В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из свойства счетной аддитивности (1.ЗЛ1) следует, что для дясвретвых вероятвостимх пространств вероятность Р (А) одвоэяачио определяется ее значениями рэ = Р (вэ), а = 1, 2..., Отметим, что при р„= О с п ) )г' можно ограпичиться конечным пространством элементарных событий 12 =- = (в„..., вя) В случае р, = р, = ., =ря= 1//У получаем классическое определение вероятности. й 3, Геометрические всрояткости Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равповероятпых» исходов.
К описанию такой ситуации приспособлено гео,метрическое определение вероятности. Нетрудно показать, что функция Р (А), определенная (2.1), удовлетворяет аксиомам А2 — А4. Проверим А5. События А„в последовательности (1.ЗЛ) запвгяем в виде ЗО ПРОСТЕЙШИЕ ВИРОЯТНОСТНЫИ СХВМЫ 1ГЛ. 2 Пусть 11 — ограниченное множество и-мерного евклидова пространства. Будем предполагать, что Я имеет объем е). Рассмотрим систему М подмножеств множества 11, имеющих объем.
Для любого А Е= т( положим Р(А) = „,), р (А) где )2 (С) — объем множества С Е= М, В формулировках задач мы часто будем использовать выражение: «точка равномерно распределена на мно>кестве Пз. Это выражение означает, что вероятность попадания точки в подмножество А нужно вычислять по формуле (ЗЛ). Отметим, что в двух предыдущих классах вероятностных пространств (Я 1з 2) в систему Я входили все подмножества 11. При геометрическом определении вероятности в качестве д уже нельзя взять все подмножества Й, так как некоторые подмножества не имеют площади или объема.
В схеме геометрических вероятностей выбор модели,, подходящей для описания реального явления, менее очевиден, чем в классической схеме. В разных моделях для одного и того же реального события можно получить разные вероятности. На выборе разных математических моделей основан известный парадокс Бертрана (см.
задачу 20; более подробно см. !4), гл. 1, т 6, стр. 36 — 37). Для иллюстрации схемы геометрических вероятностей рассмотрим следующую задачу. 3 а д а ч а Б ю ф ф о н а, Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена игла длины 21 (1 ( ( а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую- нибудь прямую. Р е ш е н и е. Дадим сначала определение подходящего пространства элементарных событий. Пусть и — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, а у — угол; составленный иглой с этой прямой. Пара чисел (<р, и) задает положение иглы с точностью до выбора конкрет- е) Если под объемом множества вовямать его меру Лебега, то сксжма 5 окажется о-алгеброй, и тогда фуккцкя Р (А ), определенязя формулой (ЗА), булат удовлетворять в аксиоме А5.
Озметим, что система 5 содержит, в частяостя, все яодмиожестза множества 22, являющиеся обычвымв квадрвруемымв вля кубвруемыми фигурамв, которые изучаются в любом курсе зиалязз. 111 неприрывныи Вироятностнын пространства 31 ной прямой. Поскольку нас интересует только взаимное расположение иглы и ближайшей прямой, то можно в качестве 12 выбрать прямоугольник й = ((~р, и): О ~( ер ~( я, О «( и ~( а). Пересечение иглы с прямой происходит в том и только в том случае, когда и ~( 1 з1п ~. Таким образом, интересующее нас событие имеет вид А = ((<р, и): О ~( и < 1 з|п ер, О < ер ~( и), Так как р (А) = ) 1 з1п ер йр, р (й) = апе то по формуле (3.1) находим Р (А) = 21)ал. (3.2) О соответствии математической модели опыту можно судить по результатам экспериментов.
Пусть игла была брошена п раз и т раз произошло пересечение, При не 21 больших и частота — Р (А) = —. Отсюда можно полу- а чить экспериментальную оценку числа и — 2 — . —. Прин не' ведем результаты некоторых экспериментов с бросанием иглы, заимствованные из книги [6). Экецерккенеаеер Е/а Оценка н Вольф, 1850 г. Рейна, 1925 г. 0,8 0,5419 5000 2520 2532 859 3,1596 3',1195 Схема геометрических вероятностей успешно применяется в астрономии, атомной физике, биологинь кристаллографии. $4. Абсолютно непрерывные вероятностные пространства Пусть 1е = ((иы и„. ° „и„) ) — и-мерное действительное евклидова пространство, и (и„иа„° .„и„)— неотрицательная функции, интегрируемая ио Риману по любой квадрируемой области из ьа, Будем предполагать, 32 пгосткишин внэоятностнын схвмы )гл. з что существует несобственный интеграл по 1в от функции я (им из,...„и„) и ~...
