В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(3.3) Тройку (Я, 8[, Р)„в которой Р удовлетворяет А2— А5, а множество % не только является алгеброй событийг по еще и вамкнуто относительно счетных сумм и проивве; держит также есе множества вз Не. Множества из минимальной а-алгебры рассматрвваемого нрвмера вагываются борелевсиими. В частности, борелевсиим множеством является каждая точка числовой прямой (аырожденный отреаок [иг) = [ио и1)). Так как множество рациональных чисел В счетно, то ях можно перенумеровать: В = [го г„..., г,...).
Тогда В= Ц [г [ и, следовательно, меч В является борелевскнм множеством. Иа И т йи и В ~в Не следует, что множество иррациональных чисел й ~ В еа Ме, т. е. тоже является борелевским. Аналогично определяются борелевская алгебра и борелевскке множества ва плоскости и в пространстве. В дальнейшем мы обычно будем рассматривать те эадачи, в которых можно ограивчиться алгеброй событий. эх) вш оятность даний (т.
е. Я является о-алгеброй)г называют вероятностным пространством. В дальнейшем мы почти не будем использовать А5 и дополнительное предположение о замкнутости Я относительно операций в счетном числе. Если вероятность' Р удовлетворяет Аг — А5 и алгебра 6 ие является с-алгеброй, то функцию Р можно доопределить иа множествах из минимальной с-алгебры 6ь, порожденной 6.
Првзадам без доказательства следующую теорему. Теорема о продолжении вероятности. Пусть вероятность Р удовлетворяет А! — А5 и 6ь — минилнгльнал с-алгебра, порожденная 6. Тогда суагествует, и притом единстееннол, функция Рь (А), которал определена на 6", удовлетворяет А2 — А5 и совпадает с Р (А), когда А ш 6. Такам образах, можно сразу считать, что з Аг система 6 пзляетоя о-алгеброй.
Понятие вероятностного пространства содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Дальнейшая конкретизация определения проводится применительно к рассматриваемой реальной задаче. Рассмотрим два простых примера, которые дают некоторое представление о выборе вероятностной модели на основе понятия вероятностного пространства. Пусть брошена один раз игральная кость.
Для этого опыта в примере 2 5 1 было выбрано 1в = (а„а„. ..., а,). Алгебра событий М в данном случае состоит из всех подмножеств А = (аг„а;,',..., авг) С: 1) (й = 1я ° " ...,6; гг<гв«...вк, в~=1,2...„6) и пустого множества Я. Пусть рг ) )О, 1 = 1, . „., 6я — любые числа„ в для которых ~ рг = 1. Положим Ггя Р (А) = рг, + рг, +...+ рг„. (3.4) Отсюда, в частности, получаем Р((ав))=рог г=1,2,...,6, (3.5) Нетрудно проверить, что функция Р (А), определенная формулой (3.4), удовлетворяет аксиомам А2 — А4.
При различных наборах чисел (р„р„...в р,) мы будем получать разные определения вероятности. Очевидно, что посредством математических рассуждений из этого множества определений выбрать нужное мы не сможем. 20 ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО !Гл. ! Если кость симметрична, то представляется естественным дополнительное предположение о равновероятности выпадения различных граней. Тогда из формул (3.5) заключаем, что р! = р, =...
= р« = 1/6, и, следовательно, вероятность Р (А) определяется однозначно. Окончательное заключение о качестве выбранной модели мо!НеФ быть сделано после экспериментальной проверки. Если кость несиыметрична, то в подходящей ыоделй некоторые или все р! должны быть отличны от 1/6. Пусть, например, кубик игральной кости склеен из плотвой бумаги и к грани, противоположной грани с «6», прикреплен груз. В этом случае будет выпадать всегда «6». В формуле (3.4) нужно положить р« = 1, р, = р» =... ° =Р»=0.
Рассмотрим еще две математические модели опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых монет. Модель 1. Положим 1« = (ю„ю„ю»), где элементарное событие ю! означает, что обе монеты выпали гербами вверх, ю« — обе монеты выпали решетками вверх, ю»вЂ” монеты выпали разными сторонами. Если считать элементарные события равновероятными, то вероятность события А = (ю„ю»), состоящего в том, что монеты выпали одииаковыми сторонами, равна Р! (А) = 2/3.
