В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В $2 гл. 4 для полиномиальной схемы были введены случайные величины, равные числу исходов данного типа. Введем аналогичные величины для цепей Маркова. Пусть тз (г), /з = 1, ..., /т/ — число попаданий системы в состояние й за время г. Тогда тз (г)/з — частота попаданий системы в состояние й. Используя формулы (3.3), можно доказать, что частота тз (г)/г при з — оо сближается с Чзх Для этого нужно получить асимптотические формулы для Мтз ($) и Ртз (г) и воспользоваться неравенством Чебышева. Приведем вывод формулы для М (т, (з) ( $о = 3) = = ты (о). Представим т/ (з) в виде т, (г) = т)о + т)з + ° + т)з, (3 5) где т), = 1, если $, = у, и дз = О в противном случае. Так как М (т), ) фо = т) = Р ы (г), то, воспользовавшись свойствами математического ожидания ч формулой (3.3), получим 3 ти(т) = Х Рз/(г)=Ч, 1+ ~ еи (г).
о о о=о Второе слагаемое в правой части этого равенства в силу теоремы 3.1 является частной суммой сходящегося ряда. Положив аз; — — ~ ез;(г), получим в=о ты (о) = Чо ° 8 + аО + О (й'), О ( й ( 1, (3.6) 162 ЦЕПИ МАРКОВА (гл. 3 поскольку (з) ~ ( )) ° Абв е=в в=!+! Из формулы (3.6), в частности, следует, что М ( — ', )св=!)-+д,! у=л,2,...,А(, прн 1-ь оо. Аналогично можно получить формулу для М!т! (!) (т! (!) — 1) 1 ьв — — л!, котоРаЯ использУетса длн вычисления дисперсии. $ 4.
Доказательство теоремы о предельных веромтиостих в цепи Маркова Дока!кем сначала две леммы. Положны и! «) = ш!н Ря «), !'! «) = вах Р,! «). \ ! Л е ы ы а 4И. При любав! существуют предела !Пни «)=тр ИлоУ «)=Р ! ю ул ~ Р! Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя урапненве (2.4) с е 1, получим и и! «+ И = ж)а ~ р вр .«) ~ пллп ~~ р и «) = и,«), «ы! л=! и У;«+1) = плах ~~~ рырв! «) ~ !пах 2л ре„у.«) = У «), л.=! ! аква обрааоы, последоаательностн и «) н У «) ыовотоввы н ограничены.
Отсюда следует утверплденне левый 4.1. Л е ы и а 4.2. Если выполнена условия теорема 3.1, та существуют паств»нные С, б (С > О, О < б < 1) такие, чти У! (плв) иу (пле) ~ Сб», и = 1 2 Доказательство. Для любых 1, ! О = ~ Рл„«в) — ~ ! „«,) = ~' А „«, П + У- б „«,;), ! ! в=! е " у еде Ьв «, !) = Ры «„) — Р,! «,), 2' означает суммвровавке по 5Ц ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЕЛЬНОЕ ТЕОРЕМЫ 163 всем А, при которых 6«(1, 1) положительны, а ~ — суммирование по оставьиыы К.
Отсюда (4.1) Так как в УсловиЯх теоРемы 3.1 веРонтности пеРехода РО (Со) и О при всех С, 1, то при любых 1,1 я А«(1 1) = ~ (Рс«(Со) — Рс«(во)) ( ~ Рс«(со) = 1 (4 2) «к «=1 н в силу конечности числа состояний 6 = шах ~ (Рс«(со) — Р „(са)) < 1. 1. (4.3) Оденим теперь разность ос (лс,) — и; (лзо).
Используя уравнение (2.4) с в = со, С = лоо, получим 1' ((л + 1) со) — и ((л + 1) со) = шах ( Рп ((л + 1) со) — Рд ((я + 1)со) ) = 1,1 л и =шах ~ (Рс (со) — Р «(со)) Р«,(л„) =шах ~~~ 6«(1,1) Р«, (лс,) ( 1,1 « 11 «=с и, шах ~~ йк (ю, 1) У (ло) +к~~ Ак (а, с) ис(лсо)~ ° 11 (К « Отсюда, используя (4.1), (4.2) и (4.3), найдем У ((я+ 1) со) — и ((л+1) Со) ( ~ шах ) (у (лсо) — и (лсо)) ~ й «(в, 1) ~ = 6 (1', (лсо) — и (л1о)). 1,1 1 Обьедивяя зто соотношение с неравенством (4.3)„получаем утверждение леммы. Перейдем к докавательству теоремы. Так как последовательности и (1), 1' (1) монотонны, то О( с (1) ~ ус ~?1 <1,(1). (4.4) Отсюда в яз леммы 4.2 находим О ~ 4) — д ~ У (л1«) — и (лсо) ~ Сба. Следовательно, при л оо получим с? = е = дес в Положительность ис"' следует иа неравенств (4.4). Переходя к пределу при с со ив = 1 вураввенви(2.4), получим, что дсоудовлетворяют уравнению (3.2).