~ я (и1,..., и„) би1... ди„= 1. Обозначим И алгебру, порожденную квадрируемымн областями в й. Для любого А Е= % положим Р (А) = )... ~ я (иы..., ио) ди1... Ыи„. (4.1) А Можно рассмотреть более общий случай, когда функция я (и„..., и„) не ограничена в конечном числе точек ьс. Тогда интегралы в (4.1) по множествам А, содержащим такие точки, нужно понимать как несобственные. Нетрудно проверить, что функция Р (А), определенная соотношением (4.1), удовлетворяет аксиомам А2 — А5 е). Таким образом, мы определили вероятностное пространство.
Построенное вероятностное пространство будем называть п-мерным абсолютно непрерывным вероятностным пространством. Отметим, что рассмотренная выше схема геометрических вероятностей является двумерным абсолютно непрерывным вероятностным пространством с я (и„из) = = 1!)с (й), если (н„из) б= П, (з — квадрируемая фигура, и я (и„из) = О, если (и, и,) 6~ ьс. й 5. Случайные числа Рассмотрим один важный частный случай схемы выбора с возвращением (1.2). Пусть А = (О, 1, 2, 3, 4, 5„ 6, 7, 8, 9).
Тогда множеством й в (1.2) является множество всех цифровых последовательностей длины и. Так как число элементов множества )з равно ) ьс ! = 10", то вероятность любой фиксированной последовательности со = = (г,1з... г„) равна 10 ". Случайными (равномерно распределенными) числами называют цифровую последовательность (),)з... с„), полученную в результате проведения реального опыта, который хорошо описывается рассматриваемой схемой. Такого е) Из теоремы о продолжении зероятностн следует, что формула (4А) позволяет определить вероятность на мпнпмальной о-алгебре йс, порожденной алгеброй т).
задачи к главк х 33 типа опыты проводят, например, при рааыгрывании номеров в «Спортлотоь. Оценка близости реального опыта и его математической модели является одной иэ задач математической статистики. Последовательности случайных чисел можно использовать для получения реализаций различных случайных процессов. Если, например, в последовательности случайных чисел (1«1«... 1а) четные цифры заменить буквой Г, а нечетные — Р, то полученную последовательность иэ букв Г и Р можно рассматривать как реализацию опыта, состоящего в п-кратном подбрасывании симметричной монеты.
Действительно, каждая последователь- 2«ость, состоящая из букв Г и Р, может быть получена иэ одинакового числа равновероятных цифровых последовательностей, и, следовательно, новые последовательности равновероятны. При расчетах методом Монте-Карло (см. (5)) требуются длинные последовательности случайных чисел, которые в процессе вычислений можно непрерывно вводить в ЭВМ. Методы получения случайных чисел, основанные на реальном извлечении шаров из урны, для этой цели непригодны.
Поэтому в практических вычислениях пользуются какими-либо алгоритмами получения последовательности псевдослучайных чисел, близкой по свойствам к последовательности случайных чисел. Если в экспериментах со случайными числами требуется не очень много чисел, то можно воспользоваться таблицами случайных чисел (например, табл. 7). Эксперименты с небольшими массивами случайных чисел часто используются для иллюстрации различных выводов теории. Задачи к главе 2 1.
Брошево дае вгральвых ности. Предполагая, что элемевтарвые событвя раввовероятиы, кайте вероятвостя событий: А = (ва 1-й кости выпала «1«), А, В = (выпала хотя бы одна «6«), А В. 2. На полке в случайном порядке расставлено я книг, среди которых ваходптся двухтомивк Д. Ловдопа. Предполагая, что раалвчвые расположения книг раввовероятвы, найти вероятвость того, что оба тома двухтомввка расположены рядом. 3. Числа 1, 2,..., я расставлевы случайным образом.
Предполагая, что равлйчкые расположения чисел раввовероятвы, войта вероятвость того, что чвсла 1, 2, 3 расположевы а порядке воарастания, ко ве обяаательво рядом, 34 простеишне вероятностные схемы )гл. э 4. Выписано три случайных числа (см. 9 5). Найти вероятности событий: А = (все выписанные числа одинаковы), В = (все выписанные числа различны), С = (среди выписанных чисел ровно два совпадают). 3. Вмпвсана последовательность вэ л случайных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
