В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Представление (5.13) будет в дальнейшем часто использоваться. Рассмотрим теперь последовательность индикаторов, связанную с выбором и шаров по схеме случайного выбора без возвращения из урны, содержащей М белых и Х вЂ” М черных шаров (см. $2 гл. 2). Положим $е = = еле„где А„— событие, состоящее в том, что й-и шар выборки оказался белым.
Случайные величины $е»..., $ не являются независимыми, так как, например, М(л) Мл Р($~=ле=...=$„=1)= — ~: — „=П Р($„=1), т=е ф 6. Фуниции от случайных величин Пусть (ее, т(, Р) — произвольное вероятностное пространство и $ = $ (ее), ю Е= (е, — некоторая случайная величина. Суперпознцией действительной функции заданной на Й, и функции ее (х), заданной на действительной прямой, является функция й = ~Р Ц (ю)] = П (ее), заданная на (е. Для дискретных вероятностных пространств функция П является случайной величиной, так как никаких ограничений на функцию П (а) не налагается. Для произвольных вероятностных пространств требуется„чтобы (т) ( х) е= т( (6.1) при любом х «).
° ) Прв произвольной фувкцвв и условие (бЛ) может оказаться невыполненным. Однако можно показаттл что (64) имеет место, если прв любом борелевском множестве В множество (ж и (л) ея ев В) является борелевсквм ююжестзом яа числовой прямой (т. е. полный прообраз р т (В) ююжестза В прв отображеввв, осуществляемом фушщвей й, является борелевсквм множеством). Этвм свой- бе) Функции от случайных Величин 87 Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 6.1.
Если случайные величины $, и независимы, то независимы и случайныв величины рй = = ф» Й») Ч« = ф«(6«) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т), б= В„т), ~ В, (В,« В» — подмножества числовой прямой) — произвольные события. Тогда Р (т) б= Вю т) б= В«) = Р (фт (6») б= Вы фт(6») б= В») = = Р Д, б= ф,-' (В»)„5«65 р-.,' (В«)). (6.2) Так как случайные величины $, и $» независимы, то согласно определению неаависимости в форме (5.2) имеем Р Д, б= ф,'(В,), 6» ~ ф,'(В»)) = = Р ($т б= фг~ (Вт)) Р Ят б= ф»~ (В»)), (6.3) Очевидно, что ($~ ~ ф; (В~)) = (ф; ($;) б= ВД = (Ч~ б„= В~), Отсюда и из равенств (5.2) и (5.3) получаем Р (Ч,~В„Ч,~В) =Р(Ч,ЯВ) Р(Ч,6=в) для любых событий Ч, б= В,„т), б= В,. Теорема доказана.
Если на исходном вероятностном пространстве аадано несколько случайных величин ($„$„..., $„), то сложная функция т) = ф Я„..., б„) также является случайной величиной для достаточно «хороших» функций ф (пт, и„..., и„); например, достаточно потребовать,.
чтобы ф (и, и„..., и„) была непрерывной. Можно доказать следующее утверждение, обобщающее теорему 6.1: если $„$«,..., $„, „„...,  — независимые случайные величины, то случайные величины 1т = фг Йд« ° ° «ся)г ( « = ф«(Ч«~ ° ° г!Ъп) независимы. Закон распределения новых случайных величин, являющихся функциями от старых„очевидно, определен, так как они заданы на том же вероятностном пространстве.
Можно найти функцию распределения новой случайной стзоы обладают, например, функции о коиечиыы числом точек разрыва. Таким образом, в практически важных случаях условие (бй) оказывается зыполвеввым. В дальнейшем ыы будем использовать иыражеиия типа «случайная величава Ч = ф ($)», ие оговаривая каждый раз, что ф (в) удовлетворяет условию (6.1). слтчлиныв внличины [гл. з величины т) = ф Д).
Для етого достаточно знать только функцию распределения $. Действительно, рч (х) = Р (<р (Ц ( х) = Р (5 Е= <р ' ( — со, х)). (6.4) Вероятность в правой части (6.4) может быть вычислена по рт (х). Аналогично находится функция распределения или плотность распределения (если она существует) величины г) = у (1„..., З„).
Рассмотрим один ваясный частный случай. Т е о р е м а 6.2. пусть т~ = (и„ ..., Ч,) = у ($), где $ = ($,..., $„) — случайный абсолютно непрерывный вектор с непрерывной плотностью распределения рг (х), х = = (х„..., х„), у (х) = (у, (х),..., у„(х)). Если отображение у = у (х) взаимно однозначно„непрерывно дифференцируемо и якобиан то распределение вектора ц абсолютно непрерывно и р„(х) = рз (у ' (х)) ( У (у ' (х)) ( ', (6.5) где у ' (х) — прообраз х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  — произвольная область пространства В' с кусочно-гладкой границей.
Тогда Р(т~Е=В)=Р(йЕу '(В)) =~...) рЗ(х)йхб...ах„, з-'в Переходя в последнем интеграле к новым переменным у .= у (х), получим Р (ц ~ В) — )... ~ рг(у (у))! У(у (у))( Ну. Отсюда согласно определению (4.3) следует, что подынтегральная функция является плотностью распределения вектора т~, так как область В может быть, в частности, любым параллелепипедом. Теорема доказана. Отметим, что в доказанной теореме требования непрерывности р~ (х) и дифференцируемости д (х) являются лишними. Они были необходимы только для того, чтобы воспользоваться теоремой о замене переменных, известкой из курса математического анализа.
