В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 17
Текст из файла (страница 17)
16. Величина т'г~ равна числу испытаний в схеме Бернулли до первого успеха включительно, т1Ю вЂ” число лспытавий, прошедших после первого успеха до второго успеха. Найти совместное распределение тн1, т1з1. Валяются ли ты~ и т~т~ иеаависимыми) 16. Найти аакон распределения величины т("о, равной числу испытаний в схеме Бернулли до появления т-го успеха. 17. Игральная кость бросается до тех пор, пока впервые не выпадет меныпе пяти очков.
Обозначим 6 число очков, выпавших при последнем бросании игральной кости, и через т — число бросаний кости. Найти совместное распределение 6 и т. Являются лв 6 и т независимыми) 18. На я станках одновременно началась обработка я деталей. Предполагая, что времена обработки деталей независимы и имеют 7. Случайные величины 41 и Зз веаависимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, 1). Найти плотиоств распределения величин: а] 51+ гьз; б) $г — $з' в) $Лг. 8. Случайные величины 4г в зз независимы, одинаково распределены и имеют показательное распределение: Р1 (*) = Р ь (*) = = ае "", а~О.
Найти плотность распределения их суммы. 9. Случайные величины $г и З независимы и нормально распределены с параметрами (О, 1). Йайти плотности распределения величин: а) гв = ага + ф б) Ч, = агс1841(з; в) совместную плотность распределения (В1. Вд. 16. Найти совместное распределение величин Вг = )у' — 2 [п4, Х Х соз (2Я$,), Ч, =- [7 — 2!и $, з(п (2ЯЗ ), гДе Зг и $з РаспРеДелены так же, кай з задаче 7. 11. Совместное распределение случайных величин $О з, задано таблицей ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ Э показательные распределения с параметром а,найти распределение времени: а) до получения первой обработанной детали; б) до окончания обработки всех деталей.
19. Пусть $„ $„ ..., $„ — независимые, одинаково распределенные, абсолютно непрерывные случайные величины; Р Д; ( х) = = г (х)„г' (х) = р (х). Прп каждом в расположим числа $» (в), А = 1, 2,..., л, э порядке возрастания и перенул~еруем; Чл ( Чл (... ... ( л)„. Таким обрааоы, Чл (в) является наименьшим пз чисел (ьл (в),..., $„(в)), тю (в) — наибольшим иа тех же чисел и т. д. Найти плотности расвределенпв: 1) л)л; 2) т)„; 3) л)в, 1 ( в ( л; 4) (ч ч») 20. Машина состоит из 10 000 деталей. Каждан деталь независимо от других оказывается неисправной с вероятностью ры причем для вт = 1000 деталей рт = 0,0003; для а, = 2000 деталей р = 0,0005 и для лз = ?000 деталей рэ — — 0,0001.
Машина ве работает, если в ней неисправны хотя бы дзе детали. Найти приближенное аначение вероятности того, что машина не будет работать. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Пуассона. 21. Совместное распределение величин $„4 является равно. мерным з круге ((хл, хл): хл+ хл (1).
Найти вероятность р (! )1 ! ( — 1 ! 42 ! (— )/2 )/2/ Являются ли величины ЗО $л независимыми? 22. Случайная величина з с равномерным распределением ва (О, 1! записывается з виде бесконечной десятичной дроби: лл ~к~~ Ц„.10, 0 ( й„( 9. Найти совместные и одномерные с=1 распределения величин зл, З . Являются ли $„$л иееависвмыми? 23. Используя табл. 7 выписать 10 реализаций яспытавий, описанных в аадаче 17. Найти частоты событий: (6 = А), А = 1, 2, 3, 4; (т=)), 1=1, 2, 3,... 24 Испольауя табл.
7, выписать реализацвю 50неааеисимых случавных величин, равномерно распределенных ва отрезке (О, 1). Числовые аначения взять с точностью до 10 э. 25. Пусть )л (х) — непрерывная строго зоарастающая функция распределения и Р '. (х) — обратная к ней функция. Покааать, что случайная величина л)',= Р .' (4), где $ равномерно распределена иа отрезке (О, 1), имеет своей функцией распределения Р (х). Укааанное свойство позволяет из реалпааций равномерно распределенных величин получать реализации величин с функцией распределения Р (х). (См. также задачу 10, з которой содержится метод получения нормально распределенных величин.) ГЛАВА 6 Математическое ожидание 5 1. Определения Функция распределения полностью определяет закон распределения случайной величины.
Однако часто можно ограничиться более простой характеристикой. Одной из важнейших характеристик случайной величины является ее среднее значение, или математическое ожидание. Математическое ожидание легко вычисляется и обладает полезным свойством: арифметическое среднее одинаково распределенных случайных величин близко к математическому ожиданию.
Определение математического ожидания связано' с обычным понятием о среднем значении. Пусть, например, й = (в„в„..., вя); Р (вз) = 1/Л', й = = 1,..., Х; $ = $ (вз) = хю Тогда математическое ожидание М$ случайной величины $ определяется формулой 1 1 М$:(х1+ ° ., + хя)/)У = — х1+ . ° ° + — хя. Если веРо1т ''' 1т ятности Р (в„) =* рз отличны от 1/У, то среднее значение $ естественно вычислять по формуле М$= р|х1+ рзхз+- ... + ряхк. Наиболее удобное и простое определение математического ожидания произвольной случайной величины вводится арн помощи интеграла Лебега.
