В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(2.3) Ясли (2.3) выполнено только при)с = 2, то события называются попарно независимыми. Отметим, что иэ попарной независимости не следует вааимная независимость (см. задачу 7). Формулы (2А), (2.2), очевидно, не пригодны для вычисления вероятностей произведений событий,. так как правые части этих формул содержат условные вероятности, для вычисления которых нужно знать вероятности произведений. Полезность формул (2А) и (2.2) обнаруживается при построении математических моделей серий опытов, которые будут рассмотрены в следующей главе. Здесь мы ограничимся разбором отдельных примеров.
В классическом и геометрическом определениях вероятности (см. Я $д 3 гл. 2) предполагалась «равновоэможность» исходов опыта. Теперь мы обратимся к примерам вероятностных пространств, построение которых основано на анании значений условных вероятностей или анании независимости некоторых событий. В приложениях часто оказывается, что условные вероятности естественно задаются условиями опыта или определяются приближенно иэ дополнительных опытов. Например, при превращениях частиц в химических или ядерных реакциях частоты превращений различных типов можно принять эа приближенные аначения соответствующих условных вероятностей. В сериях опытов с перекладыванием илн извлечением шаров нз урн можно естественно задать условные вероятности получения выборки определенного типа иэ данной урны, если состав шаров в ней иавестен иэ предыдущих опытов.
Отправляясь от заданных значений условных вероятностейд можно вычислить вероятности элементарных событий. Пусть, например« заданы вероятности Р(А) =ад, Р(В(А)=а„, Р(В(А)=а«,. (2.4) Требуется построить такое вероятностное пространство (ьс, а, Р), что для соб)йтий А, В в(яцолденырйнпства (2,4.), ъ'словныв Ввэоятностн [гл. з Иэ равенств (2.4) следует, что) Р(А)=1 — ал — — ал, Р(В~А)=1 — а =а Р (В ~ А) = 1 — алл = алл. Положим лл = (в„в„вл, вл). Событиями А и В наэовем подмножества А = (в„в,), В = (в„вл). Тогда АВ = (в,).
Нетрудно проверить, что (вл) = АВ, (вл) = АВ, (вл) = АВ. Если подходить к определению (л менее формально, то лшжно сразу положить Й = (АВ, АВ, АВ, АВ). Распределение вероятностей на всех подмножествах конечного множества однозначно определяется заданием вероятностей всех подмножеств, состоящих из одного элементарного события. Положим Р (АВ) = Р (А) Р (В ~ А) = а а Р (АВ) = Р (А) Р (В ~ Л) = а а „, (2.5) Р(АВ) =Р(А)Р(В~А) =аа Р(АВ) =Р(А)Р(В~А) =аа Правые части этих равенств неотрицательны и в сумме дают единицу.
Распределение вероятностей задано. Отправляясь от заданного распределения вероятностей, найдем Р (А) = Р (АВ) + Р (АВ) = а а,л + алалл = а л Таким образом, ыы нашли распределение вероятностей, удовлетворяющее условию (2.3). Построение вероятностного пространства по условным вероятностям в более общем случае будет рассмотрено в следующей главе. В примерах, рассматриваемых в этой главе, обычно предполагается, что соответствующие условные вероятности заданы. Построение по ним вероятностного пространства может быть проведено так же, как в рассмотренном выше примере. аз~ ФОРмулА полпои ВБРОятности Дадим теперь еще одно решение задачи о ключах (см. пример 3 $1 гл. 2), основанное на использовании понятия условной вероятности.
Предлагаемое здесь решение является частичным построением другого вероятностного пространства, описывающего последовательное извлечение ключей. Вероятностные пространства, удобные для описания последовательности испытаний, будут подробно рассмотрены в следующей главе. Событие А», состоящее в том, что нужный ключ появится в Й-и испытании, можно представить в виде произведения 4» = А»А» ° А»»А».
Отсюда, используя формулу (2.2), получим Р (А») = Р (А,) Р (Л, ( А,)... Р (А» ( А,А»... А„,), Значения сомножителей можно считать заданными в условиях задачи. Действительно, из п ключей только один подходит и а — 1 не подходят. Следовательно, Р(А1)= а — 1 = —. Если произошло событие А„то осталось и — 1 а ключей, среди которых один подходит и п — 2 не подходят.
Отсюда Р(А»(А»)= и т. д. Чтобы приписать вероятности Р (А» ( А»... А»,) определенное значение, нужно иметь в виду, что к Й-му извлечению ооталось п — Й + 1 ключей, из которых один подходит к двери. Тогда естественно положить Р(А»(А,...А»»)= 1 . Окончательно получаем а — »+1 а — 1 а — 2 а †»+1 1 1 т-т" т=.гсг т=»Гт т. Результат получился такой же» как в з» гл.
2. Рэли отправляться от распределения вероятностей, введеннрго для этой задачи в з 1 гл. 2, то можно по формуле (з.1) вычислить условные вероятности Р (А, ! А,)„Р (А, ( А,Х,)»... Их числовые значения совпадут со аначениями» которые были использованы в этом параграфе. $ 3. Формула полной вероятностк Пусть А — произвольное событие, события х»», В„...
