В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(6Л0) Равенства (6.7) — (6.10) верны при любом ю щ И. Равенства (6.7), (6.8), (6ЛО) следуют непосредственно из определения, аналоаичного (1.2), (1.3). Перейдем к рассмотрению абсолютно непрерывного вектора ($, с)). Так как в этом случае Р (Ч = у) = 0 при любом у, то мы не сможем воспольвоваться определением условной вероятности (2.1.1), как это мы сделали в дискретном случае. Наэовем условной плотностью распределения вероятностей величини $ при условии, что Ч = у, следующую функцию: »гл.
в мьтвмьтичвскок ожидании й 7. Многомерное нормальное раеиределенве Пусть $ = ($т,... $,)' — т мерный случайный вектор- столбец «). Положим г й»= ~ с»Д»+ам»=1,...,т (7.1) »» или в векторной форме: В = С$+а» (7.2) где й=(Ч„..., Ч )', а=(а„...та,)' и С=~с»т~ — (т Хг)-матрица. Здесь вектор а в матрица С постоянны.
Как и в 5 4, будем обоаначатьР (а) = Р ($„... $„! ковариационнУю матРиЦУ 1 соч ($„$») 1. СледУющаЯ теоРема является обобщением теоремы 4.1. Т е о р е м а 7 1. При любой постоянной матрице С в (7.2) имеем Д о к а а а т е л ь с т в о. Из формулы (7 1) следует„что г В» — МЧ»= ~ с»»Я» — М"„) »=т (т)» — МЧ») (Ч! ™Ч;) = ~л~ с»»ст» ($» ™$») (ь» ™$»). », »=» Вычисляя от обеих частей последнего равенства математи- ческое ожидание, получим соч(Чо Ч)= ~ сисоч ($», 1»)с„, ». »=т где с»; ст» Теорема доказана Многомерным нормальным распределением т случайных величин назовем распределение вектора Ч = (т)т,... ..., Ч,„)', где Ч» определены формулой (7.1), а случайные величины $„$»,..., $, независимы и каждая ив них распределена нормально с параметрами (О, 1). Если т = г и определитель ~ С ~ ~ О, то нормальное распределение нааовем невырожденным.
В других случаях ° ) Ь»ы будем г-мериме к«кюри рассматрквать как (г Х 1)-матрицы. Знакам ' будем обо»качать тргкскоккрозакко, г 1(' многомввнОВ новмлльпон Распвнделенив 119 можно покааать, что распределение В сосредоточено на надпространства размерности„меньшей т. Отметим некоторые общие свойства многомерного распределения.
НУеть вектоР В = (тттт..., тт,„)' РаспРеделен ноРмально. Тогда: »'. Одномерные распределения координат рл являются нормальными, если 0т(т ) О. 2'. Любая линейном функция т( = Атт)т + ° ° + А нЪ, имеет нормальное распределение, если От~ ) О. 3'. Любое линейное преобразование ь = Аро где А— постоянная матрица, имеет многомерное нормальное распределение.
Все ети свойства непосредственно следуют из определения и того факта, что сумма неаависимых нормально распределенных величин распределена нормально. Нормальность распределения суммы может быть доказана при помощи формулы (5.6.7) или при помощи характеристических функций (см. 5 2 гл. 7). Т е о р е м а 7.2. Невырожденное г-мерное нормальное распределение является абсолютно непрерывным, и его плотноппь распределения имеет вид 1 — —, а<.— > 1 р„(хт, ° ° . т х„)= „, е» г (7А) (2я)Ю» ~Г~ В ! где В = ~ Ьы () — невырожденная (г х г)-матрица, Ь»~ = = сот (т)», т)т) ! В ( — определитель матрицы В, = (х,,..., х„), а = (а„...т а,), а» МЧ», (3(х) = = Х Ьгтх»хт — кеадратпичная форма„коэффициенты которой образуют матрицу 1 ЬФ» ~), оброк»кую к матрице В.
