В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ПоэтомУ можно по- 6 41 центРАттьнля пгеднттьнля теогемА 14В пожить 7е„(С) = С (С). Из существования М$„следует, что верно разложение (2.9)~ С(С) = 1+ т'Са+ Сз(С), (3 1) где з (С) -» О пРи С вЂ” О. Положим т)а = (зт +... + Р,т)lл.
Так как случайные величины $тт...„$„независимы, то по теореме 2.3 ~~ (С) = (1 (С))" = (1 + ССа + Сз (С))". Отсюда, испольауя теорему 2.1 (3'), при и -э аа получим ~д~ (С) = (1+ С вЂ”.а + — е( — т) — еео', (3.2) так как е (ССп) -э Оприа-+ со. Таким образом, при любом С последовательность С„(С) сходится к функции е'"„ являющейся характеристической функцией постоянной величины а. Функция распределения г', (х) постоянной а равна 1 при х) а и О при х~( а. По теореме 2.5 Пш Рц (х) =Р (х) при любом хчь а, так как х = а— а е единственная точка разрыва функции г", (х). Пусть задано е ) О. Тогда Р (( т)„— а ~ ( з) = Р (а — е ( т)„( а + з) ~ ~ )Р (а з ~~ Ъ(а+ е) =ге„(а+ з) «ч„(а з ) ° Точки х = а + е и х = а — е/2 являются точками непрерывности функции г", (х).
Следовательно, при п -е ео Р„(а+е) — Р„~(а — — ~ Р,(а+с) — Се, а — — )=1. е т / е Отсюда и из неравенств 1~)Р(~тт„— а~(з) ьР„(а+е) — Р» (а — — ) следует утверждение теоремы. $ 4. Центральная предельная теорема В $ 3 гл. 4 была доказана теорема Муавра — Лапласа„ согласно которой число успехов Р„в л испытаниях схемы Бернулли при больших п имеет распределение, близкое к нормальному. Кслн воспользоваться тем, что Р„представляется в виде суммы независимых слагаемых (5,5,13)е пгкдкльные твогкмы ~гл. г то теорему Муавра — Лапласа можно в следующем виде. Если случайные величины $ы $»,..., мы, Р($„=1) =1 — РЯ„=О) = р, О<р<1 сформулировать 4„,... независито при и -» оо, р ( 4+~»+.
+4.— »м4 г г — » 41 ~/'йпг„ у зя равномерно по х Е= ( — оо, о). Утверждение (4.1) сохраняется при достаточно общих предположениях о законе распределения слагаемых Докажем следующую теорему, Т е о р е и а 4.1. Если случайные величины Ц, $»,... ° ° ., $„,... независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то при и -» оо равномерно по х Е= ч= ( — оо, со) еде а = М$„, а» = 0$„ ) О. Доказательство. Положим л 4»+4»+...+4„— о» Г~  — » г» (»)=1+»чМК» — а) — — М($» — а)'+»»е(с), где з (») -» 0 при С -» О. Так как М ($» — а) = 0 и М ($» — а)' = а», то (»»»(г) =1 — 'о +»»з(»). (4.2) Отметим, что в этом равенстве функция е (») не зависит от к.
По теореме 2.3 г „(»)= (1 — — +»»е(»)) . ~ <»» '> Разложим характеристическую функцию величин $» — а по формуле (2 10): 6 41 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 145 Отсюда 1ч (с) — 1 о (=) — (1 — -2- — + — з ( — )) Х (З„) ее'к Ь„'= 0$„, с'„= М1Є— а„1в о С!= Х.1. а„= М$„, п А„= — л аь, е=! В'„= Х Ьвю в=1 в=1 Если при и — > оо С„ —" -+О: В с (4.3) то при и- оо Пре ссылках на теоремы о сходимости сумм распределений к нормальному аакону удобно использовать понятие асимптотической нормальности. Если функции распределения последовательности случайных величин (т1„ — А„)/В„ сходятся при п — оо к функции = в1 ехР~ — — ]Ми то говоРЯт что слУчайнаЯ велиС чина ~1„при и — оо асимптотически нормальна с параметрами (А„, В~). я, следовательно„Д, (1) — е-"ы при п -+ оо для любого фиксированного 1.