Таким обрааом, теорема докааава. 164 ЦВПИ МАРКОВА (гл. з Задачи к главе 8 1. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид 70,1 0,5 0,4х Р = ~ 0,6 0,2 0,2), 0,3 0,4 0,3 Распределение по состояниям в момент 1= 0 определяется вектором у = (0,7; 0,2; 0,1). Найти: 1) распределение по состояниям в момент 1 = 2; 2) вероятвость того, что е момеыты г = О, 1, 2, 3 состояниями цепи будут соответствевыо 1, 3, 3, 2; 3) стациопариое распределевие. 2. Пусть $О т = О, 1, 2, ..., — цепь Маркова с матрицей переходвых вероятыостей Р = )( ры )( и вачальиым распределевием по состояниям д = (ди ..., еи), Вырааить в виде сумм вероятностей вида (1 7) следующие вероятности: а) Р (е,= /); б) Р (аз= 1 $юз= /). 3 (продолжеаие задачи 2).
Докааать, что Р (й+. = / ( з. = 0 = Р (1~ = / ) 5е = О. У к а з а а и е. Вычислить обе условвые вероятности, воспользовавшись результатом задачи 2. 4. Пусть 8О ~ = 1, 2,..., Т,— веаависимые одиизково распределенные случайные величины, Р (5~ = 1) =- р, Р Д, = — 1) = = 1 — р. Являются ли цепью Маркова величины: а) ц~ = $Д~ы', б) ц, = з1зз... $,; в) зй = ~р(~,, 5оы), где е( — 1, — 1) =1, Ч> ( — 1, 1) = 2 й(1,— 1) = 3, ~р (1, 1) = 47 Для цепей Маркова аайти матрицы вероятностей перехода аа одиы шаг.
5. Пусть $~ — номер состоявня в цепы Маркова в момевт времени 1, Р (Зе = 1) = 1 и матрица вероятвостей перехода аа единицу времеви равна 1 3/7 3'7 1/7 '1 ~1, если З =1, 1/11 2/11 8/11; чз — ( 1/Н 4/Н 8/11/ Показать, что последовательыость гл является цепью Маркова. Найти соответствующую ей матрицу вероятиостей перехода. 6. В /У ячейках последовательао везависимо друг от друга равиовероятво размещают частицы.
Пусть рз (я) — число ячеек, оставшихся пустыми после размещения л частиц. Похавать, что последовательыость ре (с), о = О, 1, 2,... является цепью Маркова. Найти вероятности перехода. 7. Пусть цп з)з, ... — последовательность иеаависимых одинаково распределеивых случайных величиы и /(х, у) — функция, привимающая заачеиия в множестве (1,..., /У); х = 1, 2,..., /У, множество значений у совпадает с мвожеством аиачеиий це Является ли последовательность случайных величии ~.(РДе=й)=РНз1, 4=-0,1,2,..., д/), 8„, =/(30 ~си), з=0,1,2,..., цепью Марковау 8. Игральная кость все время перекладывается случайпым образом с одвой грани равыовероятио ва любую из четырех соседних граней веаависимо от предыдущего. К какому пределу стремит- злдлчи к гляни з 165 ся при Г оо вероятность того, что в момент времеви гкость лежит иа грани «6», есзи в момент 1 = 0 оиа находилась в этом же положении (1 = О, 1, 2,...)) 9. По двум урнам разложено )У черных и Л' белых шаров так, что каждая урна содерзкит )у шаров.
Число черных шаров в первой урне определяет состояние системы. В каждый момент времеви выбирают случайно по одному шару из урны и выбранные шары меняют местами. Найти вероятности перехода и показать, что стационарные вероятности з„= СяСя )Сзя я = 1... )У з ю-г я 10. Матрица вероятностей перехода Р и вектор о начального распределения по состояниям имеют вид: з = (1/2, 1!2, О, О, О, О), 3!12 2!12 1Д2 ЗД2 1(12 2!12 1/12 1/12 3;12 1!12 4Д2 2112 0 0 3!4 1!4 0 0 0 0 1!2 1!2 0 0 0 0 0 0 1(З 2/3 0 0 0 0 2(3 1)З Найти: а) несущественные состояния; б) математическое ожидание т — времени до выхода из несущественных состояний; в) вероятности р(с~, р)З~ попадания в множества состояний а = (3, 4), р = = (5, 6), если начальным состоянием является 1 еи (1, 2); г) предельное при 1 оо распределение по состояниям, т.
