В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Вычислим дисперсии некоторых случайных величин. «. Нормальное распределение. По формуле (3.3) находим [х-юй 0$== ~ (х — а)зе Ых. « ае р'2п е Отсюда, полагая х = оу + а, получим О С 0$ = оз — ') у«е ечзду — аз = ~ уо (е ече), с р'Б ~/2д Применив формулу интегрирования по частям, находим 05 = о'. В $6 гл. 5 было покааано, что линейная функция «[ = = А$ + В от нормально распределенной случайной величины $ имеет нормальное распределение. В т 2 был указан способ вычисления М«[, не связанный с доказательством диспюсия аз) нормальности В (см. формулу (2.2)).
Найдем теперь О«). Нетрудно показать, что случайная величина, являющаяся постоянной, вэаимко кеаависима с любой случайной величиной. Поэтому при вычислении От) = 0 (А$ + В) можно воспольаоваться формулой (3.5). Тогда ОВ = 0 (А$ + В) = 0 (А$) + ОВ = АЧЦ = Азо«, 2. Равномерное распределение. По формуле (3.3) ь 0$= ~ (х — ) р«(х)дх= ~(х — — ) Ыя. Отсюда ~%= а (э-а)' распределение. Найдем ( (э 1)) По фоРмУле (1.4) с "=1 э(~) = получим М~(, 1, М~ М$и $ = У + Х.
Подставляя это выражение в (3.2), получим 05 =Х. 4. Биномиальное распределение. Так же как в примере 2 из т 2, воспользуемся тем, что число успехов р представимо в виде суммы независимых индикаторов (5.5АЗ). Тогда 0)«„0$ +... + 0$„и Оэ„МД вЂ” (М$«)з = = р — рз р(1 — р). Таким образом, Ор„= пр(1 — р). Отметим, что в формулировку теоремы Муавра— Лапласа (теорема 3.3 гл.
4) входила случайная величина (р„— пр)фпрс. Теперь мы можем эту же величину записать в виде (р„— Мр„ДГ0р„. Такое линейное преобразование случайяой величииы используется довелько часто. Если $ — произвольная случайная величика„то для случайной величины )) = ($ — М$)/)Г0$ имеем М)) -О, 0„=1. В приложениях для оценки вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания часто используют «правило трех сигм», согласно котэрому событие ~ $ — М$ ( ь 3 у' Оэ практически иевозмои«ио« т, е, вго вероятность очень мала. Это действительио так, [гл. е матгыАтическое ожидание если $ распределена нормально. В атом случае Р~~1 — м1~>3~'Ц~ = = Р(! !)3~= — Р~е в Их(0,003.
в Однако если распределение $ отлично от нормального, то воаможны большие значения вероятности такого отклонения (см. задачу 19). Часто изучаемую случайную величину удается представить в виде суммы более простых, возможно зависимых, случайных величин. Пусть, например„ (3.7) Ч. = $ + $» + ° ° + $., где случайные величины $„$„..., $„зависимы и каждая из них принимает значения 0 и 1. В этом случае можно воспользоваться формулой мч„= м1, + м1, +...
+ м8„. Однако 0Ч„уже не равна сумме дисперсий 0$». Для вычисления ОЧ„можно использовать формулу (3.2). Так как ав (св) = $» (ев)в св ~ Й (действительно, $в (а) = 1 или $в (ю) = О), то и а Ч'= Х Ы+ Х йХ = Х $в + Х Ы~ =Чв+ Х Ы~ в т вел в=в вел в~~ (3.8) Таким образом, оч„= мч'„— (мч„) = ~ч', м~д, + мч„— (мч„)ч вел 5. Гилерееоиетричеекое распределение. Воспольауемся формулой (3.8) для вычисления дисперсии величины $, имеющей гипергеометрическое распределение.
Для индикаторов $в в сумме (2.2) имеем (см. задачу 22 гл. 2) М»»в»и Р Йв $~ 1) и (м — 1) Отсюда и из (3.8) находим Мр — М~ + ~),'лМ~, „м + „(„1) м(~ы — ') Следовательно, м(м — П м и* 05= п(п — $) + и — — и' — . м(у 1) у на После несложных преобразований получим МгмтК вЂ” и 0е=п — ~$ — — ) К~ К)Я вЂ” 1 (3.9) й 4. Ковариация. Козффициент корреляции При доказательстве формулы (3.5) нам потребовалось вычислить М (($, — М$,) (с, — М$,)!. Это число называется новариацисй случайных величин $„$, и обозначается соч ($ю $,). Таким образом, соч (йы $з) ™ (($, — Мй,) (4, — М4,)).
(4Л) Отсюда, используя свойства математкческого ожидания, легко получить следующую формулу: соч Я„$,) = МЗД, — М$, М$, (4.2) Очевидно, что соч ($, $) = 0$. Нетрудно проверить также следующие равенства~ сОч ($ю Сз) = соч (Зю с1), соч (с~К $з) = с соч (сы Зз)я где с — любая постоянная. Из равенств (3.6) и определения (4.1) вытекает формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин: 0 (3, + $,) 0$, + 0$ + 2 соч ($„$,). (4.3) Т е о р е м а 4Л. Если для случайных величин с„$ю..., $„существуют соч ($„$;) = а,п ~, у = т,... ..., и, то при любых постоянных с, с„..., с„инеем 0(с1зг+СД, +...
