В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Примеры случайных явлений можно указать во многих областях науки и техники (например, в физике, биологии, демографии„. в массовом производстве, в системах автоматического управления н т. д.). Ввядинне 2. Вероятность и частота. В повседневной речи мы часто используем слова «вероятность», «случай», «событие».

Интуитивно вероятность некоторого события воспринимается как объективная характеристика возмо>кности его появления. Экспериментально установлено, что с ростом числа опытов У, проводимых в одинаковых условиях, частота появления некоторого случайного события А (отношение числа опытов >«я, в которых событие А появилось, к общему числу опытов У) становится почти постоянной.

Таким образом, можно попытаться с каждым случайным событием связать некоторое число Р, к которому прибли>кается частота, и считать зто число вероятностью события. Очевидно, что приведенные соображения нельзя считать удовлетворительным математическим определением вероятности. Попытки выбирать число Р по разным сериям опытов будут приводить обычно к разным„ хотя и близким значениям Р. В простейших случаях интуитивные представления о вероятности часто приводят к однозначному ответу.

Так, например, никто не сомневается в том, что вероят- 1 ность выпадения герба при подбрасывании монеты равна — . Объяснения обычно приводятся достаточно убедительные: 1) возможны два события — выпал герб, выпала решетка; ни одному из них нельзя отдать предпочтения„ так как монета симметрична; 2) нря многократном повторении опыта частота по- $ явления герба близка к -2.. Первая часть этого объяснения является попыткой построить модель случайного явления; вторая часть — экспериментальная проверка соответствия модели реальному явлению.

Однако при незначительном усложнении опыта «повседневная интуиция» или «здравый смысл» могут подводить. Представим себе, что при каждом из Ю подбрасываний монеты выпал герб. Предлагается угадать, какой стороной упадет монета в следующий раз. Довольно распространено мнение, что выпадение решетки более вероятно. Этот «вывод» делается примерно следующим образом> длинные серии подряд идущих гербов встречаются ке часто, а если известно, что длинная серия начинает появляться, то она должна быстрее кончиться, и, следр- вввдкник вательно, появление решетки более вероятно. Отсутствие длинных серий гербов нетрудно заметить,.

даже если не ааписывать результаты опытов. Однако экспериментальная оценка вероятности появления решетки после 10 гербов требует уже фиксирования результатов опыта. 'Нужно отобрать все цепочки из 10 гербов и посмотреть, Сколько раз следующим результатом будет герб и сколько г раэ — решетка. Ответ — в этом более сложном опыте г свидетельствует о более развитой интуиции. В качестве примера совсем неприемлемого рассуждения можно привести следующий: я яе знаю, пойдет 1 сегодня дождь или нет, следовательно, его вероятность ~ . Эта чмодельз к дождю вряд ли имеет какое-либо отношение.

Отметим для сравнения, что в примере с монетой учитывалась ее объективная характеристика — симметричность. Многообразие и сложность задач, встречающихся в приложениях, требуют четкого определения понятий, связанных со случайными явлениями.

3. Математическая модель. Теория вероятностей, так же как и другие разделы математики, имеет дело не с явлениями окружающего мира непосредственно, а с их математическими моделями. В математической модели должны быть правильно переданы существенные стороны изучаемого явления, а несущественные — отброшены. Слишком подробное описание изучаемого явления приводит к усложнению математической модели и может значительно затруднить исследование.

Излишнее упрощение модели может привести к неверным выводам. Насколько удачно введена модель, можно судить по согласованности теоретических выводов с опытом. В математических моделях случайных явлений вероятность рассматривается как функция от случайного события. В курсах математического анализа прежде, чем приступить к изучению функции, довольно много внимания уделяется изучению ее аргумента — действительного числа. Аргументом вероятности является случайное событие. Поэтому в гл.

1 мы прежде всего займемся уточнением интуитивного понятия случайного события, а затем введем 'йонятие вероятности. то ввидкник Аксиоматическвй подход построения теории вероятностей, предложенный А. Н. Колмогоровым в книге «Основные понятия теории вероятностей», сделал теорию вероятностей математической наукой. Ее аксиомы и теоремы в абстрактной форме отражают закономерности„ присущие случайным явлениям. В настоящее время аксиоматический подход является общепринятым. В других разделах математики аксиоматический подход был принят значительно раньше, чем в теории вероятностей.

ГЛАВА $ Вероятностное пространство Для избежания неясностей прн описании случайных явлений, результатов опыта илн наблюдений необходимо формализовать эти описания, С этой целью вводится множество И элементарных исходов эксперимента (пространство элементарных событий); выделяется класс событий Н (алгебра или о-алгебра событий), рассмотрением которого можно ограничиться в данной задаче~ на множестве событий Ч аадается функция Р (вероятность), удовлетво- РЯющаЯ некотоРым УсловиЯм. ТРойкУ (И,.

