В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти вероятности событий: А = (1-е число — четное), В = (среди л чисел ровно т делятся на 3), С = (среди л чвсел ровно т + 2 делятся на 3, п два пз нях расположены ва концах последовательности). 6. Сравнить вероятности событий: А = (при одновременном бросании четырех костей выпала хотя бы одна «1«), В = (при 24 бросаниях двух костей выпали хотя бы один раз две «1«). 7. В чулане в пар ботвиок. Из ввх случайно выбирается 2г ботинок (2г < л).
Найти вероятность того, что среди выбранныл ботинок: а) нет парных; б) имеется ровно одна нара. 8. В партии иэделий 90 исправных и 10 бракованных. Найти вероятность того, что среди 10 проданных изделий: а) ровно одно бракованное; б) нет бракованных. 9. По некоторому участку желевной дороги за )У интервалов времени проходит заданное количество поездов, среди которых М тяжелых.
Каждый интервал времени может быть свободен или за- нят одним поездом. Любое расположение тяжелых поездов по ин- тервалам времени имеет одну и ту же вероятность. Прохождение тя- желых поездов в соседнвх интервалах времени нежелательно. Оце- нить сверху вероятность появления хотя бы одной пары соседних интервалов, занятых тяжелыми поездами, если )У = 1000, М = 10.
У к а з а н и е. В качестве математической модели взять схему случайного выбора без возврацения. Воспользоваться неравенст- вом Р (Аг + Аэ + ° ° ° + Ам«) ~( Р (А г) + ° ° ° + Р (Ащ«), где Аэ = (4-й и (4 + 1)-й интервалы заняты тяжелыми ноеадами). 10. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам про- дано семь билетов. Найти вероятности событий: А = (пассажиры попали в два купе), В = (пассажиры попали в три купе). рассмотреть два случая: 1) пассажиры покупают билеты в разное время иеаависпмо друг от друга (воспольэоваться схемой случайного выбора беа возвраще- ния); ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2 2) пассажиры едут вместе, и одни покупает билеты всей группе (предположить, что номера проданных пассажиру мест идут подряд, а наименьший номер места выбирается случайно из множества номеров 1, 2,..., 30)).
1. Иэ множества чисел ( — я, — я + 1,..., — 1, О, 1,...,»я) но схеме случайного выбора с возвращением вмбирается два числа х ну. Пусть р„— вероятность того, что х» + у» < лэ. Найти Пш Рх. 12. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разиме месяцы года. 13. Равновероятной схемой размещения частвц по ячейкам называют схему размещения, в которой номера ячеек, последовательно аанимаемых частицами, получают посредством случавного вмбора с возвращением. Обоаначим р„ = р„ (л,В) число ячеек, содержащих ровно по г частиц после размещения я частиц по )У ячейкам.
Найти вероятности событий: 1) р» (я, )У) > 0 (при л = )У); 2) р (и,Ф)=1 (при п=дг). 14. 1(айти вероятйость того, что на две карточки »Спортлото» с отмеченными номерами (4, 12, 38, 20, 41, 46) и (4, 12, 38, 20, 41, 49) будет получено по одному минимальному выигрышу (т.
е. Угадано ровно по три числа). 16. На отрезок [О, 1) наудачу брошена' точка. Предположвв, что ее координата $ равномерно распределена на [О, 1), найти функция Р(х) = Р($<х), Р'(х) ( — со<х<оо). 16. Случайная точка .4 с координатами (зм 3») равномерно распределена в квадрате П = ((х;, х»): 0 < х; < 1, 1 = 1, 2). Найти функции Т (х) = Р ([Г + ь» < х), Р' (х) ( — оо < х < со). 17. На отрезок (О, Ц наудачу брошены 2 точки, разбившие его на 3 отрезка. Какова вероятность того, что из этих отреаков можно построить треугольивкг За множество Я принять значения пары чисел ($м $»), являющихся координатами точек на отрезке [О, Ц; предположить, что точка ($,, $») равномерно распределена на квадрате П.
18. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросается наудачу монета радиуса г, 2г < а. Найти вероятность того, что: 1] монета целиком попадет внутрь одного квадрата; 2) пересечет ве более одной стороны квадрата. 19. Двое договорились встретитьсн в отрезке времени [О, Т[. Первый пришедший ждет второго в течение времени 1, 1 < Т. Найти вероятность того, что встреча произойдет. За множество Й припать точки квадРата ((гм Г ): О < й < Т, $ = 1, 2), гйе П и Г,— моменты прихода встречающихся. 20.
Парадокс Бертрана. В круге радиуса В случайно проводится хорда. Обозначим $ ее длину. Найти вероятность Р (2 > В) того, что длина хорды больше стороны правильного вписанного шестиугольника, если: а) середина хорды равномерно распределена в круге; 6) направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее направлению; в) один конец хорды аакреплен, а другой равномерно распределен на окружности.
