В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Нормальное распределение и распределение Пуассона в $3 гл. 4 были использованы в качестве распределений, приближающих биномиальное распределение. й 4. Совместные распреднхения нескольких случайных величин Пусть на вероятностном пространстве (бгг Иг Р) заданы случайные величины $, = $,(ю), 5г — — $з (ю)..
. ~, = ~. (ю), 1 ~ 1) ° совместные РАОПРедБления Каждому в зти величины ставят в соответствие г-мерный вектор. Совместной функцией распределения (или многомерной функцией распредалсния) величин $„, ° „$„(или случайного вектора $ = ($,„...л $,)) называется вероятность Рз (х) = Рг, г (х„..., х,) = Р Д <х„... $„< х„), рассматриваемая как функция точки х = (х„..., х„) г-мерного евклидова пространства В". Функция распределения Рз (х) однозначно определяет вероятности Р ($ о= о— : В) для любых параллелепипедов В С В", а следовательно, и для достаточно широкого класса подмножеств В". Так„ при г = 2 и В = ((х„х,): а, < хг<аю Ь,~(ха< Ьз) Р (($„$,) ЕВ) = = Р (а, Ь,) — Р (а„ Ь,) — Р (а, Ь1) + Р (а„ Ь1), (4 1) где Р (хго х,) = Р~,~, (х, х,).
Действительно, по фоРМУле (1.3.7) Р ((Ь, < „2, < Ь ) () (Ь, < „Ц < Ь )) = =Р(1,<аы $з<Ьз)+РД,<аз, $,<Ь1)— — Р Д < а„$ < Ьг) = Р (а„Ь ) + Р (а„Ь1) — Р (ам Ь1) Отсюда и из равенства (з, < а„зз < Ьз) = ((В~ зз) б:- В) () () (ф,<ам з,<Ьз) () ($д<аю $з<Ь1) следует (4 1). По многомерным функциям распределения можно найти одномерные распределения отдельных координат. Например, так же, как в доказательстве теоремы 2.1, проверяется, что Иш Рйь (х, у) = Рйй (х, +оо) = Рй (х), з +о 1па Рьь (у, х) = Ргд, (+оо, х) = Р'ь (х). Аналогично одномерному случаю определяется г-мерное дискретное распределение. Случайный вектор ($ь ..., $,) нааывается дискретным, если существует множество (х (1), х (2),, „., х (й), „, .), х (й) б= В"„не СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ~гл.
5 имеющее точек накопления, такое, что Р(3 = х (й)) = рк > О, ~ рк = 4. к=к Тогда для любого множества В к В" Р(йод=В)= ~ Р(»=х(я)). »(к)ев (4.2) Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если существует такая неотрицательная функция рк (х) = = рак„,ь, (хк,..., х„), называемая совместной (или г-мерной) плотностью распределения, что для любого параллелепипеда В Р (~ ~= В) = ~...)'р~ (х„..., х,) йхк... к(хк.
(4 3) в В = ((ик о)к — оо < и < х, — со<о<со)к получим х» х р~,(х)= ~ () рн~,(и,о)йо)йи= ~ рь,(и)йи, где (» ри (х) = ~ рк,к (х, о) йо (4.4) — плотность распределения величины $,. Аналогично находим, что СО ри(х)= ~ рк» (и, х)аи. (4.3) Формула (4.3) сохраняется для любых квадрнруемых или кубируемых множеств В С В". Из формулы (4.3) следует, что интеграл от плотности рк (х) по всему пространству В" равен 1. Найдем одномерные распределения для двумерных абсолютно непрерывных и дискретных векторов. Аналогичные формулы могут быть получены для векторов произвольной размерности.
ПуетЬ ($К, $е) — абСОЛЮтНО НЕПрЕрЫВНЫй ВЕКтОр. ТОГдаа полагая в (4.3) г = 2 и совместныи РАспгвделения 81 Пусть ($м $,) — дискретный вектор и Р ($1 = хгь $т = хю) = рм ~ )О; 1, / = 1, 2, ...; Ю Х рО=1. ь /=1 (4.6) Тогда Р ($г = хк) = ~ Р (1,' = хгь Ез= хп) = ~ ря. 5=1 /=1 Пусть Ь=$ (1,/)=/, 3 =$ (/ /)=/ Очевидно, при любой паре (/, /) Р Д, = /, 8, = /) = 1/4 (4.9) РД,=/)=РД,=/, $ = — 1)+ + Р Д, = 1, В = 1) = 1/4 + 1/4 = 1/2, 1 = — 1, 1. Аналогично получим Р Д = /) = 1/2, / = — 1, 1. П р и и е р 2. Пусть П, $, и 3, такие же, как в при- мере 1, а Р ((1, 1)) = в (( — 1, — 1)) = 1/2, Р (( — 1, 1)) = Р ((1, — 1)) = О.
