В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сколько нужно взять случайных чисел, чтобы число «6» появилось хотя бы один раэ с вероятностью, ве меньшей а) 0,7; б) 0,92 7. В некоторой лотерее вероятность выигрыша иа один билет равва 1/5. Предполагая, что выигрыши иа рааличвые билеты иеэависвмы, определить число билетов в, которое иужво купить, чтобы вероятность 0 (л) получевия хотя бы одного выигрыша была вв мевьше а) 0,65; б) 0,9; в) 0,99.
Найти также 0 (л) в этих случаях. 8. Среди 5М билетов М выигрышных. Найти вероятность ~7 (я) того, что среди л куплевных билетов есть хотя бы один выигрышвый. Вычислить () (п) при 1) М = 3; 2) М = 10 для в, определевкых в аадаче 7 в случаях а), б), в). 9. Найти вероятность того, что в з испытаниях схемы Бериулли с вероятиостью успеха р появятся о» + ) успехов, причем 1 успехов появятся в (последних испытаниях. 1О. Двое бросают моиету по л раз. Найти вероятность того, что у икх выпадет одинаковое число гербов. 11. Из множества Я = (1, 2,..., л) выбирается подмножество 6» так, что каждый элемент из Я везависимо от остальных с вероятвостью р включается в множество 6» и с вероятностью д = 1 — Р ие включается.
Авалогпчиым образом веаависимо от:,6» выбирается подмножество,~й . Найти вероятности событий: а) ой, ():г» = О; б) множество, 6, П г» состоит из /» (/» = О, 1, 2,..., л) злемевтов (т. е. [ . К, Д . 6» [ = в); в) [:з, [ ) [. Кз [ пРи Р = о = 1/2. У к а з а н и е. в) Найти Р ([;,з, [ = ) .з» [).
12. На отрезок [О, 10) наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки попадут в [О, 2), одиа — в [2, 3), две— в [3, 101.' 69 ЗАДАЧИ К РЛАВЕ « 13. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что иэ 10 точек, брошенных наудачу в круг, четыре попадут в квадрат, три — в один сегмент и по одной — в оставшиеся три сегмента? 14. Пусть $» — число появлений исхода» в я испытаниях полиномиальной схемы. Найти: 1) Р ($( = ю()(2) Р (ье = э(е $я = ж ( 5 = ю(), если р», )е = 1... „(у,— вероятность появления исхода Й в одном испытании. У к а а а н и е. 1) Просуммировать (2.7) пли испольэовать (ы (ю (е] взаимную независимость событие Ве, Ве,..., Ве, где з; = О, 1, В(0 = (в (-м испытании появился исход 1), В(0 = (в Рм испытании исход (не появился), 2) Использовать 1) и формулу (2.7).
15. Из множества Я = (1, 2,..., я) выбираются два подмножества . 6( и обе так, что каждый элемент из Я независимо от остальных с вероятностью рд включается только в:»(, с вероятностью ре — в оба подмножества, с вероятностью р, — только в Ме и с вероятностью р« = 1 — р( — ре — р, не включается ни в одно из подмножеств. Найти вероятности событий( а):б( П,«бе = ВН б) (:6( Г) Ме ( = »( в) ( .ебе ( = (,ебе ( = 1.
16. В таблице случавных чисел цифры сгруппировали по две. Найти приближенное аначевие вероятности того, что среди 200 пар пара 01 встретится не менее трех раа. 17. Брошено 6 правильных игральаых костей. Какова вероятность выпадении: 1) хотя бы одной; 2) ровно одной; 3) ровно двух единиц? Найти точные значения и сравнить их со значениями, вычисленными по формуле Пуассона. 18.
Сколько изюма должна в среднем содержать булочка, чтобы вероятность иметь хотя бы одну иэюману в булочке была ие менее 0,99? 19. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами прп аалпе в 5000 выстрелов. М. Найти приближенное вырви(ение того, что число выпадений «1« при 12 000 бросаний игральной кости заключено между 1900 и 2150. 21. В поселке А 2500 жителей. Каждый иа нпх примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город В, вмбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных жителей. Какой наименьшей вместительностью должен обладать посад, чтобы он нереполнялся в среднем ве чаще одного раза в 100 дней? (Поезд идет раз в сутки.) 22.
Из таблицы случайных чисел отбирают числа, делящиеся иа 4, до тех пор, пока ие наберется 588. Найти приближенное значение вероятности того, что потребуется таблица, содержащая ие меньше 2100 чисел. У к а з а н и е. Пусть т — числа чисел в требуемой таблице; р„ — число чисел, делящихся на 4, среди з чисел таблицы (я = = 2100). Использовать равенство Р (т )~ я) = Р (р» ~( 588) . 23. Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем ва 200 эабвасываний? 70 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЬГТАННЙ [РЛ, 1 24. Две монетм бросают до тех пор, пока не выпадет герб хотя бы на одной из нвх.
