В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отсюда следует утверждение теоремы, так как Мт) =еР(И,) =еР($~е), Доказанная теорема позволяет легко получить неравенство Чебышева. Т е о р е и а 5.2 (неравенство Чебьппева). Если случайная величина $ имеет дисперсию, то при любом е ) О Р (~ $ — Мэ ~ ~ е) ~( —, . Д о к а з а т е л ь с т в о. Случайная величина = (4 — М$)в ~) О при всех а б= И, и Мц = М (Э вЂ” М$)в = = 0$ конечно. Следовательно, можно воспользоваться неравенством (5Л).
Таким образом, Р(~$ — М$~) е)=Р(В~; е')( —,Ч = — е. закон вольших чисвл з з! Неравенство Чебьппева позволяет оценивать вероятности отклонений аначений случайной величины от своего математического ожидания. Пусть,,например, нужно оценить долю бракованных изделий в партии, содержащей Ф изделий. Обозначим число бракованных изделий М. По схеме случайного выбора без возвращения отберем и изделий. Пусть среди отобранных иаделий $ бракованных. Случайная величина $ имеет гипергеометрическое распределение (см. $1 гл.
2). В Ц 2 и 3 было покааано, что М М ( М~ Х вЂ” л М5=п — а=я — ~1 — — ) т' —,т~ к)л — г Отсюда Воспользовавшись неравенством Чебышева, получим Другим примером полезного применения неравенства Чебьпаева является оценка ошибки приближенного значения измеряемой величины. Пусть проводится п независимых измерений некоторой неиавестной величины а. Ошибки измерения 6„6„..., б„будем считать случайными величинами. Предположим, что М6„0, й = = 1, 2,..., и. Это условие можно рассматривать как отсутствие систематической ошибки. Пусть еще 06„= Ь'. За значение неизвестной величины а принимают обычно среднее арифметическое результатов измерений. Тогда ошибка в определении числа а будет равна Ьь+ Ьз+... + Ь„ Ч = з з ь* 0ц = — (06 +... +06 )= —, Мц =О.
Предположим, что нам нужно, чтобы ошибка ц„не пре восходила Ь с достаточно большой вероятностью. Например Р (~ тЬ, ( ( 6) ) 0,99. Нг (гл. э.. матиматичноков ожидании Это неравенство можно записать в эквивалентном виде Р (( и„( > Л) < 0,01. (5,2) По неравенству Чебышева имеем пч„ьэ Р(!Ча!>Л)( ~," = „~, Следовательно, (5.2) будет выполнено, если —, ~(0,01, или л~100 —, Таким образом„мы получили оценку числа измерений, необходимого для получения заданной точности. В рассматриваемой задаче оценка для л является завышенной. Ее можно улучшить, если воспользоваться тем, что ц„ является суммой независимых случайных величин. Будет показано (см.
теорему 4.1 гл. 7), что при больших и величина т(„имеет распределение. блиакое к нормальному. Однако если о случайной величине ничего не известно, кроме математического ожидания и дисперсии, то оценку, которую дает неравенство Чебышева, улучшить нельзя. Укажем распределение случайной величины, для которой неравенство Чебышева при данных Ь' = 0$ и з ) Ь обращается в равенство. Пусть Ь~ ~В Р($=0)=1 — —,, Р($ = — е)=Р($=е)=— е' ьа Тогда М$=0, 0$=М$'=( — е)' ~, + з' ~, — Ьз Р(1з! >е) =- —,, Нетрудно получить еще ряд полезных неравенств типа неравенства Чебышева.
Пусть ( (х) — неубывающая неотрицательная функция. Если существует М7'($), тс при любом е ) 0 Р ($ ) )е) ~( — . м( (Ь) 1(з) (5.3) Доказательство проводится так же, как доказательство теоремы 5.1. ЗАКОН ВОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Т е о р е м а 5.3. Если случайные величины Цы $з, ., $„,... попарно независимы и (5.4) то для любого з ) О Доказательство.
