В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Это можно сделать С„ способами. Отсюда и иа формулы (2.5) следует утверждение теоремы, так как каждая цепочка в (2.5) имеет вероятность р д" Для полиномиальной схемы с произвольным Л! введем случайные величины $ю равные числам исходов й, й = 1, 2,..., Х Покажем, что я! оч адан р(ьг ть Ь вЂ” тес ° г ьн — тн) — ! ~ ~ Ръ ° Рн т1!пьь...
ги ~. (2.7) где т„т„..., тн — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию тх + тг +... + !пи = и, Для остальных значений т„левая часть (2,7) равна О. В каждой цепочке (Цг... 1„) удовлетворя)оппэй условию 56 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ [гл. « ($, = т„ $» = т„ .... «>« — — ти), «1» встречается т, раз, «2» — т, раэ, ..., «>У» — т>« раз. Следовательно, вероятность каждой такой цепочки равна р™'р,'...
ряя. Число цепочек заданного вида можно найти следующим образом: С~' способами мол<но выбрать из и мест т, мест для «1»; из оставшихся п — т, мест можно выбрать С„', способами места для «2» и т. д. Отсюда общее число цепочек нужного нам вида равно »> С 'Сд-*щ, ° ° Св-щ, .„та,„ ш»>э« ...»>„ Иэ приведенных рассуждений следует формула (2,7). При >«' = 2 формула (2.7) совпадает с (2.6). Обозначим А, событие, состоящее в том, что в $-м к> испытании полиномиальной схемы появился исход >>/, и А»н> = А>,>.
Тогда, полагая сначала Я> = (У), а затем Ю> = (1, 2,..., /«" — Ц, по формуле (2.3) найдем Р (А>') = р»> Р (А«) = р>+ ° ° ° + р>«-> = 1 — ря <О <О Отсюда и из (2.2) получим Р (А«,~А~~ ю ' А«>) =рР(1 р»>)и-т~ е> 0 1» если е, + с, +... + э„= т. Таким образом, цепочки А~',>А«~',>... А«ш> можно принять за «элементарные события» в схеме Бернулли с р»> = р и р, + ... + р», д. При л подбрасываниях игральной кости мы имеем полиномиальную схему с >«' = 6 и р> = р = ...
= р = 1/6. Если теперь «укрупнить» элементарные события, например различать в цепочках исходов в каждом испытании только «6» и «не 6», то получим схему Бернулли с р = = 1/6, >/ = 5/6. Отправляясь от полиномиальной схемы с >>/ исходами, можно при более мелком укрупнении получить новую полиномиальную схему с меньшим числом исходов, Отметим еще, что полиномиальная схема с р, = р = „, = р>« = 1/>>/ совпадает со схемой случайного выбора с возвращением, определенной в 3 1 гл, 2 на основе классического определения.
Таким образом, определенные в $5 гл, 2 случайные числа можно также рассматривать как реализацию испытаний полиномиальной схемы с равновероятными исходами О, 1, 2, , „ 9, 5 3! ПРедельныв теоРемы В схеме ВВРнулли 57 $3. Предельные теоремы в схеме Бернулли В приложениях часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в и испытаниях схемы Бернулли при больших значениях и. В этом случае вычисления по формуле (2.6) становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится еще суммировать вероятности (2.6).
К суммированию (2.6) сводится вычисление вероятностей событий вида (а ( рп ( Ь). Действительно, Р(а<Р„<Ь)= Х Р(Р„= )= Х Рп(т). (3Л) а<т<о а<за<о Затруднения при вычислениях возникают также при малых вначениях р или д. Иногда при больших и удается заменить формулу (2.6) какой-либо приблиокенной асимптотической формулой. Приведем три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вероятностей (2.6) и (3.1) при и -и оо. Теор е м а ЗЛ (теорема Пуассона). Если п-~- оо и р -+ О тап, что пр -и Х, О ( Л ( оо, то а 3В Р (ип — — т) = Сп р'"дп'" — и р,„() ) = — е-Ь и! при любом постоянном т, т = О, 1, 2,... Д о к а з а т е л ь с т в о.
Положив пр = Х„, представим вероятность Р (р„= т) в виде (рп=т)— п(п !) ° ° ° (и — оп+и) и ( и ~ и! и ! и — — '; ( — ':) (1-ю(-а- ('- .')('-Ж Отсюда при и-и оо получим утверждение тЕоремы, Таким образом, при больших и и малых р мы можем воспольаоваться приближенной формулой Р(р„=т) — — е и, Хп= ир, Лп (3,2) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ, [ГЛ. З 58 Известно (см. (2), гл. 5, з 4, теорема 8, стр. 116), что при любом множестве В С (О, 1, 2,...) ~ Р ((г„б= В) — Х р, (нр) ~ ~ ~рг, огяв Приведенное неравенство верно для любых множеств В.