Функции от случаиных Величин во я 6) Приведем две теоремы, в которых устанавливается закон распределения функции от случайных величин в двух часто встречающихся случаях. Т е о р е м а 6.3. Если случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, ох), то случайная величина т) = А$ + В, А ~ О, имеет нормальное распределение с параметрами (Аа + В, Ахов). Д о к а з а т е л ь от в о.
ПустьсначалаА) О. Тогда )х — В))л Еч(х)=Р(АС +В(х)=Р($( )= ~ р;(и)йи. Отсюда, так как р; (х) непрерывна при любом х, следует, что существует Рч(х)=де(х)=ра( А ).( Л ) = А РГ( Л ). (6.6) Если А ( О„то Еч(х)=Р(А5+ В(х)=Р ($) — ) = ~ Р)(и) йи )х — и))А и рч(х) = — — р;( — „и) . Объединяя последнюю формулу с (6.6) и используя фор- мулу плотности нормального распределения, получим Рч(х) =~Л) РГ( В )— (6,7) Д о к а а а т е л ь с т в о. Найдем сначала Ек+~ (х) = Р (ьь) + сьз < х) = Р ((ьь) сьх) Е= Рх)х ( ) х-В ~х <х-а,)' — — а) л ) 2 20 — ев, 1А! у 2яа ]/2яс, где а, = Аа + В, о, = ( А ) о.
Т е о р е м а 6.4. Если случайные величины $) и абсолютно непрерывны и независимы, то случайная вели- чина $) + 5х тоже абсолютно непрерывна и ее плотность распределения определяется по формуле р;., -,(х) = ~ р,,(и) рг (х — и) ди. слтчлиныи вилнчины [гл, г где Р ((и, о): и+ о( х).
Так как по условию теоремы величины Ц и $г независимы, то их плотность совместного распределения согласно (5.6) равна реи, (и, о) = рй (и) р1, (о), и, следовательно, по формуле (4.3) найдем Р'1,+~, (х) = — н+х =(~~рь(и) рн(о)Иий = ~ рк(и)( ~ р1,(о)до)Ыи. о О М х Отсюда, полагая о = г — и, получим Р1ль (х) = ) РИ (и) ди ~ РИ (г — и) Ыг = х в = ~ ( ~ ри(и) ры(г — и) ди) Нг= ~ ри+1,(г) Ыгг где О рд+и(х) = ) рь(и) ри(х — и) йи, Теорема доказана. Отметим, что вместе с (6.7) верна формула Ю р;,,и(х) = 1 р.„,(х — и) рь(и)йи. Используя формулу (6.7), можно показать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. В гл.
7 этот факт будет установлен при помощи характеристических функций. Рассмотрим следующий пример. П р и м е р 1. Пусть случайные величины $, и независимы и имеют распределения соответственно равномерное и показательное: ( 1, если х~ [0,11, ( О, если х~(0,1), ( е-*, если х ~0, Требуется найти р1,.,1 (х).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ З По формуле (6.7) получим рй+1,(х)= ~ рй(и) рз,(х — и) он =~рЗ,(х — и) Аи. Подынтегральная функция рь (х — и) ) О, если О < < и < х, и рп (х — и) = О в остальных случаях. Таким образом,при О < х ( 1 х р (х) — ) с-(х-и) Ап — 1 е-х е и прил>1 1 р1+1 (х)=~с (к и)Ам=(е — 1)е х е Окончательно получим О, если х(О, рй+1, (х) = 1 — е-", если О ( х ( 1т (е — 1) е ", если х) 1. Задачи к главе 5 1.
плотность распределения с задана формулами рь (х) = С/ее (е ~: 1), Рь (е) = 0 (а < 1). Найти постоянную С, плотность распределения зеличвны Ч = 1п $, Р(0,5 <Ч< 0,75) 7 2. Случайная величава с равномерно распределена на отрезке 10, Ц. Найти плотности распределения величин: а) Чт = 2з + 1; б)'ч '==-) (1 — Ц. З.
Случайная величина а имеет показательное распределение с плотностью распределения рь (х) ае~(е ) 0). Найти плотности распределения случайных величин: а) Ч~ = у' с; б) тв = сь, а) тв 1пЦ г) т),=1 — еоь. 1 4. Случайная величава $ распределена нормально с параметрами а = О, ое = 1. Найти плотности распределения величин: а) ел = зт; б) Чт = еь (логарифмически нормальное распределение). 5. Точка Р разномерно распределена ва едвннчном квадрате АВСЭ. Найти плотность распределения площади $ прямоугольнвка А В'РВ', где В' и В' — основания перпендвкуляроз, опущенных ва точки Р на стороны АВ и АВ соответственно.
6. Функция распределения Р (х) величины 3 строго монотонна и непрерывка. Найти аакон распределения аеличнны т) = Р ($). (ГЛ. 5 СЛУЧАИИЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (24 1!8 1! 12 1!6 1!8 5(24 з которой на пересечении ый строки и 7'-го столбца (1 = — 1, 1, 1 = = — 1, О, 1) приведена вероятность ры = Р Д, =- С $ = )). Найти: а) одномерные законы распределенвя 6, п $,; б) закон распределения чг = зг+ зт; в) аакон РаспРеделевиЯ ч = ф г) Р (В = О, и = 1). 12.
Величины $г н зз веаависвмы; Р [2, = 0) = Р [$з = 1) = = 1/2; $з равномерно расйределева на отрезке [О, 1). Найти аакои распределения З, + $е. 13. Найти ванов распределения суммы двух независимых случайных величин З, и Зг, каждая из которых имеет распределение Пуассона с параметром Хг и Лз соответственно. 14. Обозначим т число исйытаний в схеме Бернулли до появления первого успеха включительно. Найти закон распределения т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