Модель 2. Пусть 1« = (ГГ, ГР, РГ, РР), где знак Г па первом или втором месте в обозначении элементарного события означает, что на первой или на второй монете выпал герб; Р аналогично связано с выпадением решетки. Считая элементарные события равновероятными, для события А = (ГГ, РР) получим Р» (А) = 2/4 = 1/2. Получили две разные вероятности одного и того же события. Экспериментальный выбор подходящей модели может быть проведен следующим образом. Подбросим Ф раз (У вЂ” достаточно большое) пару монет; пусть ФА раз произошло событие А. Если частота ЖА/Х вЂ” 2/3, то считаем подходящей модель 1; если /»А//»' = 1/2, то выбираем модель 2. Эта задача выбора из двух моделей (или двух гипотез) является одной из задач математической статистики.
Более подробно она будет рассмотрена в56гл.9. В задачах, подобных задаче о подбрасывании двух монет, практически всегда правильный выбор может быть сделан из соображений симметрии. Подбрасываются две физически различные монеты, поэтому естественно считать множество Й состоящим из четырех элементарных ввгоятность событий, которым естественно приписать одинаковые вероятности. Модель 1 казалась бы более естботвбннойе воли бы можно было себе представить монеты физически неразличимыми.
Опыт показывает, что в действительности монеты ведут себя как различимые. Однако этот достаточно очевидный факт для монет оказывается неверным для некоторых типов частиц. Бозе и Эйнштейн показали, что некоторые типы частиц ведут себя как неразличимые в), Рассмотренный пример показывает, что нельзя слишком полагаться на интуицию; подходящей моделью может оказаться совершенно неожиданная. Укажем несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2 — А4.
Из аксиом АЗ, А4 и равенства А + А * й следует~ что Р (Х) = 1 — Р (А). (3.6) Полагая здесь А = й, получим Р Я) =* О, Для любых событий А и В имеет место формула Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ), (3.7) Действительно, представим события А + В и В в виде А + В = А + ВА и В = ВА + ВА. События в правых частях этих равенств несовместны, и, следовательное Р(А+В) =Р(А)+Р(ВА)е Р (В) = Р (ВА) + Р (АВ), Отсюда легко следует (3.7). Непосредственно из (3.7) для любых А и В получаем Р (А + В) ( Р (А) + Р (В), (3.8) Нетрудно проверить следующее свойство: если А ~ В, то Р (А) ( Р (В). (3.9) Можно показать (см. [2), гл. 2, 4 1, стр.
30 — 31), что аксиомы А4 и А5 эквивалентны следующему свойству счетной аддитивности вероятности: если е последовательности А„А„..., А„,... события попарно несовместны (т. е. А;Ае — — Я при ~ ~ 1) и А = Ц А„Е= 2(, то п=1 Р(А)= ~ Р(А„). (3АО) е) Подробнее см. (18), 1 5 гя. 2. Вероятностное простганство (гл. 1 Отметим без доказательства еще одно свойство, связанное с аксиомой непрерывности А5. Коли СФ А1СА С...С:А„СА„,С:,, и А= 0 А„ и=1 или А1:ЗА1~ °,:ЭА .:ЭА 1:Э... и А= П А„„ то (з,и) Р (А) = 11ш Р (А„).
В яи Несколько важных частных случаев вероятностных пространств рассматриваются в гл. 2, В дальнейшем вновь вводимые теоретико-вероятностные понятия позволят нам расширить набор частных случаев вероятностных пространств и приемов нх построения, Задачи к главе й 1. Проверить следующие соотвошелия между событпяыш 1) А ~В=АВ; 2) А ~ В А ~ АВ = (А + В) ~ В) 3) (А + В) = ХВ, АВ = Х + В; 4) А (В ~, С) = АВ ~ А С. 2.
Установить, какие ва следующих соотношений праввльвы1 1) А ~(В~С) =(А ~В)+С; 2) А ~ (В ~ С) = (А ~ В) + А С; 3) (А+В)~С=(А ~С)+(В~С); 4) (А+В)~,С=А+(В~,С); 3)АВС ТА+В; 3) (А ~ В) (С ~ Ь) = А С ~ ВВ. 3. Упвоствть следующее выражения: 1) А + АВ~ 3) (А '~, С) (В '~ С); 2) (А + В) (А + В); 4) (А + В) (А + В) (А + В). 4. Пусть и ~ ' ~ ~ + 11 В = ж а~а~Ь--~. 11 и в) Д б й А=ПА,ВЦВ. 1 Ю и=1 ЗАДАЧИ К ГЛАИИ 1 найти более простые выражения, б. Какие подмножества множества 1) в примере 3 ив $1 при л = 3 соответствуют событиям, состоящим в том, что 1) при первом подбрасыванни выпал герб; 2) всего выпало ровно два герба 3) выпало не более одного гербаг 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