При использовании приближенной формулы для индивидуальных вероятностей ошибки могут быть аначительно меньше. Для сравнения точных и приближенных значений приведем следующую табличку: При и = 10 вероятности Р (ргв —— т) вычислены для р = 1!5 (~р = 0,4), а при и = 100 — для р = 1/50 (ар' = 0,04). * Если мало значение дг то пуассоновским приближением можно воспольаоваться для числа неудач.
В случае, когда оба параметра р и д заметно отличны от О, используются теоремы Муавра — Лапласа (локальная и интегральная). Введем функции ф (х) и Ф (х) следующими равенствами~ х 1 ф(х)= — е в Ф(х)= ~ ф(и)аи, 1/ 2Я Т е о р е м а 3.2 (локальная теорема Муавра — Лапласа). Если и -~ ао, р (О < р ( 1) постоянное величина х = (т — нр)1~/прц ограничена равномерно ~о т и и ( — <а~(х <Ь(+ ), то Р (р„= т) = ф (х,„) (1 + ао (т))/~/нрдг где ~ а„~ ( С/)сн ~ри х бр (а, Ы, С ) 0 — постоянная.
Д о к а э а т е л ь с т в о. Коэффициент С„в (2.6) запишем в виде Ж ~ Л ,(З,З) З 3! нгвдзльныв твоРВмы В схвми Бвгнулли 59 Так как т = пр+х ~/прд, и — т = пд — х 1/прдг то, воспользовавшись формулой Стирлинга / ! г 1в и! = 1в 1г 2пп + и 1в и — и + О ( — ), (3.4) получим 1вт!=1в)/2пт+ (ггр + х )гпрд)1в(пр+ х баярд)— — пр — х )~ прд+ О( — ), 3,5 ( ) 1в (и — и)! = 1в )/ 2п (и — т) + -гг-( д — х )~прд) 1в (пд — х ~/прд)— — пд + х ~баярд+ О( — ) .
Логарифмы в (3.5) при помощи формулы 1в (1 + х) = = х — х92 + О (хз) запишем в виде 1в (яр + х„Дг' ярд) = 1в яр + 1в ~1 + х„, 1/ — ) = = 1в пр + х,гг ь' — — ~ — + О ), т/ д пь тз ( ) 3.6 1в(пд — х )~ярд) = Чl' з '~~ Р / Р* =1впд — х,„у — — — — + О ( зт 2 пт ~п)гида/ (3,7) нужно оценить величину остаточных членов в (3.6).
При и — со сумма остаточных членов стремится к О ври любых фиксированных р и д, 0 ( р < 1. Однако при конечных значениях и сумма остаточных членов может быть очень большой, если р или д малы. Хорошие приближения формула (3.7) дает при р = д = 1/2. Если в этом случае провести более точнуа оценку остаточного члена, то в формулировке теоремы можно заменить ~ гг„~ ~ СП( и на ! а„~ ( С(п. Формулу (3.7) часто используютпри и ) $00 и прд > 20. Указания о границах применимодти формул Утверждение теоремы следует из (2.6), (3.3) — (3.6), При качественной оценке условий применимости приближенной формулы р (!гв = и) = щ(х„~"угпрд со послидоВАтяльности испытАнии [гл.
4 х' [ а Р(а( " (Ь) — =~с 'с[х — эО ]/ лрт ) ]/ 2л равномерно по а, Ь, — со ( а ( Ь ( + оо. Д о к а а а т е л ь с т в о. Докажем теорему сначала при фиксированных а, Ь, — оо ( а ( Ь ( + со. Очевид— лр но,что вероятностьсобытия (а ( " (Ь) можнопред- $/ лра ставить в виде (а( " (Ь) =Р„(а, Ь) = ~~[ Р(р„=т), (3.8) у лро аах Ю га — ар где х = и суммирование распространяется на ена[/ лра чения т, для которых х„, Е= (а, Ь]. Применяя к слагаемым (3.8) локальную теорему, получим Р„(а, Ь) = Я„+ Т„„ (3.9) где [р(х )= Ъ/ лрд х Ка,ы Т„= ~~~~ а„(т) [р(х ) = х а[а,в[ ф'лря ш х1 1 [р(х) == е ]/ 2л Так как гв+ 1 — лр йх„, = х„„~ — х р' лрт л~ — лр р лра р лра (3.2) и (3.7) являются очень приближенными и носят скорее качественный характер; к ним следует относиться с осторожностью.