Вероятность Р($ > В) зависит от интерпретации слова «случайно», п ее числовые значения различны в случаях а), б), в), 33 простейшие ВВРОятнОстные схемы (РЛ. 2 21. В урке М белых и )У вЂ” М черпых шаров. По схеме случайного выбора с возвращением из урны извлекается и шаров. Найти вероятпости событии: А = (при й-м извлечении появился белый шар), В = (при В-м и Ем извлечениях лоявилвсь белые шары), С = (среди и иавлечеикых шаров ровно ш белых), 22. Решить задачу 21 в случае выбора беа воазращеиия. 23. Пусть 5г — а-е (й = 1, 2, ..., и) число последовательное.
ти из и случайных чисел. Найти вероятиости событий: а) Дв = 1), й = 1,..., п; 1 = О, 1,, 9; б)(2Г=)21=!) й, 1=1,...,п;ду=0,1,...,9. 24. Йспользуя таблицу случайиых чисел, получить реализацию опыта, описанного в задаче 21, если: а) К = 10, М = 3, п = 20, б) )у = 100, М = 35, п = 20.
В обоих случаях по цолучеииым реализациям найти частоту появления белого шара (отношение числа белых шаров в полученной последовательности к общему числу и извлеченных шаров), ГЛАВА 3 Условные вероятности. Независимость событий $ 1. Условные вероятности При изучении реальных случайных явлений иногда возникает или искусственно создается ситуация, когда мы получаем дополнительную информацию о возможных исходах опыта ьз. Например, при исследовании превращений частиц мы люжем сначала ограничиться рассмотрением только результатов опыта с превращениями определенного типа. Остановимся более подробно на следующем примере иллюстративного характера.
Допустим, что студент из 30 билетов успел выучить билеты с 1-го по 3-й и с 28-го по 30-й. На экзамен он пришел одиннадцатым, и оказалось, что к его приходу остались только билеты с 1-го по 20-й (событие А). Вероятность события В = (студент получил выученный билет) без дополнительной информации о том, что событие А произошло, может быть вычислена по классическому определению с (е = (1, 2,..., 30). Согласно формуле (2.1.1) имеем Р (В) = — = — .
При дополнительной информации (В! ' 1'''" (Я! 5 ' (событие А произошло) множество возможных исходов А состоит из ! А ! = 20 элементарных исходов, а событие В вместе с А наступает в ! АВ ( = 3 случаях. Следовательно, в рассматриваемом примере естественно определить условную вероятность Р (В ! А) события В при условии, что А произошло, формулой Р (В ~ А) = = ! АВ !/! А ! = 3/20. Отсюда, поделив числитель и знаменатель на ! ье !, получим Р(В!А) = ',(,"„", (1. 1) так как согласно классическому определению Р (АВ) = ! АВ (/! И ! и Р (А) = ! А (/! 1е !. Формула (1.1) прннимается за общее определение условной вероятности.
Пусть (ье, Я, Р) — произвольное вероятностное прост- игл. 'з тсловныв ввгоятностн ранстео. Если А, В ~ Мд Р (А) ) О, то условная вероятность события В при условии, что событие А произошло, определяется формулой (1.1), в правой части которой символ Р понимается как вероятность в рассматриваемом вероятностном пространстве. Пусть теперь некоторое событие А с Р (А) ) 0 фиксировано.
Нетрудно проверить, что функция Рл (В) = = Р (АВ ~ А) = Р (АВ)/Р (А), определенная для всех В е.= И, удовлетворяет аксиомам А2 — А4. Таким образом, для Рл (В) справедливы все следствия (1.3.6)— (1.3.11), полученные в з 3 гл, 1 непосредственно из аксиом.
Понятие условной вероятности позволяет естественным образом определить независимость событий. Равенство Р(В(А) = Р (В)д Р (А)) О, (1.2) легко согласуется с интуитивным представлением о независимости события В от А. Если Р (В) ) О, то из равенства (1.2), используя (1.1), нетрудно получить, что Р (А ~ В) = Р (А).
За определение независимости двух событий А и В принимается более симметричное условие: Р (АВ) = Р (А) Р (В)„ (1.3) эквивалентное (1,2), если Р (А) ) О. ф 2. Вероятность произведения событий Равенство (1.1) можно записать в виде «теоремы умножения» Р (АВ) = Р (А) Р (В ~ А). (2.1) По индукции из (2Л) легко получить более общую формулу Р (А А, . А„) = Р (А ) Р (А, ~ А,),, „ ... Р (А„~ Ад... А„д). (2.2) При и = 2 формула (2.2) совпадает с (2.1). Пусть (2.2) доказано для и — 1 сомножителей.
Тогда для и сомножителей (2.2) следует из предположения индукции и равенства (2.1), в котором нужно положить А = А, ...А„д, В=А„. Если события А и В независимы, то условную вероятность Р (В ~ А) в формуле (2.1) можно заменить на безусловную Р (В). В результате получим (1.3). Возмож- В з1 ВВРОятносгь ПРОидВВдиния совьдтин ЗВ ность замены условных вероятностей безусловными в (2.2) связана с новым свойством совокупности событий А„А„..., А„. События Ад,..., А„будем называть взаимно независимыми (или независимыми в совокупности, или просто независимыми), если для всех комбинаций индексов 1 ( дд «,, дз ( и ()с = 2,...д и) имеем Р (А,Ад..., А,„) = Р (А~) Р (Ад),, „Р (А, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