Д о к а в а т е л ь с тв о. Плотность распределения величины З = ($тт..., $„) имеет вид — Х "» 1 $ » рт (х(т..., х„) = .,„е у 2я ) Так как ( С ~ Ф О, то преобразование у = д (х), где у =* = (у„.. „у ), х = (х„т..., х )» ут=дт(хт,, х„) = ~ сихт+ ат, ь» является взаимно однозначным и для вычисления плотности распределения В можно воспользоваться формулой матнмктичкскои ожидании [гл: е дгк (5.6.5). Поскольку — = си, то якобиан преобрааования Х дк имеет ввд Х = ~ С ) и х, = Д сц' (у~ — а~), где сй'— 1=к элементы матрицы, обратной к С, Иа формулы (5.6.5) получим Рк(рк*"'У.)=!У! 'Р1(У '(У))= =()Г2п) "~Х/ 'е к '" 'е (7 5) где ~ /(у — а) = ~ хк = ~ ( ~ см (у1 — а,)) к к к=к !=к г Г (уь — ап) (ун — ам) ( ~ с2,сД,) .
(7.6) 4, !~к к=к Отсюда следует утверждение теоремы. Действительно, 0 Ц] = В (К вЂ” единичная матрица), и согласно теореме 7Л имеем В = С0 [Ц С' СС'. Следот вательно, Ц Ь!,л '1 = В ' = (С') ' (С) к = $ ~д"„ск),сии и $ В $ = к=к = '/ С /к. Заменяя в (7.5) и (7.6) / У ) = 7// В ! и Д ск),ск~, найк=к денными выражениями, получим (7.4). Таким образом, параметры невырожденного много- мерного нормального распределения определяются пер- выми и вторыми моментами. В $5 было показано, что равенство нулю ковариации является необходимым усло- вием неаависимости случайных величин.
Если Ьк, = сот (Чк, тк) = О, й чй 1, то (7.4) распадается на произ- ведение одномерных плотностей распределения. Таким обрааомк равенства Ьк~ = О, й ~ ), необходимы и достаточ- ны для независимости координат случайных векторов, имеющих плотности распределения (7.4). При небольших аначеннях г можно явно выравнть величины Ь)к через Ьк,. Пусть, например, г = 2.
Тогда ак ракак1 1/ак — р/ака, В '= ( В ~ = (1 — рк) скок' и, следовательно, 1 Рчдь (хк, хк) = е к ' ", (7,7) 2какак )/1 — Рк 9 71 мнОГОмеРнОе новмальное Распведвленне 121 где 1 2 Уже отмечалось (свойства 1', 3'), что как одномерные распределения величин О, и Ч„так и совместное распределение величин ь1 = с11Ч1 + с12Ч21 ьв = ев,Ч, + е22Ч, нормальны. По теореме 7.2 имеем МЧ1 = а„0Ч, = о12, Мт(2 = а„02(, = о'„соч (Ч„О,) = ро1о„и, следовательно, можно выписать формулы для одномерных плотностей Ь1 и ~2.
Испольвуя свойства математических ожиданийх нетрудно найти параметры распределения вектора (ь ьв). Действительно, МЬ1 —— с1,а, + с„ав, М ьв = св,а, + се,авс 0Ь = с'„о,' + с,',о', + 2с„с12ро1о22 01.2 = с'„о,' + с'„о, '+ 2с21сввро1о22 соч (~1, Ьв) = с„емо', + с„е„о', + (с„с„+ с„с„)ро,о,. Если случайные величины Ч„Ч, невависимы, о, =* о, и матрица С ортогональна, то величины Ь„Ь2 невависимы так как р= О, 2 2 2 2 с1, + см = с,1 + с,в = 1, с11см + свесы = О иа следовательно, соч (Ь„ Ьв) = О. Можно найти в условную платность распределенвв Ча прн условнн, что фввснрсвано Ч1. Ив формулы 1~-аф 1 в12 Р„,(*) = У 2пс, и формул (7,7), (6,11) получим Рж (х! Ч1) = Ража (Чм х Урн (Ч1) 1 1 / а1 вар 1 — ~ х — аа — Р— (Ч1 — а1) Д, р~2п (1 — рв)са ( 2 (1 — ре) <г' ~ с1 (гл. в мьтимлтичнскои ожидании Такам образом, условное распределение оказалось нормальным и М (Чз ( Чк) = ез+ Р— (Чк зк)~ сз ск 0 (тв ( тв) = (1 — р') аз.
