В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если интеграл ~... ~ / у (хд,..., х,) ) рд (хд,..., х„) с)хд... йх„ сходипия, то математическое ожидание случайной величины д) = у (9„..., $,) существует и Мд) = ~... ~ д (хд,..., х,) р; (хи..., х,) адхд... с)х„. (1.5) в" Отсюда, полагая и = 1 и у (х) = х, получим формулы для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения или по вероятностям значений дискретной случайной величины. Если ~ Р (9 = хз) = 1, то из формулы (1.4) полую=д чим (1.6) Если рз (х) — плотность распределения 9д то из формулы (1.5) следует, что *) М М9= ~ хр1(х) д)х. (1.7) с) Используя интеграл Стнлтьеса, можно заннсать сбндую формулу Лля вычисления Мь, аналогичную (д.6) н (1.7), в виде Ю м:= ~ сер,(е).
98 матвматнчнскон ожидании ~гл. э 3 Р($1=х»м...,$„=хэ»)=1. »-1 (1.З) Записывая математическое ожидание случайной величины д = т~ (»е ) = л ($, (»е )»..., $, (а )) по формуле (1.2), получим СФ М»«= ~ дД1(«е,„),...,$„(щ„))Р(ю,„). (1.9) »» 1 Преобразование (1.9) к виду (1.4) основано на «приведении подобных членов». Введем множества А« = (ак ь (е»,„) = л (8)).
(1АО) Очевидно, что любая пара А» и А, (1 чь (») не имеет общих элементов и что () А» — — (1, 2, 3,..., т,...). Если МВ «=1 существует, то ряд (1.9) сходится абсолютно и его члены можно произвольно переставлять. Тогда (1.9) можно записать в виде О ч Х Х а6( )) () «=1 и»ЕА« Отсюда» учитывая (1ЛО), находим Мд=* Х (д(х(й)) ~ Р(ю )). «=» »»яА~ В предположении существования МВ формула (1.4) доказана, так как 3 Р(»» ) = Р ($ = х ()»)) = р«.
Если »»мл« абсолютно сходится ряд в (1.4), то, начав с (1.4), можно аналогичными рассуждениями получить формулу для МЧ в виде (1.9). Теорема 1.1 доказана в случае, когда вектор $ задан на дискретном вероятностном пространстве. Доказательство (1.4) для случая, когда дискретный случайный вектор задан на абсолютно непрерывном ве- Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1А. Проведем доказательство для случая, когда случайные величины $„$„,, $, заданы на дискретном вероятностном пространстве (й, 9(, Р) (см. 5 2 гл. 2).
По определению случайный вектор называется дискретным, если существует такое множество точек х (Й) = (х»ы х»„..., х«„), Й = 1» 2,...,что ош кдклвния аы роятностном пространстве, а также доказательство теоремы 1.2 приведены не будут. Эти доказательства при условии использования только фактов из курса обычного анализа потребовали бы введения дополнительных лишних ограничений на рассматриваемые случайные величины. Приведенное для дискретных пространств доказательство дает достаточно хорошее представление о связи формул (1.2), (1.3) с (1.4), (1.5).
Воспользуемся формулами (1.6) и (1.7) для вычисления математических ожиданий случайных величин, имеющих распределения, приведенные в $3 гл. 5. 1. Норма ьное распределение. Подставляя в формулу (1.7) плотность нормального распределения, получим О и-ав 2 М$= ~ х е ев' дх .) у 2зв и 40 ф ~ уе з ду+ Р~е з с(у. и Р* 2 Так как функция уе ' нечетная, а =е ' является )/ 2п плотностью нормального распределения с параметрами (О, 1), то первое слагаемое в правой части последнего равенства равно О, а второе а. Таким образом, если случайная величина $ распределена нормально с параметрами (а, а'), то М$ = а. 2.
