В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Здесь, например, символом А,А,А, обозначено элементарное событие, соответствующее в реальном опыте перекладыванию иэ первой урны белого шара, а из двух других — черного. Событию А, реального опыта соответствует в математической модели следующее подмножество Й: А, = (АгАзАз АгАзАз АгАзАз АзАзАз). 50 послкдоватжльности испь7тьнии 7гл. 4 Аналогично определяются события Яп А7, соответствующие реальным событиям Аь Аь Ниже мы не будем использовать разные обозначения для реального события и соответствующего ему события модели, т.
е. положим А~ = А,, Тогда на введенные формально обозначения для элементарных событий можно смотреть как на произведения соответствующих событий. Если состав шаров в данной урне известен, то мы легко можем задать вероятность события, состоящего в извлечении из этой урны шара определенного цвета. В рассматриваемой аадаче состав шаров в урне становится известным, если известно, какой шар в данную урну был переложен.
Таким образом, мы можем считать, что заданы вероятности Р (А,), Р (А,), Р (Аз ~ А,), Р (А, ) А,Аз) и т, д. Например, Р(Аз)= 5, Р(Аз) Аь)= 5, Р(Аз) АгАз) = 5, (1.1) 2 3 4 При определении второй и третьей вероятностей мы использовали то, что во вторую и третью урны был пере- ложен белый шар и их состав стал соответственно: 3 белых, 2 черных; 4 белых, 1 черный.
Аналогично можно приписать значения другим условным вероятностям. По заданным условным вероятностям так же, как в 1 2 гл. 3 (см. (3.2.5)), мы можем полностью восстановить распределение вероятностей на подмножествах й. По формулам (3.2.2) и (1А) находим Р(А)АзАз) =Р(Аэ) Р(Аз ~ Аь) Р(Аз) АзАД 5 ' 5 5 2 3 4 Аналогично приписываются вероятности другим элемен- тарным событиям. Окончательно получим 24 Р (АэАзАэ) = 125 24 Р(А~А~Аз) = ~2 Р(АэА Аз) = Р(АэАзАэ)= $25 18 125 8 (1.2) 125 27 125 Р (А,А,Аз) Р(А~АиАз) Р (АА~Аз) Р (А~А~Аз) По этим вероятностям однозначно определяется вероят- ность любого события, овщви опэвдвлкнии 1=1,2,3.
Тогда Вз = (АзАзАз АзАзАз)з Вз = (АзАзАзз АзАзАз)' Вз — — (А,АзАз АзАзАз АзАзАз~ АзАзАз) Р(Вз) = 1т, Р(Вз) = 1э, Р(Вз) = 124 14 60 51 Дадим определение последовательности испытаний. Пусть множеством элементарных событвй является мно- жество за = ((1з1з ' ' . 1з): 1з = 1~ 2... „Х; й = 1, 2з ° ..з п). (1.3) Элементарное событие в = (1з1з...
1„) интерпретируется как цепочка исходов в п последовательных испытаниях, каждое иэ которых имеет У несовместных исходов: 1з 2,..., Л'. Положим р (в) = р (1д)р (1з ~ з,) ° .. р (1„~ 1з... 1з з)з (1.4) где р ( 1, ~ 1з., 1,,) ~ Оз Я р(1,~11...1,,) =1, (1.5) з= 1„...п, $ =1 3 1„= 1з, „У„1 <. й ~( п. Тогда на подмножествах И„однозначно определяется вероятностзп Р(А) = Х р(в), А1 П„. (1.6) вал Нужно только проверить (см. т 2 гл. 2), что ~ р(в)=1, ево (1,7) Пусть, например, Вз = (после перекладываний в первой урне оказалось 1 белых шаров), 52 последовАтельности испытАнии ~гл.
«:. Для доказательства (1.7) заметим, что Х Р ( ) = Х Р (11) Р (12 ~ 11) Р (1. М '.- ) = п =о 12=1 р (11) ' ' р (1ь-1 ) 11 . 12-2) л» Р (1ь (11 ° 12-1) = 2 =1 ь Р (11) Р (12 ( 11) Р (1 ( 11' 1 - ), Ч'" ' ~ь-1 так как ,'~~ р (1„~ 1,, 1„,) = 1 согласно (1.5).
Далее 1 =1 ь мы можем выделить сумму по 1„, и вновь воспользоваться (1.5). Повторив этот процесс и раз, получим (1.7). Таким образом, мы определили вероятностное пространство, являюи«ееся математической моделью последовательности из и испытаний. Нетрудно проверить, что число р (12 ( 1,... 11 1) является условной вероятностью появления в )с-м испытании исхода 12 при условии, что до этого была получена цепочка исходов (1112... 1„,). Схему случайного выбора без возвращения, введенную в $1 гл. 2, естественно определять как последовательность испытаний.
Для этого условные вероятности р (1, ( 1,... 1, 1) нужно задать следующим образом: если известен результат первых в — 1 испытаний, то при в-и испытании с равными вероятностями может быть получено любое из оставшихся чисел. Модель случайного выбора без возвращения, сформулированная в терминах условных вероятностей, совпадает с классическим определением из з 1 гл.
2. Решенная в начале параграфа задача является частным случаем общей схемы испытаний с и = 3, 22' = 2, р (1) = р (2 / 1) = р (1 / 2) = р (2 ! 12) = р (2 / 22) = 2!5, р (2) = р(1!1) = р(2(2) = р(1!12) = р(1(22) = 31'52 р(1(11) =р(1!21) =41'5, р(2(11) =р(2!21) =1/52 где исходы «1» и «2» соответствуют извлечению белого и черного шара. В данной задаче оказалось, что вероятности р (1'~у)2) не зависят от 1.
