом )с определена й-я производная СО ~р~"~ (х)= ч~~ ты1х -«Рд=т). (1.8) «в=« По условию теоремы конечен )с-й факториальный момент Р~ЦР1 ~ таей«(з=т) являющийся суммой ряда (1.8) в точке х= 1.
Следовательно„по теореме Абеля ~р1~~ (х) непрерывна в точке х=1 и СО Пш <р~~т(х)= ~ т1«1Р($=т)=~р~~"~(1), «1-0 т О П р и м е р 2. Найдем М$ и Ь5 случайной величины $, распределенной по биномиальному закону. Дифференци- руя (1.3) два раза по х, получим х«(х) = ир (рх + д)" «« ~рз (х) = п (п — 1) р' (рх + д)" «, Отсюда«воспользовавшись (1.6),, при х = 1 получим М$= <р«(1) = ир(р+ о)" « = пр« М$ (з — 1) = ~г« (1) = п (п — 1) р« (р + д) = п (и — 1) р', По формуле (1.7) 0$ = п (п — 1) р«+ пр — и'р' = пр (1 — р). Легко вычисляется й-й факториальный момент биномиального распределения, Так как ~р~ю (х) = п~«1 (рх + д) ««то М~~«~ и~«~р".
(1.9) Применение производящих функций к изучению сумм независимых целочисленных случайных величин основано на следующей теореме. Т е о р е и а 1.3. Если случайные величины нввависилсы, то ~Р«,+„Л1«, (~) «= ф1, (х) ... ~у~ (х), пгвдкльнын твогвмы ~г»1'. т Д о к а в а т е л ь с т в о.
Воспользуемся представлением производящей функции в виде математического ожидания (1.2). Тогда (р$,+ ~$ = Мх~'+'"'" = М (х~'... хг~). (1.10) Случайные величины хг, хЬ,..., х~ независимы, как функции от независимых случайных величин. Следовательно, М (хг ... х') = Мхь... Мх' . Отсюда и из (1.10) следует утверждение теоремы, так как Мх» = <р»„(х). П р и м е р 3. Найдем производящую функцию биномиального распределения при помощи теоремы 1.3. Число успехов р„в схеме Бернулли имеет биномиальное распределение.
Представим р„в виде суммы неаависимых сл агаемых". р.=$ +$»+ +~.. где Р Д» = 1) = 1 — Р Я» = О) = р, й = 1, 2,..., и. По теореме 1.3 ~р„(х) = <р», (х) оь, (х)... <р» (х). Производящие функции слагаемых получим по формуле (1.2): <р1„(х) = хр + хвд = рх + о, Й = 1,..., и. Таким образом, ро„( ) = (. х + у)". 1»=$ +$»+ +$ 1»=0 Тогда ~р~ (х) = ~р„(~р», (х)!. (1.11) Найдем производящую функцию случайного числа случайных слагаемых. Т е о р е м а 1.4. Пусть целочисленные величины нсгависимы при любом и = 1, 2, 3,...; $», й = 1, 2,..., одинаково распределены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