Показательное распределение: 1 М$= ~ хрДх) ах = ~ ахе '"Ох =в Э о 3. Равномерное распределение: м~= —, в+а 2 а Найдем теперь по формуле (1.6) математические ожидания некоторых дискретных случайных величин, 4. Биномиальное распределение. Из формулы ь М$= Я тС р (1 — р)" '", мсз !гк. в млтвмлтичксков ожидлнии воспользовавшись равенством тС„= пС„:,', получим Щ=пр ~ С„',~р г(1 — ру' =пр(р+(1 р)) -г т=1 Таким образом, М$ = пр. 5. Пуассоновское распределение.
Так как а !ы Ъмг М$= ~' т — е-"=Ъе-ь ~' =Ъе-" еь — 2 =! — 2. ( -1)!— йо ФВ=1 то М$ =Ъ. ф 2. Свойства математического ожидания Приведем основные свойства математического ожидания. Теорема 21. 1'. Если С вЂ” постоянная, то МС = С. 2'. Если С вЂ” постоянная, то М (С$) = СМг 3'. Для любых величин $ (М2(< М(2~. 4'. Для любых случайных величин $г и $г М(2, + 2г) = М2, +М2,. Если ив участвующих в равенстве математических ожиданий какие-нибудь два существуют, то существует третье. 5'.
Если случайные величины $г и $г независимы, то М$Д = М$, М$г. ХХа существования любых двух мательатических оясиданий следует существование третьего. Доказательство. Свойства 1' — 4' следуют из соответствующих свойств интеграла или ряда. Докажем, например, свойство 4' для величин, определенных в абсолютном непрерывном вероятностном пространстве (см.
$4 гл. 2). Пусть $„$г заданы на вероятностном пространстве (ьг, ч(, Р). Тогда сумма $, + $г также является случайной величиной, определенной на том же вероятностном пространстве, и по формуле (1.3) М$1+ $г)=~ ° ° ° ~($г(и) + $г(и)) п(и) йи1... Ии„= = ~... ~зг(и) я (и) Ыиг... би„+~ ° ° ° ~2м (и)я(и) Нип .. йи„= в о = Маг + М$г (и = (ип..., и„)).
з 31 СВОЙСТВА МАТВМАТИЧВСКОГО ОЖИДАНИЯ 1ОЛ Здесь мы воспользовались тем, что интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов. Докажем свойство 5'. Пусть, например, $» и $» — абсолютно непрерывные величины и рьи, (и, и) — их плотность распределения. Так как $д и $л независимы, то рл,л, (и, и) = 7~, (и) ри (з). По формуле (1.7) с п = 2 и К (л„л») = хлх, получим МЫ»= ~ ~ пири(и)рь(и)диде= = ~ ирз (и)Аи ~ орь(с)<Ь=М$».М$».
<» Из свойств 2' и 4' по индукции следует, что М (СД» -+... + СД„) = С»М$» +... + С„М$„. (2.1) Приведенные выше свойства помогают при вычислении мателлатических ожиданий. Рассмотрим два примера. П р и м е р 1. Пусть $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, ол). В т 1 было показано, что М$ = = а.
Найдем математическое ожидание величины й =А$+В: Мц = АМ$ + В = Аа + В. Таким образом, формула для Мй дает простое объяснение формулы для параметра а,. П р и м е р 2. Пусть р„ — число успехов в и испытаниях Бернулли с вероятностью р успеха в отдельном испытании. Эта величина имеет биномиальное распределение. В $ 1 было показано, что случайная величина с биномиальным распределением имеет математическое ожидание, равное пр. Покажем, как этот результат можно получить при помощи представления р„в виде суммы индикаторов (5.5.13): )л.
= $л + $» + + $. где $» — независимые одинаково распределенные случайные величины с Р (ь» = 1) = Р, Р (»ь» = О) = 1 — Р По формуле (2.1) Мр„=М5,+М5,+... +М~„. Слагаемые легко вычисляются по формуле (1.6): М$» —— 1 р + 0 (1 — р) = р, 7» = 1, 2,..., и. Таким образом, Мр„= пр, тог ~гл. в МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ П р и м ер 3. Изурны,содержащейМбелых и /(/ — М черных шаров, по схеме случайного выбора без возвращения извлекается и шаров (см. т 2 гл. 2). Пусть $— число белых шаров в выборке. Найдем М$. Обозначим А„ событие, состоящее в том, что /к-й шар в выборке оказался бельгм. Представим $ в виде суммы индикаторов $в ии 1А„, Й 1,...»П: и» = »и1 + »иг + ° + $ ' (2.2) Так как Р ($» = 1) = М/Л/(см.
