В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Например, множество точек замкнутого единичного круга с центром в начале координат будем записывать в виде ((и, о): из + э' ~( 1). 6. Броуновское движение. В микроскоп наблюдается движение малой частицы, подвергающейся большому числу ударов со стороны молекул. Наблюде- Вигоятносчнои пвоствзнство ~РЛ. $ ние проводится в промежутке времени [О, Т1. Исходом этого опыта будет определенная траектория двиягения частицы. Если интересоваться перемещением частицы вдоль заданного направления, то в каждый момент времени г, ге= [О, Т1, положение ее проекции на заданное направление будет определяться координатой х (~).
В этом случае ьз = (х (г)) — множество непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [О, Т[. б 2. Алгебра событий В реальном опыте кроме взаимоисключающих исходов можно указать много других случайных событий. В примере 2 из $1 перечислены элементарные исходы для одного бросания игральной кости. В этом же опыте можно говорить, например, о случайном событии, состоящем в том, что выпало четное число очков.
Это событие происходит только в том случае, когда происходит одно из трех элементарных событии: в~, ю, или ю . Выпадению нечетного числа очков соответствуют элементарные события юы юю юю Представляется естественным каждое реальное событие А' в математической модели рассматривать как некоторое подмножество А множества Я, включив в А те и только те элементарные события, при которых происходит А'. Случайным событпием или просто событием будем нааывать любое подмножество множества И, если ьз конечно или счетно: й = (юм <ою...
юл) или [) = (юм <оа, ° ° . <о,, в .), В случае произвольного И событиями будем называть только подмноя'ества из некоторого класса Ф подмножежеств й, который будет определен после введения операций над событиями, совпадающих с операциями над множествами. Суммой двух событий А и В назовем событие А + В (или А [) В), состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В. Можно сказать, что в реальном опыте событие, соответствующее А + В, состоит в том, что произошло по крайней мере одно из событий А или В. Пусть в примере 5 из в $ событиями А и В являются попадания соответственно в большой и малый круг (рис.
1) . Тогда алгивга совытин $21 событием А + В является заштрихованная область на рис. 1, а. Произведением АВ (или А () В) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В. Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходит и А и В. Для примера 5 событие АВ изображено заштрихованной фигурой на рнс. 1; б, Разностью А ~; В называется событие, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих В (см. рис.
1, е). а ~о е) е> Рас. 1 Событие А ~~, В состоит в том, что А произошло„а В не произошло. Событие 1з назовем достоверным; пустое множество 8 назовем нееоеможпым событием. Событие А 1е '~, А называется противоположным событию А (см. рис, 1е е). Событие А означает, что А не произошло. События А и В лесоемепппы, если АВ = Я, Тот факт, что А является подмножеством В, будем ааписывать так: А С В (или В:> А). Это значит, что из наступления события А следует наступление В.
В примере 5, если А 1." В, то попадание в область Ат содержащуюся в В, оаначает также попадание в В. Принадлежность элемента множеству обозначается символом Е=. Например, ю ~ Я. Понятия произведения и суммы событий переносятся на бесконечные последовательности событий.
Событие О А1+Аз+ ° °,+А +.. = Ц А состоит из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А„, и = 1, 2..., Событие () А„ з=г = А,А, ... А„ ... состоит из элементарных событий принадлежащих каждому событию А„з и =* 1, 2..., 16 ви оятностнов пгостганство 1гл. 1 Для произвольных событий непосредственно иэ определения легко проверить, что АА =А, А+А =А,АА =Я. Часто окаэываются полезными следующие равенства: А +В=АВ, (А + В) С = АС + ВС. Докажем,. например, второе. Нуя<но убедиться, что множества, стоящие в обеих частях равенства, состоят иэ одних и тех же элементов. Пусть проиэвольное ю е= е= (А + В) С.
Тогда ю е= А + В и ю е= С. Из ю ~=. А + + В следует, что ю принадлежит хотя бы одному слагаемому, Пусть, например, ю е А. Иэ ю Е= А и ю е С следует по определению произведения событий, что ю е= Е= АС, и, следовательно, ю Е= АС + ВС. Таким образом, любой элемент множества (А + В) С является элементом множества АС + ВС, т. е. (А + В) С ~ АС + ВС. Предположив, что ы с= АС + ВС, мы, используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, пока>кем, что любой элемент АС + ВС является элементом (А + В) С. Отсюда следует доказываемое равенство, так как множества его левой и правой частей состоят из одних и тех я е элементов. До проведения докаэательства равенств полезно, считая А, В, С множествами на плоскости, сделать рисунки множеств, стоящих в левой и правой частях докаэываемых равенств.