Положим ь1+ 1а + ° ° ° + 1„ Ча— Утверждение теоремы равносильно тому, что при любом з)О 1пп Р (! д„— Мд„! ) З) = О. (5. 5) Так как случайные величины $„..., з„попарно независимы, то 0тЬ, = —, ~~~ 0Ь. (5.6) в=1 По неравенству Чебышева Отсюда, воспользовавшись (5.6) и (5.4), получим (5.5). Теорема доказана. Случайные величины $„ ..., $„, ... называют неноррелированными, если сот ($О $~) = О при любых ~, у, 1 ~ у. ~В условии теоремы 5.3 можно вместо попарной неаависимости величин $„ $„ ..., $„, ...потребовать, чтобы они были некоррелированными, так как для некоррелированных величин сохранится формула (5.6).
Если для величин $ы ..., $„, ... выполнено утверждение теоремы 5.3, то говорят, что к ним применим закон больших чисел. Отметим некоторые частные случаи этой теоремы, мАтшаятичвскои ожидании 1гл. г Т е о р е и а 5.4 (теорема Чебышева). Если с.»учайные величины $„$„...» $„,... попарно негависимы и 0$»~С, /с=1, 2,..., (5.7) где С вЂ” некоторая постоянная, то при любом е ) О Р(~ В»+ ° ° ° +4„ м4» +... + м$„! п '(е~ и Теорема 5.4 следует иэ теоремы 5.3, так как иэ условия (5.7) следует (5.4).
Т е о р е м а 5.5. Если случайные величины ..., $„.... одинаково распределены, попарно нееаеисимы и имеют конечные дисперсии, то при любом е ) О 1»шР(~ " — а~(е~=1, где а = М$». Теорема 5.5 следует иэ теоремы 5.4. Действительно» 0$»» й = 1, 2,..., существуют и равны между собой. Следовательно, выполнено условие (5.7). В гл.
7 теорема 5.5 при помощи характеристических функций будет докаэана беэ предположения о существовании дисперсии. Т е о р е м а 5.6 (теорема Бернулли). Пусть и„— число успехов в и испытаниях Бернулли и р — вероятность успеха в отдельном испытании.
Тогда при любом е ) О 1»шР(~ —" — р ~(в~=1. где $»» Й 1, 2,. » ., и, независимы и Р ($» = 1) = р„ Р ($» = О) = 1 — р == д, Очевидно, что М$» = р и дисперсии величин $» конечны. Таким обраэом, доказываемая теорема сраэу следует ие теоремы 5.5. Схема Бернулли является математической моделью серии опытов, повторяющихся в неиэмеиных условиях. Б ке»ядом опыте может проивойти событие А, которое мы назвали успехом. Согласно теореме Бернулли частота 1»„lп наступления события А сближается с вероятностью р, Этот же факт установлен экспериментально, Д о к а э а т е л ь с т в о.
Воспользуемся для и„представлением р. = $ + $»+ .. + $„, услОВные Расптедвгтения 3 е) Математической моделью последовательности из и измерений невавестной величины а является случайный вектоР (6„$„..., $„), гДе 6», )г = $е 2,..., и, независимы, одинаково распределены, Мо» = а, (36» = Ь». По теореме 5.5 среднее арифметическое ($, +... + 6„)/я при больших п мало отличается от иамеряемой величины с вероятностью, близкой к 1. $ 6. Условные распределения и условные математические ожидания Пусть в пространстве ((), 2(, Р) определен случайный вектор ($, Ч). Введем понятие условного распределения величины $ прв условии, что вадано аначенке Ч. Рассмотрим сначала дискретный случай.
Пусть Р(2= ., ч= у) =р..) о, е г 1 е Р (Г = хе) = ~к~~ р = ре )~ О, Р (Ч = у ) = гьм ~ ре =р,,>О. В $1 гл. 3 было дано определение условвой вероятности. По етому определению (3= (ч)=Р(3= '(ч=у)) ю -(ч=уг) )-1,3,"-; М(ь)Ч)=м(ь/Ч у;), если и~в(Ч=уг),) 1,2, где Р (4 = хе! Ч = уг), М ($ ! Ч = у г) определены формулами (6.1) н (6.2). Справедлива следующая формула (у)ормула нолноео .математического олсиданил): м3 = м (м (3 ( ч)), (6.3) Р(3= !ч=у) = " ' = — '~ (61) Р (3 = х., ч = у.) р. Р (ч = уг) р., Если фиксировать у) (нли )), то вероятности (6 1) можно рассматрн вать как условное распределение еаеичинм $ нри уелоеии, чою Ч = уы Уелоенмм математичееним ожиданием случайной ееличинм $ ири уелоеии, что Ч = уя называется числе м(2)ч=у)= (6.2) л л~ Р.г е=д Если левые части (6.1) в (6.2) рассматривать как функции от уя то можно считать условное распределение и условное математическое ожидание случайными велнчинами, определенными в исходном вероятностном пространстве ((е, 3(, Р).