Тогда, например, Р($, = — 1, $, = 1) = О, и, следова- тельно, совместное распределение 1„$ не совпадает с (4.9). Одномерные распределения РД,= — 1)=РД,= — 1, $ = — 1)=1/2, Р Д, = 1) = Р Д, = 1, Е, = 1) = 1/2 Р' = Х РО Р;= Х Ргя (4.7) / 1 1=1 В этих обозначениях Р Д, = хм) = р,, Р ($, = хы) = ров (4.8) Рассмотрим два примера, показывающих, что по одномерным распределениям (4.7) без дополнительной информации нельзя восстановить совместное распределение случайных величин (4.6). Пример 1. Пусть П=((1, 1), ( — 1, 1), (1, — 1), ( — 1, — 1)) и все элементарные события равновероятны. Положим !гл, б слнчлиньди виличины Р Д, = 1) = Р ($з = 1) = 1/2 совпадают с соответствующими распределениями преды- дущего примера.
$5. Независимость случайных величин Случайные величины $„$„..., $, называются неаависилдыми, если для любых действительных х„хд, ..., х„ Рб, б (х„..., х,) = Ри (х,)... Рб„(х„). (5Л) Часто удобнее использовать следующее эквивалентное определение независимости: для любых событий Дг ~ Вд)„ й = 1, ..., г, где В„., „— подмножества числовой прямой, имеет место равенство Ра,б-=В„...,$,ЕВ„)=РД,~В,)...РД„ЕВ). (5.2) Если положить Вд —— ( — оо, хд), то (5Л) следует из (5.2).
Покажем, что при г = 2 из (5.1) следует (5.2) для любых полуинтервалов Вд = [а„а,), В = [Ьд, Ь,). Т е о р е и а 5Л. Если при любых х„хз Р~д, (х„ х,) = Ри (х,) Рй (х,)д (5.3) вдо при любых ад < адд Ь ( Ь Р Дд ~х [а„а ), йз ~ [Ь„Ь,)) = = Р Дд Е= [а, а,)) Р Д, Е= [Ь„Ь,)). (5.4) Д о к а а а те л ь с т в о. Заменим в правой части формулы (4.1) совместные функции распределения по формуле (5.3): Рбд, (ад, Ьд) = Ри (а;) Рй (Ьд), д, у = 1, 2.
Разложив полученное выражение на множители, найдем РДд~ [ад„а), $ <=Б[Ьд, Ь)) = = (Рй (а,) — Ри (ад)) (Рй (Ь ) — Рб, (Ь,)). Отсюда и иэ формулы (4Л) следует (5Л). Теорема докааана. Можно показать «), что из равенства (5.4), доказанного для полуинтервалов, следует равенство (5.2) при г = 2 для любых событий Дг с= Вд), й = 1, 2. ° ) Для «того нужно воспользоваться теоремой о продолж«язв вероятности (см., $3 гл. 1). 6 и незлвисимость слтчАйньгх Величин 83 Условие независимости (5.4) удобно использовать для установления условий независимости дискретных и абсолютно непрерывных распределений.
Ограничимся установлением условий независимости в двух частных случаях. Т е о р е м а 5.2. Пусть распределение величин $ы $ дискретно, ~ р Дг = хп, $г = хгг) = 1 и множества се 1 (хн, х,г,, . ) и (хгы х „...) не имеют предельных точек на числовой прямой. Случгайные величины $д, $г независимы тогда и только тогда, когда при любых», ) РД, = х,и $ = хгг) = Р ($, = хп)Р($ = хгг).
(5.5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть для величин $и $г выполняется условие (5.4). Для каждой точки (х„, х„.) выберем прямоугольник ((х„х,): а, ( ( х, < а;, Ьг < х, < Ь)) такой, что хы Е= (а„а;), хгг Е= ч= (Ьгь Ь;), а другие значения величин $ы 4г не входят в эти интервалы. Тогда из условия (5.4) следует (5.5), так как Р (а, ( $, ( а,-', Ьг с $г ( Ь)) = Р Д, = хнг Ц = хгД, Р (а; < с < а,') = Р Д = х;), Р (Ьг<$г<Ь)) =Р($г= = хц). Достаточность. Пусть выполнено условие (5.5). В полуинтервалы (аы а,) и (Ь„Ь,) попадут некоторые из чисел (хко х„,...), (х„, х,,...). Положим Х, = (й хи Е= (а„а,)), Х, = (Н хг, е= (Ь„Ьг)), Из формулы (4.2), используя условие (5.5), получим Р Я( Е= (ам аг), $г ~ (Ьи Ь,)» = Х а.-=х„,Ь=-.;»= 1 х,нех Р (Рм = х„) Р (чг = х„.) = алых,.
