В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Т е о р е м а 2.3. Если случайные величины вдд вд,... , $„нссависилды, лдо 1,„,„„,„(т) = 1,,(с) у,, (г)...у, (с). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно докавать теорему для л = 2, так как общее утверждение можно будет получить по индукции. По определению характеристической функции 1т+т (1) = мс'»дь+ь) мсие.с»оь »~Ь* = М (сов1$д+ д вшвВд) (сов 8$д + д вдп т5д). (2Л2) 1ЗВ ш идильнын тногимы [гл. т магических ожиданий; 2) математические ожидания от произведений заменить на проивведения математических ожиданий (это возможно, так как функции от невависимых случайных величин являются невависимыми случайными величинами); 3) полученное выражение вновь разложить на множители. В результате втих преобразований знак математического ожидания в правой части (2.12) появится перед каждым слагаемым в скобках, Таким обравом, ~~,+В, (С) = (М сов ЮВ1 + гМ в(п 1$,) (М сов Сев + + сМ в1п с$в) = Мене Меи1 = (Н Я ~Ы (С), Теорема докавана.
П р и м е р 6. Пусть $, и $, независимы и нормально распределены с параметрами (а» о,'), (а„о,'). Найдем распределение суммы $, + $,. По формуле (2.8) е 2 а1о агь ~й(е)=е в, д~,(~)=е Отсюда по теореме 2.3 получим ~ц,~ы (с) = ~н (с) ~~, (е) = е где а = а, + а„о' = а1~ + ов~. Так как полученная характеристическая функция является характеристической функцией нормального распределения, то по теореме 2 1 (4') сумма $, + в, распределена нормально. Пусть вадана последовательность функций распределения Р„(х), и = 1, 2...
Последовательность (Р„(х)) слабо сходится к функции распределения Р (х), если Пщ Р„(х) = Р (х) а а при любом х, являющемся точкой непрерывности Р (х). Т е о р е м а 2.4. Если последовательность функций распределения Р„(х), и = 1, 2..., слобо сходится к непрерывной функции распределения Р (х), то Р„(х) -~- -~ Р (х) при и -1- оо равномерно по х с= ( — оо, + оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ив монотонности и ограниченности функции Р (х) следует, что для любого в ) О среди точек непрерывности Р (х) можно выбрать конечное число точек х, ( хв ( . °, ( хк так, чтобы на каждо(е В г! хлвлктивистггчхюкин Фмииции из следующих множеств ( — оо = хг» х»)» [хг» хг)»» [хн» хя+г + оо) приращение функции Р (х) не превооходило е, Пусть х ЕБ ~ [хю х„„). Так как Р„(х) — Р (х) = = (Р„(х) — Р„(хг)) -[- (Р„(х„) — Р (х„)) + (Р (хг) — Р (х)) и [Р. (х) — Р. (х,) [(Р„(х,+,) — Р„(х,) < ([Р„(хюг) — Р(хгы) [+ [Р(хг) — Р„(х„) [+ Р(хе+») — Р(х„), [Р(хг) — Р(х) [(Р(х„„) — Р(х„) в силу монотонности Р„(х) и Р (х), то [ Р„(х) — Р (х) [ ( [ Р„(хе~») — Р (ха и) [ + + 2 [Р„(х„) — Р(х„) [+ 2(Р(хьм) — Р(хг)). (2.13) По условию теоремы Р„(х„) — Р (хг) при п -» оо.
Следовательно» из (2.13) с учетом выбора [х„» х„„) [ Р„(х) — Р (х) [ ( 5е при п ) пг (й). Полагая и, = юах и, (й), получим а~в~и [ Р„(х) — Р (х) [( 5е при и) иг и любых х. Теорема докаеана, Приведем формулировку теоремы о непрерывности соответствия множества характеристических функций множеству функций распределения. Пусть 1„ (г), п = 1, 2, ..., — последовательное=ь характеристических функций и Р„ (х), п = 1, 2, ..., — последовательность соответствующих функций распределения. Т е о р е м а 2.5. Если ~„(г) -~ 1 (») при п — ~ оо для любого 8 и 1 (») непрерывна при» = О, то 1) 1 (г) — характеристическая функция, соответствуюгцая некоторой функции распределения Р (х); 2) Р„(х) слабо сходится к Р (х) при п -~ оо.
Если Р„(х) слабо сходится к функции распределения Р (х), то 1„(х) -«1(г), где 1(г) — характеристическая функция, соответствующая функции распределения Р (х). Эта теорема будет использована для докааательства 'Центральной предельной теоремы. ыо ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ~ГЛ 7 Приведем еще две теоремы, которые часто используются при доказательстве предельных теорем. Пусть Р„(х) = Р ($„( х), и = 1, 2,..., — последовательность функций распределения, Обозначим тем = М$~. Т е о р е м а 2.6. Если при всех )с, )с = О, 1, 2,..., Иш т~,' = тоо ( сю, то существует функц я распредеи ления Р (х) = Р (е ( х) такая, что тои = М$ . Если етому условию удовлетворяет единственная функция Р (х), то Р„(х) при и — ~ оо слабо сходится к Р (х).