задачу22 гл. 2),тоМ$» —— М//'к/ и М$ и М/Ф. В качестве еще одного примера использования свойств математического ожидания докажем следующую теорему. Т е о р е м а 2.2. Если А„А1,..., А„— проиввольные события, то и Р( () А )= Х ( — 1)'"+1 Х Р(4»,А». ° А» ) ик=1 ы»,<к,«...к <и Доказательство. Из равенства Ц А,„= () А,„ т=1 »и=1 следует, что Р ( 0 Ате) = 1 — Р ( П .4'и,). (2.3) Пусть Чк = УА» (/к = 1, . ° .1 л) — индикатор события 4 „ Тогда случайная величина й ° П (1 — »)») принимает К=1 два значения: значение 1, если все дк — — О, и значение О в остальных случаях. Событие (31 = Ри =... = »~и =* О) = А»А»,, Аи. Следовательно, (2.4) Так кан В=1 — Х ( — 1)"" Х Ч,...д,, ки=1 1<К,«...К <и то и М11=1 — 2) ( — 1) " 3 Мк)~, Вк .
(25) ки=1 1Я» «-.» <и З »1 тзз Очевидно, что 1, если ю ~ А», ° . ° А» ул»»,Ф ( О, если ю~зА»,... А» Поэтому МЧ»,»)«, ° ° ° »)» = Р (А»,А», ° ° А» ) (2.6) Утверждение теоремы следует теперь из формул (2.3)— (2.6). Приведенная в теореме формула обобщает формулу (1.3.7). б 3.
Дисперсия 03= ~ (х — М$)»р»(х) Ых. Для дискретной величины з из (1.6) найдем 4 0$= ~ (х» — М$)»РД=х»)„ »=1 где ~ Р($=х»)=1. »» (3,4) Дисперсией 0$ случайной величины $ называется число 0$ = М (з — М$)», (3.1) если математическое ожидание в правой части (ЗЛ) существует. Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.
Величину у'0$ называют средним квадратичесним отклонением. Если воспользоваться свойствами математического ожидания, то правую часть (ЗЛ) можно привести к следующему виду: М Я вЂ” М$)» = М (Р— 2$М$ + (М$)») = = МР— 2М» М$ + (М$)». Отсюда и нз (3.1) следует, что 0$ = М$» — (МЗ)». (3.2) Если случайная величина $ абсолютно непрерывна, то„ полагая в формуле (1.5) и = 1 и я (х,) (х, — М$)»,. по- лучим [ГЛ.
е млтвмятическое ОжидАние «а Приведем свойства дисперсии. Теорема ЗЛ. 1'. Для любой случайпой величины $ имеем 0$ е О. 2'. Если с — постояпная, то Рс = О. 3'. Если с — постоянная, то 0 (с$) = с«0$. 4'. Если случайные величины $, и $, пееависимы, то 0 (5, + 5,) = 05, + О2,. (3.5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойства «' — 3' следуют непосредственно из определения и свойств математического ожидания.
Докажем свойство 4'. По определению (ЗЛ) О а, + ~,) = М (д, + ~,) — М а, + ~,))з- = М((2, — М2,)+ Д, — М2,))з = = М ((5, — МЗ,) + (5, — МЗ,) + + 2 (К«М$1) (Вз Мзь«)) (3.6) Отсюда, так как случайные величины $, — М$„$« — М$з независнмы и М ($« — М1«) ($з — М$«) = М ($« — М5[) М Яз — М$з) = =(М",« — М1«) (М$« — М$,) =О„ следует, что 0(2«+ Ь,)=Ма,— М2«)'+ М(Ь вЂ” М~ ) =02'+ 01 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