. В„попарно несовместны, Р (В») ) О, Й =' 1,..., и„ и А Ср В, + В» -(-... + В„. Тогда имеет место следующая УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ (гл. з формула (формула полной ееролтности): и Р(А)= Х Р(В») Р(А) Вк), (3А) Для доказательства этой формулы заметим, что А можно представить в виде следующей суммы попарно несовместных событий: А = АВ» + АВ» +, .
+ АВ„. Отсюда, воспользовавшись аксиомой А4 и формулой (2,1)к получим формулу (3.1): о а Р(А)= Х Р(АВ»)= Х Р(В»)Р(А (В»). Используя (1.3.10), формулу (ЗЛ) можно распространить на случай счетной системы попарно несовместных событий В», й=1, 2,...,п,... Заменив в равенстве Р (АВк) Р (Вк) Р (А ( Вк) Р (Вк ! А) — р (А) — р (А) вероятность Р (А) по формуле (3.1), получим формулу Байеса: Р (Вк) Р (А ) Вк) Р(В») А) = „ Х Р(В»)Р(А(В») (3.2) Формула полной вероятности„так же как формулы (2.1), (2.2), может быть использована для построения подходящего вероятностного пространства по заданным условным вероятностям. Ниже рассматриваются два примера, в которых условные вероятности естественно считать заданными. П р и м е р 1.
На фабрике,. изготовляющей болты„ первая машина производит 25%, вторая — 35%, третья— 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 4%, 2%. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным? б) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт произведен первой, второй н третьей машинами„ если он оказался ~ефектеыиг ФОРмулА пОлнОЙ вкРОятностн 43 за! Р е ш е н н е.
а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт — дефектный» а через „», Вз — события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно первой, второй н третьей машинами. Очевидно, что формула (3.1) применима, Таким образом, используя условие задачи, получим Р(А) = = Р (В,) Р (А ( В„) + Р (В ) Р (А ( В,) + Р (В,)Р (А ~ В,)= = 0,25 0,05 + 0,35 0,04 + 0,40 0,02 = 0,0345, б) К тем же событиям можно применить формулу Байеса (3.2) при я = 3 для й = 1, 2, 3." 0,25 0,05 125 Р (В» ) А) = '0 0345 — †3 , 0,35 0,04 140 Р(в» ) А) = 0 0345 34' э 0,40.0,02 80 (Вз ~ А) = '0 0345 — — 345 П р и м е р 2.
Из урны, содержавшей М белых и )» — М черных шаров, один шар неизвестного цвета утерян. Какова вероятность извлечь наудачу нз урны белый шар? Р е ш е н и е. Пусть В» — событие, состоящее в том, что утеряно я белых шаров (я = — О, 1); А — событие„. состоящее в том, что шар, извлеченный из оставшихся шаров, оказался белым. Положим Р(В,)= „'", Р(В,)='„", Р(А!В»)= 5, 4, Р(А!в)= Р По формуле полной вероятности т — и и и и — 4 м Р('4)= У * М 4 +,У ' У 4 =~У Отметим,, что вероятность извлечения белого шара из урны до утери шара тоже равна М/Х.
Рассмотрим еще один пример, который дает некоторое представление об использовании формулы полной вероятности при исследовании случанных процессов с нэпрерывным временем, ~гл. з УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ П р и м е р 3. Вероятность поступления на телефонную линию одного вызова за время (г, Ф + Й) равна ОЬ + + о (Й), Й -~ О вероятность того, что ни один вызов за время (~, з + Й) не поступит, равна 1 — ай + о (Й). Если линия занята, то вызов теряется. Если в момент 8 еще продолжается разговор, то аа время (1, Ф + Й) он окончится с вероятностью рй + о (Й), Й -~ О.
Вызовы поступают независимо друг от друга. Найти Р, (~) — вероятность того, что линия в момент г свободна, и вероятность Рт (8) того, что линия занята. Р е ш е н и е. Предположим сразу, что подходящее вероятностное пространство существует и что для интересующих нас событий В)~' = (линия в момент 1 свободна)„ Вг = (линия в момент ~ занята) (1) при каждом й вероятности Р, (й) = Р (В)ю)„Р1 (С) = = Р (ВР) определены и непрерывны по ~. Так как то по формуле полной вероятности (3.() Р (ВЙ,) = Р (В)ю) Р (В5, ( В',")+ Р (В)н) Р (В5, ( В)п).
(3.3) Свободная в момент времени Г лкния останется свободной в момент г + Й, если за время (г, 8 + Й) вызовов не будет. Так как другие события, при которых линия останется свободной в момент ~ + Й, имеют вероятность о (Ь), то Р (ВЙ~ ( В~ю) = $ — аЬ + о (Й). Занятая е момент 8 линия будет свободной к моменту 1 + Й, если закончится рааговор и за время (8г Ф+ Й) новых вызовов не будет. Вероятность этого события равна (()Й + о (Й)) (1 — ай + о (Й)) = рй + о (Й). Эта вероятность вносит основной вклад в Р (Вф, ( В)~). Сумма остальных слагаемых равна о (Й). Таким образом, Р (В)."„'ь ( В)п) = ~Й + о (Й). Подставляя найденные условные вероятности в (3,3) и ФОРмулА полиси ВнРОятностп $ 33 используя обозначения Р, ((), Р( ((), получим Р, (( + й) = (1 — ай)Ре (() + ~ЬР( (() + о (Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
