В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Отсюда Рс ((+ А) — Р» (() Р (() + ()Р ( ) + с с(А) Ь Ь Переходя к пределу при й-+. О, получим е) ,~( = — аре Я + ()Р~ ((). (3,4) Аналогично найдем уравнение для Р,((): — =аР (() — рР ((). (3.5) = О, найдем решение системы Полагая Рс (0) = 1, Р( (0) (3.4) †(3.5): Ро (() —— а+р Р,(() = —" а+ () — е (а+Ю», а+3 (3,6) е-(а+ю( а+В е) Из существованяя предела при А О следует существование только левосторонних производных в (3.4) и (3.3).
Заменив в предыдущих рассуждениях с и (+ Ь на т — Ь и ц получим выражения дзя правосторонних производных, совпадающие с (Зс4) н (3,3), При т -ь оо вероятность Р, (() стремится к величине а/(и + р). Естественно, что с ростом интенсивности поступления вызовов а вероятность занятости линии увеличивается. Из формул (3.6) следует, что решение (Р (()с Р, (с)) системы (3.4) — (3.5) удовлетворяет равенству Ро (с) + + Р, (8) = 1. Это же равенство следует из предположения о существовании вероятностного пространства,, в котором определены вероятности Ре (С) и Р, (() противоположных событий. Если подставить Р, (г) = 1 — Р, (() в уравнение (3.4), то вместо системы можно решить одно уравнение для Ре(().
К предположениям о существовании подходящего вероятностного пространства, в котором определены вероятности нужных нам событий, нужно относиться с известной осторожностью. Рассмотрим следующий пример. Пусть состояниями частицы являются числа О, 1, 2,...
При ( = 0 частица находится в состоянии О. Если частица в момент с находится в состоянии Й, то к моменту ( + Й 46 (гл. з услОВные Вероятности останется в этом состоянии с вероятностью 1 — а„й+ о (й), й-»О, н перейдет в состояние й+ 1 с вероятностью аой + о (й). Пусть Р„ (1) — вероятность того, что частица в момент Г находится в состоянии й.
Рассуждая так же, как в рассмотренном выше примере, для функций Ро (1), й = О, 1, 2,... можно получить бесконечную систему дифференциальных уравнений. Естественно было ожидать, что ~ Ро (1) = 1. Однако если аг быстро «=о увеличиваются с ростом й, то ~ Р„(1) ( 1. Более подо=о робно этот пример рассмотрен в книге (18), 2 4 гл.
17. Оказывается, что частица за конечное время с положительной вероятностью может пройти по всем состояниям. В атом случае набор чисел (ао) уже не определяет процесс прн всех 1) О, Задачи к главе 3 1. Брошено две игральных кости. Какова вероятность того, что выпало две «3», если известно, что сумма выпавших очков делится ва три? 2. Известно, что при бросании 10 игральных костей появилась но крайней мере одна «1». Какова вероятность того, по появилось две «1» или более? 3. Из множества чисел (1, 2,..., Л) по схеме случайного выбора без воовращенвя выбираются три числа.
Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если иавестно, что первое число меньше второго. 4. Иа урны, содержащей 3 белых и 3 черных шаров, последовательно без возвращения извлекают 3 шаров. Пусть А<') (А«б))— событие, состоящее в том, что ый шар был черный (белый). Йайти условные вероятности: 1) Р (А оэ ) А )В А »~«~ А (з) А»ш ) ф 2) Р (А»1Е ) А~и~4~~~А1а)), (ат, а„а») = (О 0 1), (О, 1,0),(1,0, 0). б. Доказать, что события А и л независимы, если независимы события А и В.
6. Случайная точка (бь $о) имеет равномерное распределение в квадрате ((вы,т»): 0 ( а, ( 1, 0 ~ во ч, Ц. При каких значениях г неэависвмы события А» И»1»о ) > гй В» (»1 + $о» 3»)7 7. Пусть С (б ~ ) С ~2 с ~ С )„(б — )(б — )<О~ где $ы ьо определены в задаче 6. Покааать, что события Сю С, Со ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3 попарно веависвмы. Являются ли события С,, Сы Сз взаимно независимыми) Зависимы ли события С,С и С 7 3. События А;, Аз, Аз, А4 вэаимйо независимы. Доказать взаимную невависвмость событий А,А и А А .
9. События Аг, Аз, Аз, Аз вааимно иеаависимы: Р (Аг) = рг, й = 1, 2, 3, 4. Найти вероятности событий: 1) А,А,АП 2) А, + А„. 3) (Ат + Ат) (Аз + Аз). 10. Электрическая цепь составлена пз элементов Аэ, й = 1, 2, 3 (элементм Ат и Аз соединены параллельно, а Аз присоединен к ввм последовательно). При выходе пз строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя за данный период элемента А г равна Рг, Ь = 1, 2, 3. Предполагаетсл, что элементы выходят нли не выходят вз строя неаависимо друг от друга.