Математическим ожиданием случайной величины $, заданной на вероятностном пространстве (Я, и, Р), называется число М$= ~ $ (в) Р (Ив)е (1 1) если интеграл Лебега; стоящий в правой части равенства, существует (см. (2), стр. 74,. 319 — 324). Мы не будем пользоваться теорией интеграла Лебега и ограничимся определением математического ожидания для случайных величин, заданных на дискретном и абсолютно непрерывном вероятностных пространствах (см. К 2, 4 гл.
2). Чтобы получить интересующие нас опреде- ош ндвпиния ленин для укаэанных пространств, нужно в дискретном случае ваменнть в (1.1) символ) на 3, а ы и Р (г(ю) на ю» и р„; в абсолютно непрерывном случае нужно в (1 1) положить Р (аю) = и (иы. „и„) аиы ...» ди„, ю = = (и„..., и„). Приведем полные формулировки определений. Математическим ожиданием М$ случайной величины $ = $ (ю»), заданной на дискретном вероятностном пространстве с Й = (юю ю»,..., ю„,...), Р (ю») = Р»~ й = 1... „и..., (см. $2 гл, 2), называется число Мь — лз ь (Оэ») р»~ (1.2) »-1 если ряд абсолютно сходится. Если же ряд (1.2) не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины $ не существует.
Математическим ожиданием М$ случайной величины $ = $ (ит, и„° ° ., и„), заданной на абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (1», М, Р) (см. $2 гл, 2), называется число М$ = ~... ~ $ (и(... „и„) я (и(, . „и„) Миг... Ии„, (1.3) если интеграл абсолютно сходится. Если интеграл (1.3) не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины 3 не существует. П р и м е р 1.
Найдем математическое ожидание выигрыша первого игрока в примере 1 $1 гл. 5, В этом примере й = (Г, Р), Р ((Г)) = Р ((Р)) = 1/2з с (Г) = 1, $ (Р) = — 1. По формуле (1.2) М2=ЦГ)Р(Г)+ЦР)Р(Р) = —,.1+ .( — 1)=О, 1 П р и м е р 2. Пусть в дискретном вероятностном пространстве 1г = (1, 2,..., й,...) и Р (к) = р» =1/й (й+ 1). Непосредственно проверяется, что мАтемАтнческое ожидание !гл. в Положим $1 $1 (й) = ( — 1)", $3 = $3 (й) = ( — 1)" й. Так как ряд ~ ( — 1)"/й (й + 1) сходится абсолютно, то М$1 2=1 существует. По формуле (1.2) М2,='(~3,(й)рз=„»'( 1)"( ) = 2=1 л=! Л 121 1=1 л.=! 3=1 Отсюда, используя разложение — 1п (1 + х) = = ~ ( — 1)" х"/й при х = 1! получим М$1 = 1 — 2)п 2.
л.=! Однако М52 по определению не существует, так как ряд Х-''" )( — 1) й) „) расходится. л' 1 П р и м е р 3. Пусть в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (13, 3(, Р) (см. З 4 гл. 2) п = 1, 32 =(и: 0~(и~,,1), я(и) =1(0~(и~(1). Рассмотрим случайные величины: $1 (и) = и (О ~( и ~( ~~ 1) зз (и) = й( з ~~ и С з ) й = 1 2 3 зз (и) (О ~( и < 1/2), $3 (и) = 1 (1/2 ~( и ~( 1). По формуле (1.3) М$1=~$!(и)п(и)л(и.
Отсюда 1 113 213 1 М$1=~ ил(и= —; М$2= ~ С!и -)- ~ 22(и+ ~ Зл(и=2; о о 1!3 213 1!2 1 Мзз= ) из!(и -)- ') л/и=13/24. о 1!2 Отметим, что в данном примере величина $! абсолютно непрерывна, $3 — дискретна, а $3 — смешанного типа. Если известна плотность распределения случайной величины или ааданы вероятности значений дискретной величины, то может оказаться, что ыатематическое ожидание удобнее вычислять не по сформулированным выше определениям, а по формулам, которые мы получим в качестве частных случаев следующих двух теорем. 97 ош ддипвния Теорема 11.
Пусть 9=(ад, $з,..., $„) — дискретный случайный вектпор, для которого Р ($ = х ()с)) = р„ ~ О, х (й) = (хед, ..., хь.) 6Б В~ О ~рг 1. г=д Есяи ряд ~ ~ у (х ()д) ) рд сходится, то случайная велид=д чина т) = у ($) = д ($д,..., $„) имеет математическое ожидание Мд)= Д у(хед,...,хд.) рю (1,4) з=д Т е о р е м а 1.2. Пусть $ = ($„..., $„) — абсолютно непрерывный случайный вектор с плотностью распределения рд (х) = р) (хд,..., х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