+ С„$„)= ~~~ о;;с;сг (4.4) Доказательство. Положим Ч„= СД, + СД, +... + СД„. Нетрудно проверить, что и ~Чо — МЭЧп= Х с'($1 — М3;) а 1 ем КОВАРИАЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ 107 мятвмлтичкскон ОжидАнии игл. з И (г)„— Мт)„)г = ~ сгсг($г — М$~) ($э — М$э). ь э=1 Вычисляя математическое ожидание от обеих частей последнего равенства, получим утверждение теоремы.
Правую часть (4.4) можно рассматривать как квадратичную форму от переменных с„с„..., с„. Так как при любых с„с„..., с„дисперсия в левой части (4.4) неотрицательна, то квадратичная форма в правой части (4.4) неотрицательно определена. Квадратичная форма неотрицательно определена тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры матрицы, составленной из ее коэффициентов. Таким образом, из теоремы 4.1 получили следующее утвержденке: определитель ~ 0 [$] ] матрицы 0 [Ц = 0 [($„..., $ )] = [] соч ($» $т) [[ при любом т = 1, 2,...
для любых случайных величин $ы $г,... ..., $ удовлетворяет неравенству [ 0 [(В„..., В )1! =ь О. (4.5) При т = 2 неравенство (4.5) имеет вид ! со 0~ 0$г0$г соч фф $г) ь Ое Отсюда ] соч (ь» ьг) ~ ( э'0ьг0ьг. (4.6) В доказательстве формулы (3.5) было попутно получено, что для независимых случайных величин $„$г имеет место равенство соч ($„$г) = О. (4.7) Таким образом, если соч (з„$г) ~ О, то величины $, и $г зависимы. В качестве количественной характеристики степени зависимости случайных величин 5, и 5 используется коэффициент корреляции р ($„эг), определяемый следующим равенством: ра-,ь= -"'"" (4.8) ]ГО~ ~~ * Свойства коэффициента корреляции: 1" ! р (В, В ) [ ( 1. 2'. Если К, и $г независимы, то р Я„фг) = О.
3'. Если $, = А$, + В, где А и  — постоянные, то ~ра„5,) [- а ам закон вольших чисвл Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство 1' следует из (4 8) и (4.6); свойство 2' следует из (4.8) и (4.7). Докажем свойство 3'. Положим М$, = а, 0$, = о'. Тогда М$, = Аа + В, 0$, = А'а', сот (ь„з,) = М ((3, — а) ($, — М$з)1 = = М (($, — а) (А (Ц вЂ” а))) = А0$, = Ао' и, следовательно, Аа' А р($, $з)= ~/Ал~~.~~ ~ А ) ' Таким обрааом, ( р ($„$,) ( = 1. Отметим, что равенство нулю коэффициента корреляции нв является достаточным условием независимости случайных величин. Из равенства р ($„$,) = О не следует независимость случайных величин (см. задачу 10 втой главы).
Наряду с рассмотренными выше числовыми характеристиками случайных величин часто используются моменты более высоких порядков. Моментом порядка Й случайной величины $ называется число М$". Число М (з — М$) называется центральным моментом порядка Й. Пусть задан случайный вектор ($„$„..., э„). Величины М$"'$"' . $ьк, М ($1 Щ )а~... (З вЂ” М$„)"а яазиваются соответственно смешанным моментом порядка Й = Й, + ... + Й„, и смешанным центральным моментом порядка Й.
Вычислять моменты более высоккх порядков можно по формулам (1.4), (1.5). Например, МС1 $з = ~ ~ х1'хз'рк н (хы ха) ах1 Ыхы Отметим также что из существования момента М$ вытвкает существование моментов М$, Й = 1,..., т — 1. Это утверждение следует из неравенств )$(ю)!" ~(($(со)) +1,ве=й, Й=1,2,...,т — 1. $5.
Закон больших чисел Во введении был отмечен экспериментальный факт,. состоящий в том, что в длинной серии опытов частота появления события А сближается с определенным чиодом, матемлтнчксков ожидлнив [гл. е которое можно рассматривать как вероятность события А. В математической модели серии опытов этот факт доказан. Сначала получим некоторые оценки распределений случайных величин. Т е о р е м а 5А.
Пусть с„= $ (ю) ~ )Опри любом ю ~ б= И. Если М$ существует, то при любом е ) О Р($ !:е) ~( —. (5А) Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем докааательство в случае, когда $ задана в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (см. 3 4 гл. 2). По определению математического ожидания имеем М$= ~... ~$(и1,..., и„) и (и(,..., и„) би(див... би„. Пусть И, = ((и1 ..., и„): $ (и„..., и„) а е) с И, Введем случайную величину ) О, если (иэ,..., и„)~И",Ию ). е, если (иь..., ив) е-=Ие. При любом (и„..., и„) й:— И имеем $ ~ ро Умножим обе части этого неравенства на и (и„..., и„) и проинтегрируем по И. Получим, что М$ э Мт~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