Найти вероятность того, что аа рассматриваемый период по цепи будет проходить ток. 11. Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, два игрока по очереди вытащили по одному шару. Положим А э = (й-й игрок вытащил белый шар). Найти вероятности событий: А;, А, А,Аз, У к а в а и и е. Вмбрать подходящим образом числовые значения вероятностей Р (А,), Р (Аз ) Ат), Р (А ) А,). Воспольаоваться формуламн (2.5). 12.
Упрощенная система контроля изделий состонт из двух независимых проверок. В результате л-й проверки (Ь 1, 2) изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью))г, а бракованное иэделие принимается с вероятностью пю Изделие принимается, если оно прошло обе проверни. Найти вероятноств событий: 1) бракованное иаделие будет принято; 2) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано. 13. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, а во второй— 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны переложили во втору1о два шара. Найти вероятность того, что шар, вынутмй из второй урны после перекладывания, окажется белым. 14.
Ивделия поступают на проверку, опвсанную в аадаче 12. Предполагая, что каждое изделие удовлетворяет стандарту с вероятностью Р, найти следующие вероятности: 1) вероятность того, что поступившее иа проверку иаделие не будет отбраковано; 2) вероятность того, что неотбракованное изделие удовлетворяет стандарту. 15. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин— дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником.
Какова вероятность, что это мужчина) (Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.) 16. По каналу связи может бмть передана одна вз трех последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС; известно, что вероятности каждой иа последовательностей равны соответственно 0,3; 0,4; 0,3.
В результате шумов буква принимается правильно с вероятностью 0,6. Вероятности приема переданной буквы за две другие равны 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передано АААА, если на приемном устройстве получено АВСА. 17.
Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент 1 = 0 столкновение с другой молекулой и не иыевшая других столкновений до момента д испытает столкновение в промежуток време. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ [гл. 3 ни (ц т+ Ь), равна ЬЬ+ о (Ь), Ь О. Найти вероятность того, что время свободного пробега будет больше г. 18. На одну телефонную лвнию могут поступать вызовы двух типов: срочные н простые. При поступление срочного вызова рааговор по простому вызову прекращается. Вероятности поступленвя аа время (ц г + Ь) срочного и обычного амвонов равны соответственно ягЬ+ о (Ь), а,Ь+ о (Ь), Ь вЂ” О; вероятность прекращения любого разговора за время (г, $ + Ь) равна ВЬ + о (Ь).
Пусть Ре (1), Рг (Г), Р, (Г) — веРоЯтности того, что в момент Г линни свободна, занята срочным вызовом, аавята простыы вызовом, Написать для Рт (Г) диффеРенциальные УРавненпЯ и найти 1)ш Рт (О = Яа, Ь = М = О, 1, 2. 19. Иаменвм условия работм телефонной линии, описанной в примере 3 из $3. Будем считать,что при занятой линии вызовы ве теряются, а становятся в очередь.
Обозначнм Рг (О вероятность того, что в момент Г один вызов обслуживается и Ь вЂ” 1 обраауют очередь (Ь )~ Н Р, (Г) — вероятность того, что линия свободна). Составить для Рг (Г) дифференциальные уравнения. Найти 1(ш Ра (г) = яю если О = аф ( 1. ГЛАВА 4 Последовательности испытаний $1. Общее определение последовательности испытаний Дадим сначала описание реальных испытаний в опыте с перекладыванием шаров в урнах, а затем построим математическую модель этих испытаний. Пусть имеется три урны, содержащих белые и черные шары, одинаковые по форме.
Состав шаров в первой урне: 2 белых и 3 черных; во второй — 2 белых и 2 черных; в третьей — 3 белых и 1 черный. Из первой урны случайно выбирается один шар и перекладывается во вторую. После этого из второй урны также случайно один шар перекладывается в третью урну и, наконец, из третьей какой-то из шаров перекладывается в первую.
Таким образом, мы имеем три испытания, состоящих в извлечении шаров иэ трех урн. Предположим, что нас интересует, какой состав шаров в первой урне после перекладываний наиболее вероятен, а также — что вероятнее: изменение состава шаров в первой урне или сохранение. Построим математическую модель этого опыта. Обозначим Аз реальное событие, состоящее в том, что при )з-м перекладывании (й = 1, 2, 3) был переложен белый шар. Положим й = (АзАзАз, АдАзАзю А,А,А„А,А,Аз, Л,АзА„ АзАзАз АзАзАз АзАзАз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
