В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вероятность события, являющегося квадрируемым подмножеством, равна его площади. Случайными величинами являются, например, функции ь = $ (о») = )' и» + 㻠— расстояние брошенной точки от начала координат, ц = Ч (и, и) = и — первая координата брошенной точки и т. д. Найдем функцию распределения величины»).
При О < х < 1 имеем ((и, и): $(и, и)<х) =((и, о): и<х), Стороны этого прямоугольника равны 1 и х. Таким ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 73 образом, Р (((и, и): и(х)) = х О, если х(0, Р„(х) = х, если 0(х(1, если х) 1. П р и м е р 3. Рассмотри»1 следующий опыт. Пусть один раз подбрасывается монета.
Если выпал «герб», то на этом опыт заканчивается. Если выпала «решетка»» то на отрезок [О, 1) наудачу бросается точка. Для описания этого опыта введем следующее пространство элементарных событий: 'л« = (Г; (Р, и)), где 0 ( и ( 1; о-алгебра а пусть порождается событиями (Г); ((Р, и): а~ и< Ь), где 0 ( а ( Ь ( 1. Положим Р((Г)) = —, Р(((Р, и): а (и(Ь)) = ь=ь(Г)= — 1, ь=ь(Р, и) и, Так как Я* если х ( — 1, (1 ( х) = 1 (Г), если — 1 ( х ( 0« (Г) + ((Р,и): 0(и(х), если 0(х(1, х ( — 1, — 1(х(0,. О, 1 — если х+ 1 если 2 Р1(х) = О(х(1„ х) 1. 1, если По вероятностям этих событий однозначно определяется вероятность на т(. Рассмотрим случайную величину ь» определяемую равенствами слгчлинык вкличиньт 1гл. з й 2.
Свойства функции распределения Пусть Р (х) — функция распределения некоторой случайной величины $. Формула (1.3) определяет г" (х) при любом действительном х. При х = + оо и при х = — оо положим Р ( — оо) = О, Р (+ оо) = 1. Т е о р е и а 2Л. Функция распределения Р(х) обладает следующими свойствами: 1. Если х, ( х„то Р (х,) ( Р (хе). 2.
11ш Р(х) = Р( — оо) = О; 11ш Р(х) = г" (+ оо) = 1. Х вЂ” СО х +с 3. Пвз г (х) = Р (х,) (непрерывность слева). х«х,-в Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Так как ($ ( х,) С ($ ( х,) при х, ( х, то неравенство Р(х,) ( Е(хт) следует из (1.3.9). 2. Так как последовательность событий Д ( — и), и = 1, 2,..., монотонно убывает (т. е. ($ ( — п) . Э ~ Д ( — и — 1), п =1, 2,...) и П ($( — и) = Я„то я 1 по формуле (1.3.3) получим П ш Р ( — и) = 11ш Р Д < — п) = Р (Я) = О, Отсюда с учетом доказанной монотонности функции Р(х) получаем, что 11ш Р (х) = О. Второе соотношение во х -ю втором свойстве доказывается аналогично с испольаованием монотонной последовательности (з ( и), и = 1, 2,...
3. Пусть числовая последовательность у„возрастает и 1пп у„= х . Тогда (5<у„)С:(а<увы), () ($<уо)=(ь<хв) яал и по формуле (1.3.11) 1 пп Р ($ < у„) = Р ($ < хо). Отсюда с учетом монотонности р (х) получим третье свойство. Теорема доказана. Иногда, вместо (1.3), функцию Р (х) определяют по формуле Р (х) =- Р (з ( х).
При таком определении функция Р (х) непрерывна справа: 11ш Р(х) = Р(хв). я м,+о Любая функция 6 (х), обладающая тремя свойствами, указанными в теореме 2Л, является функцией распреде- $3! дискРетпые и непРЖРыввые РлспРеделения 7$ ления некоторой случайной величины, т. е. можно построить вероятностное пространство (й, в[, Р) и определить на нем случайную величину $ такую, что р«(х) = = 6 (х). Положим И (и: — оо < и ( со). Обозначим Ф алгебру,- порожденную полуинтервалами [и„и ). Па этих полуинтервалах зададим вероятность с помощью равенства Р ([и„и,)) = 6 (и,) — 6 (и,). (2 1) Эта формула однозначно определяет вероятность на алгебре Ио«). Если мы теперь положим $ = $ (и) = и, то ГЭ (х) = Р ($ (х) = Р (( —, х)) = [1ш [6 (х) — 6 ( — )) = = 6 (х). При изучении отдельной случайной величины можно заменить исходное вероятностное пространство (И, э[, Р) на вероятностное пространство, в котором множеством злементарных событий является числовая прямая 0 (т.
е. множество значений случайной величины), а вероятность Р на подмножествах Й определяется формулой (2.1) с 6 (х) = Рэ (х). Вероятность Р называется законом распределения случайной величины или просто распределением В приложениях иногда оказывается удобным описывать результаты опытов или измерений в терминах случайных величин. В этом случае при построении математической модели в качестве пространства элементарных событий можно выбрать множество значений случайной величиньг, и если случайная величина одна, то, как было отмечено выше, достаточно задать ее функцию распределения.