Фг Р), котоРаЯ вводится при формализации любой вероятностной задачке нааывают вероятностным пространством, Дадим теперь формальное определение вероятностного пространства и покажем на примерах, как проводится формализация реальной задачи, й $. Пространство элементарных событий Произвольное множество И назовем нространстеом элементарных событий. Элементы в этого множества И будем называть элементарными событиями. Эти понятии являются первоначальными. В реальном опыте элементарным событиям соответствуют взаимоисключающие исходы, Ввиду большого разнообразия случайных явлений нельзя дать более конкретное определение множества элементарных событий, Для описания каждой реальной вадачи множество И выбирается наиболее подходящим образом.

Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества И. $. Подбрасывание монеты один р а з. Возможными исходами в атом опыте будут. выпадение монеты гербом вверх (или просто выпадение герба),, выпадение решетки. Кроме того, монета, возможно, встанет на ребро, укатится куда-нибудь и т. д. Можно перечислить ряд исключающих друг друга событкй, которые могут произойти с реальной монетой. При математиче- ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО !гл.

! ском описании этого опыта естественно отвлечься от ряда несущественных исходов и ограничиться только двумя: выпадение герба (можно обозначить это событие Г, ю, или юг), выпадение решетки (Р, ют или юр). Таким образом, при описании этого опыта мы полагаем й = (Г, Р), 0 = (юн юз)или И = (юг, юр) 2. Подбрасывание играл'ьной кос т и о д и н р а з.

В этом опыте естественно выбрать П = (ю„юю юз, го„в„з4), где ют обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении й очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. 3. Подбрасывание монеты п раз. Каждому исходу опыта естественно поставить в соответствие последовательность длины п по следующему правилу: если при й-м подбрасывании монеты выпал герб, то на й-м месте последовательности пишем Г, а при вьшадении решетки — Р.

Так, последовательность ГГГ...ГГ обозначает исход опыта, заключающийся в том, что каждый раз выпадал герб. При небольших значениях В все элементарные события нетрудно выписать. Например, при п = 3 й = (ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР). Нетрудно проверить; что число элементарных событий при любом п равно 2". Действительно, по первому знаку последовательности множество П можно разбить на две группы цепочек вида (Г...), (Р...).

Каждую из этих групп, фиксируя второй знак последовательности, можно снова разбить на две группы. Получим 2 2 групп: (ГГ...), (ГР...), (РГ...), (РР...). Фиксируя третий знак, получим 2 2 2 групп. Продолжив этот процесс до фиксирования и знаков, мы получим 2" групп, каждая из которых состоит из одной последовательности. 4. Работа телефонной станции.

Предположим, что мы наблюдаем работу телефонной станции в течение четверти часа и нас интересует число поступивших вызовов. Если телефонная станция обслуживает незначительное количество абонентов, то за время наблюдения может не поступить ни одного вызова, может посту; 3 ц пгостганство элкмкнтагных совытип гз пить один вызов, два вызова и т.

д. Достаточно ясно, что число вызовов будет всегда конечно. Однако разумно установить верхнюю границу числа вызовов довольно затруднительно. Проще яе ограяичивать возмон<ное число вызовов и считать возможными исходами 0 и все натуральные числа: ьз = (О, 1, 2,...). Это предположение проще, чем довольно искусственный подбор верхней границы числа вызовов.

Предположение о воэможности любого числа вызовов кажется абсурдным. Однако если окажется, что очень большое число вызовов происходит с очень малой вероятностью, то это будет совместимо с нашим практическим понятием невозможности. Подобные ситуации возникают довольно часто. Например, в страховом деле при расчетах не ограничивается максимальный возраст; при измерении довольно часто предполагается, что величина ошибки может принимать любые значения.

Если в рассматриваемой задаче с работой телефонной станции нас интересует не только общее число поступивших вызовов, но и моменты их поступления, то пространство элементарных событий нужно выбрать более детализироваиц9м. Можно, например, исход нашего наблюдения описать ступенчатой функцией, постоянной между моментами поступления вызовов и имеющей скачки в моменты поступления вызовов. В этом случае Я вЂ” множество ступенчатых функций. 5.Стрельба по плоской мишени. Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат иОи и каждому исходу опыта (попадание в опрэделенную точку плоскости) поставим в соответствие координаты. этой точки.

Тогда множеством И является вся плоскость или множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Этот факт мы запишем следующим образом: Й = ((И, и): — со ( и ( оо, — оо ( и ( со), где и, и — действительные числа. В дальнейшем мы будем часто пользоваться такими обозначениями для различных множеств.

Характеристики

Список файлов книги