е. величины л = 1(ш Р (5~ — — Й). Ф юо У к а з а н и е. 6) Испольауя формулу полного математического ожидания, составить систему линейных уравнений для нц = = М (т ) 5э = 1), 1 = 1, 2. Воспольаоваться формулой Мт = = Р (ьэ = 1) т, + Р (зэ =- 2) тэ. в) Испольауя формулу полной вероятности, составить системы линейных уравнений для РЮ1, Рпл> 1 3 и для Р161, р®61. г) найти предельное распределение по состояввям, когда начальным состоянием является состояние из множества а н из множества р. Использовать формулу полной вероятности и решение в). 11.
Матрица вероятностей перехода Р = )~ РО)( цепи Марко- ва 5, определяется формулами рм = 1 — сс, Р„= а, рю = 5, Рзз = 1 — (). Доказать, что ' п(П ри(1)) 1 (() а) (1 — а ())' (' и — а ~ ( рм(с) Рм(з)l и+Р~В я/ и+5 ( — р 5 / Найти стационарные вероятности. 12. Для цепи Маркова, определенной в аадаче 11, обозначим т, число попаданий в состояние 1 за время д Доказать, что (пи Р ~~ — — — ~ (е) = 1 при любом з) О.
П~с Р 1 з- Ц7 а+()! Указание. Показать, что Мт = 1+0(1) и 0т, = а+5 = о (гэ) при г оо. Использовать представление тз в виде суммы (3.5) и решение аадачи 11. ГЛАВА 9 Элементы математической статистики 1. Задача математической статистики Пусть требуется измерить яекоторую зеличияу а. Результаты измерений х, (ы), х, (ю), ...,х„ (го) естественно рассматривать как зкачеиия случайных величин х„ х„ ...
..., х„, получеииые в данном опыте с исходом в. Если измерительный прибор яе дает систематической ошибки, то можно предположить, что Мхе = а. Таким образом, по результатам наблюдений х„хг,..., х„нужко определить неизвестный параметр а. Это типичная задача оценки неизвестных параметров. Общая ошибка измерекия часто складывается из большого числа ошибок, каждая из которых невелика. В такой ситуации на основании центральной предельной теоремы стаиовится правдоподобиым следующее предположение (гипотеза): случайные величины хв имеют иормальяое распределение. Таким образом, мы пришли к задаче статистической проверки гипотпезы о законе распределения.
В 9 3 гл. 1 рассматривались две различные модели (модель 1 и модель 2) подбрасывания двух монет. Вероятность выпадения монет одииаковыми сторояами в модели 1 оказались равной 2/3, а в модели 2 — равной 1/2. По результатам подбрасываний двух копет требуется выбрать одну из двух моделей (или гипотез). К задачам оценки параметров часто сводятся задачи, в которых нужно установить зависимость между переменными.
Пусть, например, из некоторых соображений известка, что переменная у линейно зависит от переменных х,, х„..., хз.' у = А, + А,х, +... + Авх„. Коэффициенты А„А„..., Ав веизвестиы. При различяых иаборах (х;„х„,..., хге), ~ = 1,..., и, измереиы зиачеиия у~ — — Ав + А,хп +... + Авхьт + би где б;— ошибки измерения у при кабаре (хсо х;„..., хм). По зиачеииям (у„хн,..., хы) требуется оценить коэффициенты Ав, А„..., А„. Задачи такого типа называют регрессионнилси.
5 21 понятие ВывОРки ВыВОРОчные РАСЕРеделення 167 В перечисленных выше задачах оценка неизвестных параметров или выбор гипотезы проводится по результатам наблюдений или измерений, т. е. Ва основе эмпирических данных. В следующем параграфе приводится описание математической модели независимых измерений. й 2. Понятие выборки.
Выборочные распределения Чтобы сделать формальное определение выборки более понятным, рассмотрим несколько примеров. Пусть вам требуется оценить неизвестную долю белых шаров в урне, содержащей белые и черные шары. По схеме случайного выбора с возвращением отберем и шаров. При больших я доля белых шаров в получепной выборке близка к доле белых шаров в урне. Указанная процедура может быть описана е терминах случайных величин. Пусть хэ = 1, если й-й шар выборки оказался белым, и хг = О в противном случае (й = 1, 2,..., и). Тогда случайные величины х„х„..., х„независимы и одинаково распределены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