Перейдем теперь к определению некоторых классов подмножеств множества ьг. В начале главы было отмечено, что вероятность будет рассматриваться как функция от события. Для любых подмножеств множества й вероятность не всегда удается определить. В тех случаях, когда класс подмножеств приходится ограничивать, мы будем требовать от него замкнутости относительно введенных выше операций над событиями. Пусть й — произвольное пространство элементарных событий, а Ф вЂ” некоторый класс подмножеств множества Я.
Класс подмножеств М наэывается алгеброй собмтий, если Йе=Яи если АВЕ=И, А+Ве=М, А",ВЕМ при любых А Е= М, В е= й. Отсюда следует, что О = = й ~, П е= Я. Наименьшей системой подмножеств, являющейся алгеброй, очевидно является система М = = (О, й). Нетрудно провермть следующее утверждение,и ЬЛГНБРА СОБЫТИИ Если % — система всех подмножеств множества Й> то Ф вЂ” алгебра.
Если й — конечное множество, то система всех подмножеств будет также конечным множеством. Для й из примера 2 $1 можно выписать все события алгебры 6, состоящей из всех подмножеств (ь> О) (ю>) (юз) ° ° (юз)) (Ю>с Юз) (Ю>с юз)с ° с (юьс юз) (ю>с Юзс Юз)а' ' (ю>с о>зс о>зс юьс о>ьс юз) = (2. В этом примере алгебра Ч состоит из 2з = 64 событий.
Если множество й состоит из )т' элементов, то число всех подмножеств равно 2л. Действительно, число последовательностей из О и 1 длины )т' равно 2>>, а между такими последовательностями и подмножествами (ь' можно установить вваимно одноаначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером > из множества И включается в подмножество, соответствующее данной последовательности, если на >-м месте последовательности стоит 1. Приведем еще один пример алгебры событий. Пусть й = ((и, и): О < и < 1, О < и < 1) — единичный квадрат в плоскости. В курсе анализа доказано, что объединение, пересечение и разность квадрируемых фигур являются квадрируемыми фигурами. Следовательно, система 6 квадрируемых подмножеств квадрата И образует алгебру событий.
Алгебра событий 6 иазыаается о-алгеброй или борелевсков а»- зеброй, если пз того, что А„ щ 6, » = 1, 2, ..., следует а [) А„щб, П А„си 6. »=>» > Рассьютрпм следующий пример. Пусть (> = (и: — со ( и ( < «ю) — числовая прямая. Определим систему миожестз 6ь, состоящую из ковечиых и бескоиечиых отрезков, ивтерзалоз и полуилтерзалоз: [и, и ) = (и: и, ~( и ~( иа), (и„иа) = (и: и, < и ~~; кз), [и,,ссз)=(и: и><»<из), (и,,и)=(и: и>(и<из), где к,, и> — дейстзптельиые числа (и, < из] и, кроме того, з строгих иеразеастзах и,, и, мо>кио заменять иа — сю, со. Эта система 6> ие является алгеброй; иапример, сумма миожестз ( — оо, — 1) Ц (1, со)ие входит з 6„ хотя каждое слагае>юе принадлежит 6>.
Дополипь> 6> всеми койечиы>а>с суммами множеств иа 6з. Новая, более широкая система мяожестз 6 является алгеброй. Нааозем и-алгебру. 6* лик»мальков о-алгеброй, порождеввой 6, если любая другая о-алгебра, содержащая множества иа 6, со- ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО !ГЛ. ! 18 8 3.
Вероятность Теперь мы можем ввести понятие вероятности события. числовая функция Р, определенная на классе событий Я, навываетсв вероятноапью, если выполнены следующие условия: А1. И является алгеброй событий, А2. Р (А); О для любого А ~ 8[. АЗ. Р (ьг) = 1. А4 (аксиома конечной аддитивности). Если А и В не- совместны, то Р(А+В) =Р(А)+Р(В). Для решения вадачг связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности: А5. Для любой убивающей последовательности Аь ЭАе~ ° а а ~Аи~ ° 1 (ЗА) событий ив % такой, что и Д А„=Я, и=1 (3.2) илгввгп место равенство [[ш Р (А„) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