Это естественно, так как на состав последней урны влияет только цвет шара, переложенного из второй урны, и если этот цвет уже известен, то неважно, что было переложено во вторую урну из первой. $ »1 послидовАтвльность низАвисимых испытАний 53 Последовательность испытаний, в которой условные вероятности р (1» ~ 1,... 1,,) не зависят от р(1» ~ 1». 1»-») = р», '„, сз называется цепью Маркова.
Более подробно такие испытания будут рассмотрены в гл. 8. В случае„когда р (1» ~ )»... 1, ) не зависят от 1„..., 1» „последовательность испытаний называется последовательностью независимых испытаний. $2. Последовательность независимых испытаний По определению, данному в конце з 1» в случае независимых испытаний условные вероятности р (1 ~ 1»... ... 1,,) не зависят от 1„ . ° ., 1» „ но могут зависеть от 1. Если зависимость от Г есть, то независимые испытания называют неоднородными, а в противном случае — однородными. Таким образом, последовательность невависимых однородных испытаний определяется равенствами (1.3), (1.6) и формулой р (ю) = р»,ри...
Р»,1 ~ 1» ~~ »у,й = 1» „,,» и, (2.Ц У где ~«р»=1,р» >О» 1=1,2,...,»"»». »=1 Последовательность однородных неаависимых испытаний является математической моделью серии опытов, повторяющихся в одинаковых условиях. Вероятностную модель, определенную формулами (1.3), (1.6), (2.1), называют также полиномиальной схемой, Частный случай полиномиальной схемы с Ф = 2 называют схемой Бернулли или испытаниями Бернулли. Два исхода каждого испытания схемы Бернулли будем обозначать символами 1 и О или называть «успехом» и «неудачей», а соответствующие им вероятности в одном испытании обозначим буквами р и д = 1 — р.
Покажем, что любые события, связанные с равными испытаниями полиномиальной схемы, взаимно независимы. Пусть Я» (г = 1,..., и) — подмножества множества исходов отдельного испытания (1, 2,..., »»'). Обозначим Вв, событие, состоящее в том, что исход»-го испытания »»» принадлежит множеству Во Теорема 21. Ври любых В„1=1»...,п, Р (Вв,~»В~в",» Вв") = Р (Ввн'~) Р (Вв',) ° „Р (Вв» ~) (2 2) [гл.'а послждовзткльности испгатьнин Доказательство. Так как ~р>=1т >=1 Вяз~» = ((>>>ю .. >и): >, ~ Ю>), Вз'>Вз>...
В',"„' = ((>,>.... '„): ', б= Я„..., ~„~ В„), то из формул (1.5) и (2.1) получим Р(Вз,>В9~ ° ° 'В~ >) = Х 3 ° ° 3 р,рь ° ° ° р „= кнз, >зез* > еэ =Храбр." Х р>„; М я Р(В9>) = 2) р Х рь... Х р; = Х р,. >а=> а яз~ Аналогично проверяется,, что при любых Вз >е > (Вз ) — Х р> >яз ! (2.3) Из доказанных равенств следует утверждение теоремы. Положим Я, = (1) в формуле (2.3). Тогда в (2.3) сумма сведется к одному слагаемому рп которое оказывается вероятностью 1-го исхода в >-м испытании. Коли в (2.2) положить Яэ = Я, =... = Я„= (1, 2,..., Ф)„ то получим равенство Р (В~~>В~~~~) = Р (Вй>) Р (Вф,. так как Вз, =...
= Вэз„= й и Вз,Вз,... Вэ„= Вз,Вз,. >э> ю> и> и> (л> (» и> Аналогично проверяется, что при любых 1 ~ Гг < гз < «...г,~ л имеем Р(Вв~, ° ..Вз )=Р(Вз',),.Р(Вэ,„), (2.4) Таким образом, мы показали, что при любых Я„..., Я„ события Вэ~... Вз" взаимно независимы, Во многих задачах мы часто каждому элементарному событию ставим в соответствие определенноедействительное число, например: величину выигрыша, число исходов данного типа в полиномиальной схеме, число успехов в а испытаниях схемы Бернулли и т. д. Пусть (й, %, Р)— вероятностное пространство. Назовем случайной величиной действительную функцию от элементарного события: з = $ (э>), е> Е= ы. Для дискретных вероятностных пространств случайной величиной мы будем называть произ- г 3! ПослвдовятБльность НИЗАВисимых испытАниЙ 55 вольную функцию от го, а в общем случае, рассматривае;ком в гл.
5, на функцию $ (оэ) будут налагаться дополнительные условия. Для и испытаний схемы Бернулли элементарные события удобно обозначать цепочками длины и, составленными из букв У и Н: в = УУН ..ННУ. Обозначим р„= р„(УУН...ННУ) случайную величину, равную числу успехов в первых и испытаниях Бернулли. Таке например, при и = 4 имеем р, = р,(УУНУ) =5, р„=р,(НННН) =6 и т.
д. Найдем вероятность событий (р„= т) = ((УУН... У). и„(УУН ., У) = т). (2.5) Т е о р е м а 2.2. Если и„— число успехов в и испытаниях Бернулли, то Р (и„= т) = Р„(т) = С„р д", (2.6) где т = О, 1, 2,..., и, у = 1 — р, р — вероятность успеха в отдельном испытании. Д о к а э а т е л ь с т в о. Каждая цепочка исходов„ входящая в (2.5), содержит ровно т успехов и и — т неудач. Тогда, воспольэовавшись формулой (2.1) с Д! = 2г р, = р, р, = д, мы получим, что любая цепочка из множества*(2.5) имеет одну и ту же вероятность р д" Раэличные цепочки в (2.5) отличаются только расположением успехов и неудач, так как общее число успехов фиксированно. Расположение успехов и неудач однозначно определяется выбором из и мест т мест для успехов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