Найтв вероятность того, что будет проведено л бросаний (и= 1, 2,...). 26. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд ова ве выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности собмтвй: 1) опыт закончится не более чем за 4 бросания; 2) опыт закончатся за четное число бросаний. 26. Две игральные кости бросаются до тех пор, пока впервые ва двух костях не выпадет сумма очков, меньшая шести. Какова вероятность того, что при последнем бросании сумма очков не меньше трех) 27.
Используя табл. 7, выыисать реализацию бросаний симметричной монеты. Длину реализации и подобрать так, чтобы частота выпаденвй герба отличалась от 1(2 ве более чем на А = 0,1 с вероятностью, примерно равной 0,9. ~о реализации вычислить частоту выпадений герба. 28. Используя табл. 7, выписать Л реализаций блуждания частицы (см. $4) по целым точкам отрезка [О, и) до ее поглощения в 0 или в л. Величины Ф, и, й — начальное положение частицы, р — вероятность перехода вправо, е = 1 — р выбрать равными: а) К = 10, л = 6, р = 1(6, й = 1; б) Ф = 10, и = 6, р = 1(2, й = 1.
Вычислить частоту поглощения частицы в 0 и в и; сравнить с вероят- ностями соответствующих поглощений (см. (4,12), (4.13)). ГЛАВА 5 Случайные величины 4 1. Определения и примеры В $2 гл. 4 было дано определение случайной величины для дискретных вероятностных пространств.
Пусть теперь (1е, М, Р) — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной $ назовем действительную функцию $ = $ (ю)г го б= Иг такую, что при любом действительном х (ап $ (га) < х) Е М. (1.1) Если в М включаются все подмножества 1е,. то (1 1) очевидно выполняется. Событие в (1.1) более коротко иногда будем записывать в виде (5 < х). Так как операции над событиями иэ Ч не выводят эа пределы М то иэ (1 1) следует, что ($~х) =($<х)~=Я, (х,<$<хт) =($<х,)~($<х,)еи,, (1.2) Ю а=.)= а (.~.<.+ — „) =и. к=г Таким образом, вероятности этих событий определены. Для вычисления вероятностей событий вида (1.2) достаточно при любом х знать вероятность РЭ (х) = Р ($ < х).
(1.3) Функция рз (х) действительной переменной х, — оо < < х < со, называется функцией распределения случайной величины $. Так как ($ < х,) = (х, ь. $ < х ) + ($ < х,)„ то согласно аксиоме А4 Р($<ха) =Р(хг< $<х,) +Р($<хг). Отсюда и иэ (1.3) находим Р (х < $ < х,) = Рэ(ха) — Рэ(х,). (1.4) случАинык Взличины [Гл. з По формуле (1.3.6) Р($ ~ х) = 1 — Р» (х). Из (1.3.11), (1.4) и (1.2) получим Р (3=х) = Пш(Р1(х+ — ) — Рт (х)) = = Рз(х + О) — Р» (х).
(1.5) По функции распределения можно вычислить вероятности любых событий вида (1.2). Иногда вместо Р» (х) будем писать просто Р (х). П р и м е р 1. Два игрока подбрасывают монету. Если при данном подбрасывании выпал «герб», то первый игрок получает 1 рубль, а если выпала «решетка», то отдает 1 рубль. Для описания данной игры естественно положить 1« = (Г, Р) и Р ((Г)) = Р((Р)) =1/2. Случайная величина 5, равная выигрышу первого игрока, определяется следующим образом: $ = $ (Г) = 1, з = з (Р) = — 1.
Легко вычисляется функция распределения Р» (х) величины $. Если х ~ — 1, то множество Д < х) является пустым н его вероятность равна О. Если — 1(х<1, то Д < х) = (Р) и, следовательно, Р» (х) = Р ($ < х) = = 1/2. При х ) 1 имеем ($ < х) = (Г, Р) и Р ($ < х) = = 1.
Таким образом, О, если х ~( — 1; Рт(х) = 1/2, если — 1«..х<1» 1, если х) 1. П р и м е р 2. Пусть точка А равномерно распределена в квадрате 1« = ((и, и): О < и < 1, О < и < 1). Элементарными событиями с» являются точки квадрата 1«; мноя«ество событий М здесь порождается квадрнруемыми подмножествами квадрата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