Звдвчм к главе 6 1. Найти математическое ожидание величины т, определенной в задаче 14 гл. 5. 2. Обозначим в номер испытания, в котором появился нужный ключ (см. првмер 3 иа $1 гл. 2). Найти МВ. 3. Решить задачу 2 з случае с возвращением ключей. 4. Найти Мтч"о величины тч"о, определенной в задаче 16 гл. 5. 5. В аадаче 17 гл. 3 обозначим т время свободного пробега молекулы. Найти Мт, От. 6.
найти м ($, + $з) и 0 (вт + в ), где ты вз определены в задаче 22 гл. 5. 7. Пусть $ — число комбинаций НУ е з + 1 испытаниях схемы Бернулли. Найти МВ, ОВ. В. Иа 100 карточек с числами 00, 01, 02,... 93, 99 наудачу вынимается одна. Пусть Че Чз — соответственно сумма и произведение цифр ва вынутой карточке. Найти МЧ1, МЧ», ОЧм ОЧ». 9. Для величин в;, вз определенных з задаче 11 гл. 5, найти МВО Мвз, Осе ОВ», соч (Ве Вз). 10.
Совместное распределение величин $;, $» определяется — = (,= ормулами Р(В,= О, В = 1) Р(В1= 0, Вз= — 1) = Р(В =1, з = 0) = Р ($к = — 1, Вз = 0) = 1/4. Найти МВО МВ», ОВО Осз, соч ($0 $»). Являются ли в;, вз независимыми величвнамиу 11. случайные эелвчинй $1, вз, $з, $е вз независямы; 0$~ = оа, найти коэффициент корреляции величии а) вт + $„вз + в, + вк; б) $1+ $ + $„$. + $а+ $,. 12. Пусть (ве вз, ..., вя) — дискретный случайный вектор с полкномизльвым распределением (4.2.7). Найти МВ», соч (В», $~), »,1=1,...,)'т'.
13. Для величины рз, определенной в задаче 13 гл. 2, найти (ре ). У к а з а н и е. Пусть Ак = (й-я ячейка осталась пустой), » = = 1,..., К. Использовать равенство (рз)0) = Ат +... + Ам. 14. Для величины рз, определеввойв задаче13 гл. 2, найти Мр, Оре. Найти асимптотические формулы при К вЂ” со, = а= солей Ф 15. В задаче 9 гл. 2 оценить с точностью до 0,004 вероятность Р появления хотя бы один раз тяжелых поевдов в двух соседних интервалах.
У к а з а в и е. Докааать, что т т Х Р(Ак) Х Р(А» 4 )~Р(А'+'"+А ) ~ Х Р(А») »»ы »ы»свят к=» 16. По з конвертам случайно разложвли п писем различным адресатам. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет своему адресату. Найти предел этой вероятности при л - оз, злдлчи к гляни с 17. В задаче 16 квйти математическое ожидание в дисперсщо числа $ писем, попавших своему адресату. У к а в ли а е. Представить $ в виде суммы индикаторов.
18. В )У ящиков случайно и невависимо друг от друга бросают шара, пока не останется пустых ящиков. Обоеначим т число брошенных шаров. Найти Мт. У к а з а и и е. Представить и в виде суммы времен между авполневиями новых ящвков. 19. Найти Р ( ) 9 — Мв ( > 3)г'031, если 9 имеет: в) нормальное распределение; б) покаевтельное распределение; в) равномерное распределение на отреаке ( — 1, 1); г) Р (5 = — 1) =Р (5 =1) = 1 8.
= —, Р(5 =0)= —; д) распределение Пуассона с Мс = 0,09. Г8' 9' 20. Иногда в приложенвях сложную функцию от случаиных аРгУмевтов (11, вт,...) ваменЯют линейной частью ее Рааложевии по формуле Тейлоре в окрестности точки (М$1, МЬ»,...) . Пусть случайная величина 9 распределена нормально с параметрами МЬ = О, Ой=си и 1($)=$+ЙР, й>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