Иногда последовательность случайных величин ~„(п = = 1, 2,...), для которой исследуется сходимость функций распределения, удается представить в виде = $„+ ц„; при этом сходимость функций распределения величин $„уже известна или ее можно легко установить, а величинами ц„можно пренебречь. Следующая теорема дает условия, прн которых можно воспольэоваться указанным представлением. Т е о р е м а 2.7. Пусть ь„ = $„ + ц„, и = 1, 2, ... Если 1ип Р (( ц„~ > е) = () для любого е ) 0 и пои следовательность функций распределения Р„(х) = = Р ($„( х) слабо сходится к функции распределения Р (х), то последовательность функций распределения С„(х) = Р (ь„( х) тоже слабо сходится к с (х). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть х — точка непрерывности функции Г (х). Положим А„= ($„+ ц„< х), В„= Ц ц„~ < е). Так как А„= А„В„+ А„В„и А„В„С В„, то Р (А„В„) < Р (А„) ( Р (А„В„) + Р (В„). Отсюда и иэ соотношений (Я„< х — е) П В„) С А„В„С (ь„< х + е) получим Р (($„( х — е) П В„) ~ Р (А„) < (Р Д„(х+ е) + Р (В„). (2.14) Иэ неравенств (2Л4) и неравенства Р Я„(х — е) П В„)~РД„<х — е) — Р(В„) хАРАктеРистические Функции г г1 следует, что Рь (х — е) — Р (В„) ( Р (А„) ( с„(х + е) + Р (В„).
Отсюда, так как по условию теоремы Р (В„) -~- О при и — ь со, находим р (х — е) ( 1»т Р (~„( х) ( ЙшРД„( х) ( с (х + е). (2. 15) о а Из (2.15) при е-~ О получим утверждение теоремы, так как х является точкой непрерывности с' (х). Для исследования распределений векторных случайных величин, так же как и в одномерном случае, полезно использовать производящие и характеристические функции. Производящие и характеристические функции векторных случайных величин $ = (г», .. о $») йЕ В определяются соответственно формулами <р» (г»,..., г„) = Мг»»'... г»»» (( г; ( ( 1, $ = 1...,» к), (2Л6) (1 (1) = (г (1„..., 1») = М ехр (»г'з), где 1 = (го..., 1»)', СЗ = »»З, +...
+ 1»З», — ( (1, ( оо, з = 1,..., )е. Их свойства аналогичны свойствам производящих и характеристических функций одномерных случайных величин. Например, если М 1$, (а ь ° ~ ... ) $» (» ( оо длЯ целых г» .. „г»,,ь О е), то д...м» а "' 1 ар»(гд,..., г») = М$» .. з» 1а1 Р»1 ь+....н „(,(1„..., 1„)1 = 1ч "'"»МЕ,"' . ф»», Если т1 = СС + а, где З = (С„..., $„)', т1= (з)„..., В )', а = (а„..., а„), С = !( сы Ц вЂ” (т Х г)-матрица (а и С постоянны), то 1ч (1) еи'а(1 (ВС) (2,17) Найдем характеристическую функцию нормально распределенного вектора») = (ц„..., ») )'.
По определению ь) Отметим, что для сиешавиых момеитов из существования момеита порядка с +... + г» ие следует сущестяоваяие момента меиьшего порядка. т)к = с«Д» + с«как + ° ° ° + с«Д, + ак, й = 1» ° °, т где $„..., $„— независимые нормально распределенные величины с параметрами (О, 1). По определению (2 16) ю т Ке(С)=М ехр(СС'т))=Мехр«»С ~ ( Д Скок») $»+ С ~ Скак«С ° »1 »=1 «=1 Отсюда, используя независимость $„...» $„к теоремы 2.1, 2.3 н формулу (2.8), получим »» г »в Д„(С) = ехр ((С~~С Скак)( ° ПМ ехр ~С ( ~~ Скок») $»~ = »=» »=» «=1 » в» = ехр (СС'а) П ехр ~ — — (~ Скок») ~ »=1 к=» »В » =- ехР (СС'а) ехР ~ — — '5 Ск,С», ( ~Ь свдс«,г)) .
»„к,=» !=» Так как Ь»,к, =сот (као т)к,) = ~ скдскеи »=1 эо окончательно получаем »» $ С„(С) = ехР ~СС'а — — Р Ьксьг»,гк)(. (2.18) к„к,=» $3. Закон больших чисел В этом параграфе будет доказана теорема 5.5 гл.
6 без предположения о конечности дисперсии. Случайные величины бесконечной последовательности ..., $„, .. называются независимыми, если при любом и независимы величины Э», $к, ..., $„. Т е о р е м а 3.1. Пусть случайные величины $»» $к,... ..., $„,... независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание М$» — — а, й = 1, 2,... Тогда при любом э ) О Д о к а з а т е л ь с т в о. Характеристические функции ~С„(С)г й * 1, 2,..., одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