Зых* = Х Ра.=.„» Х РД.=.„»= ьвх, зарх, = Р (Ь е= (а», а,)» Р (Вг е (Ьй Ь,)»г т. е. выполнено общее достаточное условие независимости (5.4). Теорема доказана. В примере 1 из з 4 случайные величины $„$г независимы, так как равенства Р Дг = ю, гьг = 7) = Р (гь1 = г) Р Д = )) выполняются при любых г, /. В примере 2 того нсе параграфа величины $Н 3г зависимы, так каке [гл.
ь СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 84 например, О = Р ($ь = 1, $г = — 1) ~ Р Д, = 1) Р ($г = — 1) = —. Т е о р е м а 5.3. Пусть ркь, (х„, х,) — плотность распределения случайных величин $п $ . Случайные величины $ы $г независимы тогда и только тогда, когда во всех точках непрерывности функь[ий рип (хы хг), рк (Х1), рг, (хг) имеем Рь,ь (Х„Х,)= Рг (Х,) Рь (Х,). (5.6) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть выполнено условие (5.4). Выражая левую и правую части (5.4) через плотности распределения вероятностей, при любом В = ((х„х,): а, < х, < аа, Ь, ( х, < Ьг) получим а, ь, ~~рйь,(хпхг)йх,йх,=~ рь(хг)йхь~ ри(хг)йха. (5.7) в Так как а, ь„ ~ Рй (хь) с[хь ~ Рг, (ха) йхг = ~~ Рй (хг) Р1, (хг) йхгйхгь то из (5.7) найдем ~ ~(ргй,(хи ха) — рй(х,) рк(хг)) йхгь(ха=О. (5.8) в Пусть (х„х,), х„х, — точки непрерывности функций р[й, (х„х,), ра(х,), рь (х,).
Нужно показать, что в точке (х„х ) имеет место (5.6). Пусть это не так. Тогда в силу непрерывности подынтегральной функции в (5.8) найдется окрестность точки (х„х,), в которой функция отлична от нуля и сохраняет знак. Выбрав прямоугольник В, целиком лежащий внутри этой окрестности, получим противоречие с (5.8).
Достаточность. Пусть выполнено (5.6). Тогда при любом В верно (5.8) н, следовательно, имеют место (5.7) и (5.4). Теорема доказана. В случае нескольких величин можно проверить, что определению независимости (5.1) или (5.2) равносильны следующие условия: вы иезАВисимость случАйных Вэличин 88 1) Абсолютно непрерывные распределения. Для любых х=(х„..., х„)Е=В" рй 5 (х>,...,х„)=Д р~, (хг). (5.9) 1=1 2) Дискретнъи распределения. Для любых х = (х„...
, х„) Е= К Р (с>= х>, ° ° ., 8„= хт) = П Р ($1 = хг) (5.10) Таким обрааом, если известны одномерные распределения величин $„..., $„и известно, что эти величины независимы, то по каким-либо из формул (5.1), (5.2), (5.9), (5.10) можно найти совместное распределение этих величин. Будем говорить, что независимые случайные величины ..., $„имеют многомерное норм ьное распределение, если каждая из этих величин имеет одномерное нормальное распределение.
Пусть, например, $„, й = 1,..., г, имеют нормальное распределение с параметрами (аю ог). Тогда по формуле (5.10), используя формулу плотности одномерного распределения, получим т Ч-5 (х„— а„)51 г к "'т ' '' (З )т>1 ( 2 Х~~ 5 ). т 5 1 В (5.1 1) Общее определение нормального распределения будет дано в т 7 гл. 6. Рассмотрим еще один пример независимых величин. Индикатором произвольного события А называется случайная величина ( 1, если ее=А> 1А 1А(ю) ~ 0 А (5А2) Число успехов р„в и первых испытаниях схемы Бернулли можно представить в виде )5 = 51+ $5+ . + $„(5.13) где 51 = 7А<1> г = 1, 2..., и, А>' = (испытание с но<с 1 мерам 1 закончилось успехом).
Покажем, что индикаторы случанные Ввличины )гл. з $, независимы. Из определения индикатора (5Л2) следует, что ($е = 1) = А,), ( = 1,..., л. Положим А,' = А, . к> -«) и) Выбирая в теореме 2.1 $2 гл. 4 в качестве событий Ае~ = (еле = ее), ° ° °, 4е = (еле = ел) прн любых зе = О, 1, )е = 1,..., и, получим равенство Р (с = ее,..., $„= — с ) = Р Д = ее)... Р (5л = е„), равносильное определению независимости дискретных величин $„..., $„(см. (5.10)). Таким образом, в равенстве (5.13) слагаемые независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