й 3. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения Отметим двв важных частных случая законов распределений. Закон распределения случайной величины называется дискретным, если существует конечное или счетное множество чисел х„х„..., х„... (бев точек накопления) таких, что Р ($ = х„) = рв ) О, и = 1, 2, ...;, р„=1. «=1 «! По теореме о продолжении ввроятвостп мм можем едввствеппым образом продолжать ввдвввую вв 1!«ввроятвость ва мвввмвльвую о-алгебру 7[, порожденную 7!«.
гз СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1гл. 5 Дискретный закон распределения полностью определяется указанием значений х„, и = 1, 2,..., и вероятностей р„, с которыми зти значения принимает случайная величина. Случайная величина, имеющая дискретный закон распределения, тоже называется дискретной. Отметим также, что для любого конечного или счетного набора пар (х„, я„), и = 1, 2,..., где х„— попарно различные действительные числа и па)0, п=1,2,...; ~я„=1> авн можно указать дискретную случайную величину $ такую, что Р ($ = х„) = и„.
Действительно, пусть Й = (х„х„., х„, . ° ) Для любого подмножества А ~ О положим Р(А)= Х и . :а ял Тогда для $ = $ (х„) = х„имеем Р Д = х„) = я„. Закон распределения случайной величины $ нааы- вается абсолютно непрерывным, если существует неотри- цательная функция р> (х) такая, что при любом х РГ (х) = Р (аз ( х) = ~ ра (и) йи. СЮ Случайная величина, имеющая абсолютно непрерывное распределение, называется абсолютно непрерывной. Ниже мы будем всегда предполагать, что ра (х) непре- рывна всюду, за исключением конечного числа точек.
Функция р> (х) называется плотпнооп>ью распределения ве- роятностей. Очевидно, Р (а ( $ ( Ь) = ~ р> (х) в(ха а (З.1) 1 1 а+>/а Р($=а)=-Нш Р(а($(а+ — 1=1(га ~ ра(х)г(х=0. и и г а- а Отсюда следует, что для абсолютно непрерывных величии Р(а($(Ь) =Р(а<$(Ь) =Р(аЯ<Ь) = =Р(а< 5 < Ь). Если х является точкой непрерывности ра (х), то при Дх- 0 Р (х < $ < х + д>х) = ра (х) йх + о (йх). а 3) дискРетные и непРеРывные РАспРеделения тт Это равенство следует из (3.1).
Плотность распределения, обладает следующими свойствами: 1) р; (х) ~ 0 — оо < х < оо 2) ~ рг(х)дх=1; 3) Рг (х) = Рг (х) в точках непРеРывности РГ (х). Плотность распределения полностью определяет распределение случайной величины. Функция распределения абсолютно непрерывной величины, очевидно, непрерывна. Пример 3 из $1 показывает, что существуют распределения, не принадлежащие ни одному из указанных типов. Нетрудно проверить, что любая неотрицательная функция р (х), интеграл от которой по всей числовой прямой равен 1, является плотностью распределения некоторой случайной величины. Действительно, если в определении абсолютно непрерывного вероятностного пространства (см. з 4 гл.
2) положить и = 1, п (и,) р (и,), то плотность распределения случайной величины $ $ (иг) ° нг совпадает с р (х). Приведем несколько часто встречающихся законов распределения. Сначала перечислим некоторые дискретные распределения. 1, Вырожденное распределение. Р ($ = а) = 1, а — постоянная. 2. Гипергеометричеекое распределение (У, М, и — натуральные числа, М ( У, и ( У): Р ($ = т) = С~~Сг~~ ~~/С~, т = О, 1, ..., ш)п (М, и).
3. Биномиальпое распределение (и — натуральное число, 0<р<1): Р(3=й) =С"„р" (1 — р)о, й=О, 1,..., и. 4. Распределение Пуассона е параметром Х) О~ А Р(е=й)= —,— е-ь, й=0,1, 2,... 5. Геометрическое распределение (О < р < 1): Р (с = й) = (1 — р) ' р, й = 1, 2, ... Перечислим теперь некоторые абсолютно непрерывные распределения, указав их плотность р(х). ~гл, б случаннын Внлнчипы 1. Равномерное распределение на отрезке [а, Ь), а ( Ь: 1 — х Е [а, Ь)„ р(х) = О, хбБ[а,Ь), 2.
Нормальное (или гауссовское) распределение с лара- метрами (а, аг) (а) О, — оо( а( оо): (х-л)' 1 р(х) = — е У'Бо Нормальное распределение с параметрами (О, 1) называют стандартна нормальнмм распределением. 8. Показательное распределение с нар метром Х ~ 0: /Хе-"", х ьО, ( О, х(О. Случайные величины с указанными выше распределе- ниями часто появляются естественным образом в разных аадачах. Так, в примере 1 (см.
$1 гл. 2) случайная величина, равная числу шаров в выборке, имеет гипер- геометрическое распределение (см. (2Л.5)). В 1 2 гл. 4 была введена случайная величина р„, равная числу успе- хов в п первых испытаниях схемы Бернулли. Эта вели- чина имеет биномнальное распределение (см. (4.2.6)).
Для бесконечной последовательности испытаний Бер- нулли (см, $4 гл. 4, (4.4.1) — (4.4.3)) определим случай- ную величину т, равную числу испытаний до первого успеха (или до первого исхода 1) включительно. Тогда (т = )с) = Аг~пА~ь~... Аь~ ПА~®, где события Аг',У опреде- лены формулой (4.4.2). Отсюда и иа формулы (4.4.3) получим Р (т = )с) = (1 — р)" " р. Таким образом, вели- чина т имеет геометрическое распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