Тогда условное распределение и условное математическое ожидание 3 при условии Ч определяются соответственно формулами ]гтг. а математичнское ОЖидАние Здесь условное математическое ожидание в квадратных скобках рассматривается как случайная величина.
Применяя формулу (1.6) к случайной величнне м (а ] ч), можно (6.3) ааписать в следующей эквнвалентной форме: ОР Мб = Ч, 'Р (Ч = у,] М (б ] Ч = у,]. (6.4) 7 Докажем формулу (6,4). Воопольаовавшись определением (6.2), получим ъ-1 ч-т Р (ч = хг, Ч = у,) М (б 1 Ч = у,) = > Р (Ч = у,) Р(Ч= у) 7=1 7=1 Ю СЮ хгР (5 = хг, Ч = у ) = ~~7 ~ х. ( ~7 ~ Р (б = хг, Ч =. у.)) . 7=1 7=1 Так как ~ Р (б = хп т] = у;) = Р (а = х1], то правая часть по7=1 следнего равенства равна М$.
Покажем, что ва формул (6.3) и (6.4) следует формула полной вероятности. Пусть (], если в1ИА, '(О, если в7ИЯ, где ВВ;= 8, 1Ф7, (] В7- — (]. Тогда 7=1 мб=р(ц], Р(Ч=у) =Р(В), м(5]Ч=у]=Р(А]В). Подставляя эти выражения в (6.4), получим формулу полной вероятности со счетной системой событий „„..., В„, .. л Р(А) = Х Р (Ва) Р(.4]Ви). (6.5] Положим в (6.5) А = (5 ш С], Вк = (Ч = уа], где С ( (х1, ха, ..., х«,...], (хп у;) — аначевяя (5, Ч). Тогда при любом С Р(57мс)= Х Х Р(ч=уа] Р(б=хг]ч=уа) (6.6) Г-тх ао математического ($1 ] Ч) Ч=уреслив1вВ,,]= ],2,...1 Свойства условного ожидания: 1'. М ]7Р (ЧВ Ч] = 7р (Ч). 2.
М]Р(Ч) ь]Ч]=И(Ч)М(ь]Ч). 3' М(ь +ь ]Ч]««М(ьт]Ч)+М (6.7) (6.8) (6.9] (е) УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 117 4'. Если $ и Ч нееаеисими, хю р (х)ч=у)= (»* у) 1 рЬ, (и, у) ди 0 (6.11) Условное математическое ожидание $ при условии, что Ч = у, определяется Формулой М(с(Ч=у) = ~ »РЬ(»(ч=у)д» (6.12) Иэ (6Л1) нетрудно получить, что при любых а и Ь в Ь Р(а~4(Ь) = ~ р, (у) (~ р1(х)ч=у) дх) ду. (6.13) -с а Легко также проверяется формула, аналогичная (6.4): 0 мй = ~ р (у) м (й (ч = у) ду. (6ЛЕ) Если рассматривать (6.11] и (6.12) как случайные величины р (х(Ч) рЬ(х(ч= у), если озж (ч)=у), уев ( — оо, оо); М ($ ( Ч = у), если ю ви (Ч = у), М Я ) Ч) = у ~щ ( — оо, оо), ' то формулы (6ЛЗ) и (6Л4) можно аалисать в виде Р (а ~ Г, ~( Ь) = М (~рЬ(х(ч) йх) а и в виде (6.3) соответственно. Для условного математического ожиданвя абсолютно непрерывных величаи сохраняются свойства (6.7) — (6.10), м(3(ч) = мф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