Отметим еще, что в условиях теоремы 3.2 из того, что п-х оо, следует стремление к бесконечности т. Значение т не должно отклоняться от пр очень сильно; например, для Р (Р„= 0) локальная теорема дает плохое приближение. Т е о р е и а 3.3 (интегральная теорема Муавра— Лапласа). Если р, 0( р ( (, постоянно, то при и-а оо з 3] ИРедельные теоРемы В схеме веРнулли зт то Яи можно записать в виде суммы Ю„= ~ ~р(х ) Лх„, азия]а'Ю которая отличается не более чем двумя слагаемыми от подходящим образом выбранной интегральной суммы, соь ответствующей интегралу ) ~р (хфх. Следовательно, а ь ]пп Я„= ~~р(х) дх. и (3.19) Испольауя оценку для аи (т) из локальной теоремы, получим )Т„(~ '5 ср(х )Лх ]а„(т)](=Я„.
р' и х я[а,ш Таким образом, при п-+. оо ҄— х О. (ЗЛ1) Утверждение теоремы для постоянных а, Ь следует из формул (3.8) — (ЗЛ1). Иа доказанного и из теоремы 2.4 гл. 7 следует равномерная сходимость. Приближенная формула Р (а( " (Ь) — ~ <р(х)Их =Ф(Ь) — Ф(а) (3,12) р' и;а] используется в тех случаях, когда возможно использо- вание (3.7). Численное значение интеграла можно найти, если воспользоваться таблицей 2 для функции х х* Фа(х)== ~ е ' Ии. $ р.2— .
3 (ЗЛЗ) Р(а( " (Ь) — Ф ~Ь+ ) — Ф(а — ). (З,14) При небольших значениях пру приближенную формулу (ЗЛ2) нужно заменить следующей формулой (см. (18), гл. 7, $2, стр. 189): 62 послидоВАтиззьности испьзтании (ГЛ. 4 Приведем таблички точных и приближенных значений веРоЯтностей событий (лзз ч )зп ~( тз). Положим )оп — "р Р(тато)=Р(тз~(р„~(лзз)=Р(хз~( " ~(хз~ )г' прч Р, (лзз, тз) = Ф (х,) — Ф (хз)о Р((ть тз) = Ф (хз (- г ) — Ф (хз — г ), гДе Ь = 1()(пРдо х, = (тз — лР))3, хз = (тз — лР) й. Используя таблицу 2 для Ф, (х) и формулу (2.6), получим: а) в=10 34 5 6~ 8 Р (ть тз) Ро (паз, апз) Рз (ть тз) о,г Р (из, апз) Ро (иь апз) Ро (тз, тз) 0,5 6)в=100,р=0,2 в) в=100, р=0,5 30, 35 36', 40 441 45 и, 50 поп т, 0,1557 0,1227 0,1563 Р (ть апз) Ро (ть паз) Р, (т,, тз) О, 0017 О, 0013 О, 0018 0,6778 0,4429 0,6316 О,О547 о,'0277 0,0558 0,0267 0,0202 0,0269 0,3158 0,2059 0,3455 О, 5684 О,'З98О О, 5696 0,0064 О,'ООО7 О, 0029 о,зоог о,*гз56 О,'3651 0,0000 о,'оооо о,'оооо О, 0107 О, 0057 О,'О(ЗЗ 0,3557 0,2881 0,3558 эо1 ПРедРльныВ теоРемы В схеме ВеРнулли 63 Формула (3.12) позволяет оценить близость чаотрты и вероятности.
Пусть р — вероятность успеха в Схемо Бернулли и )о — общее число успехов. Частотой успеха называют отношение р„/и, Оценим вероятность события (. ~ — — р~<Л) ° Если и достаточно велико, то можно Р» воспользоваться формулой (3.12). Тогда 1'о — е ' Не =2Фо (Л~/ — ) (3.15) м 1 так как функция — е ' четная.
ЗначениеФо(~ф РЭ 2Фо (Ь ~/ — ) =1 — 2со. Решение будет зависеть от неизвестного р. От этой зави- симости можно избавиться, если потребовать, чтобы '(~ — — ~<й) >1-" находится по таблице в конце книги, Часто возникает обратная задача: сколько нужно провести испытаний, чтобы частота )оо/и отличалась от вероятности р не больше чем на Л с вероятностью 1 — 2а (а мало)7 Такого типа задачи возникают при использовании метода Монте-Карло (метод статистических испытаний). Идея метода заключается в моделировании случайного процесса или последовательности испытаний, вероятностные характеристики которых просто связаны с подлежащими вычислению величинами. Если много раз бросать иглу, как описано в задаче Бюффона (см. $3 гл. 2), то частота )о„/и будет мало отличаться от вероятности р пересечения иглой какой-либо линии. Зная величину отклонения )оо/л от р, можно оценить ошибку в определении числа п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