Предельная характеристическая функция является характеристической функцией нормального распределения с параметрами (О, 1). Отсюда по теореме 2.5 следует слабая сходимость Р„(х). Из слабой сходи- мости по теореме 2.4 следует равномерная сходимость, так как предельная функция распределения непрерывна. Теорема 4.1 докааана. Условия сходимости функций распределения разно- распределенных слагаемых к нормальному закону содержатся в теореме Ляпунова. Приведем без докааательства ее упрощенную формулировку.
Т е о р е м а 4.2. Пусть $„$ю..., $„,... — независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный момент. Положим [гл. т Приведем без доказательства обобщение теоремы 4.1 на случай г-мерных величин. Случайные г-мерные векторы последовательности $„= ($т, $„ю..., $„„), и = 1, 2, ° будем называть независимыми, если при любом и и для любых г-мерных прямоугольников В„, й = 1, ..., и, Р ($г Б Вы..., $„Е= В„) = Р Яг Е= Вд)... Р Я„Е= В„).
(4.4) Т е о р е м а 4.3. Если случайные векторы $„= = ($„ы ..., ь„„), Ь = 1, 2, ..., независимы, одинаково распределены и имеют конечные а~ = Мф,н Ььв = сот (5, и $, „), то г-мерная функция распределения 4п Ц-... + 1„, — -, Р(тьа "хй ..,,т~ ( х,), где тЪа = (1 = 1,..., г), при и — оо и при любом х = (хг,..., х„) сходится кР (~~ (хы..., ~„(хг), где ь = (~п..., чг)— г-мерный нормальный вектор с М ~! = О, сот (Й~, ьг) = Ью и й 5.
Вычисление интегралов методом Монте-Карло В качестве примера применения теоремы 4.1 оценим число испытаний в методе Монте-Карло, необходимое для вычисления кратного интеграла с заданной точностью. Пусть функция 1 (х) = 1 (х„хю .. „х,) определена на в-мерном единичном кубе Г. Требуется вычислить интеграл а= ~ ° ° ° ~ 1(х) дх. Пусть известна постоянная С такая, что ~1 (х) ~ ( С, хе= ~ г'. Обоаначим 5 = ($ю..., $„) случайный вектор, равномерно распределенный на 1). Тогда рг (х„..., х,) = 1, если х ~ г', и рв (хы ..., х,) = О в противном случае. Математическое ожидание случайной величины т) = 1 Д) найдем по формуле (5.1.5): Мт) = ~ ° ° ~1(хь, х.) р. (хь..., х,) Нх,... Нх, =— ~ 1(х) ах = а.
г Таким образом, Мц совпадает со значением вычисляемого' $ ь! вычисление интегРАлов методом мОнте-кАРлО 447 интеграла. Так как (7 (х) ( ~( С, то Оэ= Од = ~... ~(7'(х) — а)»с)х ~(4С». г (5.1) Пусть теперь случайные векторы а» (ь»тт ° ° ° $»~) л = 1,..., п, независимы и распределены равномерно на единичном кубе г'. Тогда случайные величины П» = 7 (е») й = 1,..., и, независимы и одинаково распределены, По закону больших чисел случайная величина ч1+ +ч ~э при больших и близка к постоянной а = Мт)», Предположим, что нужно вычислить а с точностью Ь. Оценим вероятность реь —.кя=р(!'" -')<'~"). Так как О ( 2С, то еПь- ~<о> (( — ', )<-'4-":) и при больших и Р(/'" /< 1") 2Ф( ~ ). По заданной малой вероятности нежелательного события (ь„— а ( ь о можно, так же как в $ 3 гл. 4, найти п.
Оценка дисперсии (5 1) является обычно очень завышенной. В качестве приближенного значения а можно использовать выражение е) для доказательства этого утверждения яужво показать, псе что !па Р [~ — $ ~.Р е) = О для любого е .л О, я воспользоватьи сю с ся результатом задача 47. Для оценки вероятности можно воспользоваться тем„ что величина (ь„— па) ф и/Ое при л — оо является асимптотически нормальной с параметрами (О, 1) *). !43 пРедельные теоРемы [гл.
7 Применение метода Монте-Карло к вычислению интегралов, а также сравнение его с другими методами даются в книге [5), гл. 4. 6 6. Прием линеариаации В прикладных задачах часто требуется знать распределение функции от случайных величин. Обычно в таких случаях в качестве приближенного распределения принимается распределение линейной части рааложения функции по формуле Тейлора в окрестности математического ожидания аргументов, а распределение линейной части (поскольиу линейная часть является суммой) считается нормальным. По-видимому, можно надеяться на близость рассматриваемого распределения к нормальному в случае, когда аргументы распределены нормально, а их дисперсии малы.
Более сомнительно использование нормальности, которое основывается на центральной предельной теореме, примененной к линейной части функции. Приведем теорему, которая дает некоторое представление о возможности использования нормального приближения в случае малых дисперсий нормально распределенных аргументов. Теорема 6.1.
Пусть $„= Я„„..., $„„), и= = 1, 2,..., — последовательность асимптотически нормальн х векторов с конечными моментами М$„,=а„~ (1=1, ..., г), сочЯ„п~„г)= (Ь,)=1,..., г), бг (о) где (а„, — а~) у и- 0 и Ьм(п) — Ьм при и- оо; функ- Е ия 1 (х) = 1 (хм..., х„) определена в окрестности точки а =- (ам..., ас) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Если 7)„= = 7' Я„„..., $„„) и величина о'= ~ 14,ЬЕН где 7'г= то=7 — положительна, то при и — оо д) дгг х=а' ПРИЕМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ из~ Дока вате л ь с т в о. Пусть )7 =Ц вЂ” Уз — "1,Л (В 1 — а.1) 1=1 ГДЕ 11 = — ~, 7Т= /(ап), а„= (ап„..., а„г). ВОСПОЛЬ- д1 а п1 х=пп зовавшись теоремой 2.7, покажем, что предельное распРеДеление )/ и (ׄ— 7' (ап)) совпаДает с пРеДельным распределением ~„= у' и ~ 71 ° (с„1 — ап1).
Положим 1=1 г 1 А„= () Апо ГдЕ Аи=~яп ($„, — ап1(( — „). ИСПОЛЬЗуя 1=1 и неравенство Чебышева, получим г Г (Ап) = (Д Ап1) ~(,~„(Ап1) ~( „м~ '(1 ' ' -+О (6.1) 1=1 1-1 1=1 при п -г по. Отметим, что на множестве А„величину Л„, испольауя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, можно представить в виде г 1 ч1 2 1,1=1 где 7"11 — аначение производной д17/дхгдх1 в точке (ап1+ 6 ($п1 — а„1), ..., апг + 6 (ьпг — а„г)), О ( О ( 1. Так как ~д ограничены и на множестве А„выполнены неравенства ( $пз — апг( ( 1!и1", й = 1, ..., г, то ()~п Лп1~ ~ГпК вЂ”,, = —,1 е1ЯАп (62) Для произвольного с ) О имеем Р(()г я)т„~) з)= = Р (() )I и )7„() з) ( ) А„) + Р (( ( у пЛ„( ) е) ( ) Я). (6Л) Так как з ) О фиксировано и ( 1/пй„'(- О в силу (6.2) при я - оо равномерно по е1 Е= А„, то первое слагаемое в правой части (6.3) стремится к О. Второе слагаемое в [гл т (6.3) оценивается сверху вероятностью (6.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
